MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unir1 Unicode version

Theorem unir1 7453
Description: The cumulative hierarchy of sets covers the universe. Proposition 4.45 (b) to (a) of [Mendelson] p. 281. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
unir1  |-  U. ( R1 " On )  =  _V

Proof of Theorem unir1
StepHypRef Expression
1 setind 7387 . 2  |-  ( A. x ( x  C_  U. ( R1 " On )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  U. ( R1 " On )  =  _V )
2 vex 2766 . . . 4  |-  x  e. 
_V
32r1elss 7446 . . 3  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  <->  x  C_  U. ( R1 " On ) )
43biimpri 199 . 2  |-  ( x 
C_  U. ( R1 " On )  ->  x  e. 
U. ( R1 " On ) )
51, 4mpg 1542 1  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   U.cuni 3801   Oncon0 4364   "cima 4664   R1cr1 7402
This theorem is referenced by:  jech9.3  7454  rankwflem  7455  rankval  7456  rankr1g  7472  rankid  7473  ssrankr1  7475  rankel  7479  rankval3  7480  rankpw  7483  rankss  7489  ranksn  7494  rankuni2  7495  rankun  7496  rankpr  7497  rankop  7498  r1rankid  7499  rankeq0  7501  rankr1b  7504  dfac12a  7742  hsmex2  8027  wunexALT  8331  grutsk  8412
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-reg 7274  ax-inf2 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-r1 7404
  Copyright terms: Public domain W3C validator