MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unipw Unicode version

Theorem unipw 4162
Description: A class equals the union of its power class. Exercise 6(a) of [Enderton] p. 38. (Contributed by NM, 14-Oct-1996.) (Proof shortened by Alan Sare, 28-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
unipw  |-  U. ~P A  =  A

Proof of Theorem unipw
StepHypRef Expression
1 eluni 3771 . . . 4  |-  ( x  e.  U. ~P A  <->  E. y ( x  e.  y  /\  y  e. 
~P A ) )
2 elelpwi 3576 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ~P A
)  ->  x  e.  A )
32exlimiv 2024 . . . 4  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e. 
~P A )  ->  x  e.  A )
41, 3sylbi 189 . . 3  |-  ( x  e.  U. ~P A  ->  x  e.  A )
5 vex 2743 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
65snid 3608 . . . 4  |-  x  e. 
{ x }
7 snelpwi 4158 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  { x }  e.  ~P A
)
8 elunii 3773 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { x }  /\  { x }  e.  ~P A )  ->  x  e.  U. ~P A
)
96, 7, 8sylancr 647 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  U. ~P A )
104, 9impbii 182 . 2  |-  ( x  e.  U. ~P A  <->  x  e.  A )
1110eqriv 2253 1  |-  U. ~P A  =  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   ~Pcpw 3566   {csn 3581   U.cuni 3768
This theorem is referenced by:  pwtr  4164  pwexb  4501  univ  4502  unixpss  4752  unifpw  7091  fiuni  7114  ween  7595  fin23lem41  7911  mremre  13433  submre  13434  isacs1i  13486  eltg4i  16625  distop  16660  distopon  16661  distps  16679  ntrss2  16721  isopn3  16730  discld  16753  mretopd  16756  dishaus  17037  discmp  17052  txdis  17253  xkopt  17276  xkofvcn  17305  hmphdis  17414  vitali  18895  shsupcl  21842  shsupunss  21850  usptoplem  24878  istopx  24879  usptop  24882  tartarmap  25220  locfindis  25637  fnemeet2  25648  ismrcd1  26105  hbt  26666  mapdunirnN  30970
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-v 2742  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-uni 3769
  Copyright terms: Public domain W3C validator