MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unipw Unicode version

Theorem unipw 4223
Description: A class equals the union of its power class. Exercise 6(a) of [Enderton] p. 38. (Contributed by NM, 14-Oct-1996.) (Proof shortened by Alan Sare, 28-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
unipw  |-  U. ~P A  =  A

Proof of Theorem unipw
StepHypRef Expression
1 eluni 3831 . . . 4  |-  ( x  e.  U. ~P A  <->  E. y ( x  e.  y  /\  y  e. 
~P A ) )
2 elelpwi 3636 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ~P A
)  ->  x  e.  A )
32exlimiv 1670 . . . 4  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e. 
~P A )  ->  x  e.  A )
41, 3sylbi 189 . . 3  |-  ( x  e.  U. ~P A  ->  x  e.  A )
5 vex 2792 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
65snid 3668 . . . 4  |-  x  e. 
{ x }
7 snelpwi 4219 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  { x }  e.  ~P A
)
8 elunii 3833 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { x }  /\  { x }  e.  ~P A )  ->  x  e.  U. ~P A
)
96, 7, 8sylancr 647 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  U. ~P A )
104, 9impbii 182 . 2  |-  ( x  e.  U. ~P A  <->  x  e.  A )
1110eqriv 2281 1  |-  U. ~P A  =  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1533    = wceq 1628    e. wcel 1688   ~Pcpw 3626   {csn 3641   U.cuni 3828
This theorem is referenced by:  pwtr  4225  pwexb  4563  univ  4564  unixpss  4798  unifpw  7153  fiuni  7176  ween  7657  fin23lem41  7973  mremre  13500  submre  13501  isacs1i  13553  eltg4i  16692  distop  16727  distopon  16728  distps  16746  ntrss2  16788  isopn3  16797  discld  16820  mretopd  16823  dishaus  17104  discmp  17119  txdis  17320  xkopt  17343  xkofvcn  17372  hmphdis  17481  vitali  18962  shsupcl  21909  shsupunss  21917  usptoplem  24945  istopx  24946  usptop  24949  tartarmap  25287  locfindis  25704  fnemeet2  25715  ismrcd1  26172  hbt  26733  mapdunirnN  31107
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-v 2791  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-uni 3829
  Copyright terms: Public domain W3C validator