MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unir1 Unicode version

Theorem unir1 7728
Description: The cumulative hierarchy of sets covers the universe. Proposition 4.45 (b) to (a) of [Mendelson] p. 281. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
unir1  |-  U. ( R1 " On )  =  _V

Proof of Theorem unir1
StepHypRef Expression
1 setind 7662 . 2  |-  ( A. x ( x  C_  U. ( R1 " On )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  U. ( R1 " On )  =  _V )
2 vex 2951 . . . 4  |-  x  e. 
_V
32r1elss 7721 . . 3  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  <->  x  C_  U. ( R1 " On ) )
43biimpri 198 . 2  |-  ( x 
C_  U. ( R1 " On )  ->  x  e. 
U. ( R1 " On ) )
51, 4mpg 1557 1  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   U.cuni 4007   Oncon0 4573   "cima 4872   R1cr1 7677
This theorem is referenced by:  jech9.3  7729  rankwflem  7730  rankval  7731  rankr1g  7747  rankid  7748  ssrankr1  7750  rankel  7754  rankval3  7755  rankpw  7758  rankss  7764  ranksn  7769  rankuni2  7770  rankun  7771  rankpr  7772  rankop  7773  r1rankid  7774  rankeq0  7776  rankr1b  7779  dfac12a  8017  hsmex2  8302  grutsk  8686
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-reg 7549  ax-inf2 7585
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-r1 7679
  Copyright terms: Public domain W3C validator