Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unirnfdomd Structured version   Unicode version

Theorem unirnfdomd 8434
 Description: The union of the range of a function from an infinite set into the class of finite sets is dominated by its domain. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
unirnfdomd.1
unirnfdomd.2
unirnfdomd.3
Assertion
Ref Expression
unirnfdomd

Proof of Theorem unirnfdomd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unirnfdomd.1 . . . . . . . 8
2 ffn 5583 . . . . . . . 8
31, 2syl 16 . . . . . . 7
4 unirnfdomd.3 . . . . . . 7
5 fnex 5953 . . . . . . 7
63, 4, 5syl2anc 643 . . . . . 6
7 rnexg 5123 . . . . . 6
86, 7syl 16 . . . . 5
9 frn 5589 . . . . . . 7
10 dfss3 3330 . . . . . . 7
119, 10sylib 189 . . . . . 6
12 isfinite 7599 . . . . . . . 8
13 sdomdom 7127 . . . . . . . 8
1412, 13sylbi 188 . . . . . . 7
1514ralimi 2773 . . . . . 6
161, 11, 153syl 19 . . . . 5
17 unidom 8410 . . . . 5
188, 16, 17syl2anc 643 . . . 4
19 fnrndomg 8405 . . . . . 6
204, 3, 19sylc 58 . . . . 5
21 omex 7590 . . . . . 6
2221xpdom1 7199 . . . . 5
2320, 22syl 16 . . . 4
24 domtr 7152 . . . 4
2518, 23, 24syl2anc 643 . . 3
26 unirnfdomd.2 . . . . 5
27 infinf 8433 . . . . . 6
284, 27syl 16 . . . . 5
2926, 28mpbid 202 . . . 4
30 xpdom2g 7196 . . . 4
314, 29, 30syl2anc 643 . . 3
32 domtr 7152 . . 3
3325, 31, 32syl2anc 643 . 2
34 infxpidm 8429 . . 3
3529, 34syl 16 . 2
36 domentr 7158 . 2
3733, 35, 36syl2anc 643 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wcel 1725  wral 2697  cvv 2948   wss 3312  cuni 4007   class class class wbr 4204  com 4837   cxp 4868   crn 4871   wfn 5441  wf 5442   cen 7098   cdom 7099   csdm 7100  cfn 7101 This theorem is referenced by:  acsdomd  14599 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-ac2 8335 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-ac 7989
 Copyright terms: Public domain W3C validator