Theorem unirnbl 7872

Description: The union of the set of balls of a metric space is its base set.

Hypothesis

Ref	Expression
unirnbl.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
unirnbl	|- (D e. Met -> U.ran ( ball ` D) = X)

Proof of Theorem unirnbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1478	. . . . 5 |- (Open` D) = (Open` D)
2	1	blssopn 7864	. . . 4 |- (D e. Met -> ran ( ball ` D) (_ (Open` D))
3		uniss 2525	. . . 4 |- (ran ( ball ` D) (_ (Open` D) -> U.ran ( ball ` D) (_ U.(Open` D))
4	2, 3	syl 10	. . 3 |- (D e. Met -> U.ran ( ball ` D) (_ U.(Open` D))
5		unirnbl.1	. . . 4 |- X = dom dom D
6	5, 1	uniopn 7858	. . 3 |- (D e. Met -> U.(Open` D) = X)
7	4, 6	sseqtrd 2100	. 2 |- (D e. Met -> U.ran ( ball ` D) (_ X)
8	5	blex 7846	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ x e. X) -> E.y e. ran ( ball ` D)x e. y)
9	8	ex 373	. . . 4 |- (D e. Met -> (x e. X -> E.y e. ran ( ball ` D)x e. y))
10		eluni2 2511	. . . 4 |- (x e. U.ran ( ball ` D) <-> E.y e. ran ( ball ` D)x e. y)
11	9, 10	syl6ibr 213	. . 3 |- (D e. Met -> (x e. X -> x e. U.ran ( ball ` D)))
12	11	ssrdv 2073	. 2 |- (D e. Met -> X (_ U.ran ( ball ` D))
13	7, 12	eqssd 2082	1 |- (D e. Met -> U.ran ( ball ` D) = X)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  E.wrex 1649   (_ wss 2050  U.cuni 2507  dom cdm 3176  ran crn 3177  ` cfv 3188  Metcme 7786   ball cbl 7788  Opencopn 7789

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793

Copyright terms: Public domain