Theorem unisn2 2839

Description: A version of unisn 2485 without the A e. V hypothesis. (Contributed by Stefan Allan, 14-Mar-06.)

Assertion

Ref	Expression
unisn2	|- U.{A} e. {(/), A}

Proof of Theorem unisn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unisng 2486	. . 3 |- (A e. V -> U.{A} = A)
2		eqid 1452	. . . . 5 |- A = A
3	2	olci 271	. . . 4 |- (A = (/) \/ A = A)
4		elprg 2394	. . . 4 |- (A e. V -> (A e. {(/), A} <-> (A = (/) \/ A = A)))
5	3, 4	mpbiri 194	. . 3 |- (A e. V -> A e. {(/), A})
6	1, 5	eqeltrd 1524	. 2 |- (A e. V -> U.{A} e. {(/), A})
7		snprc 2414	. . . . 5 |- (-. A e. V <-> {A} = (/))
8	7	biimp 151	. . . 4 |- (-. A e. V -> {A} = (/))
9	8	unieqd 2480	. . 3 |- (-. A e. V -> U.{A} = U.(/))
10		uni0 2493	. . . 4 |- U.(/) = (/)
11		0ex 2679	. . . . 5 |- (/) e. V
12	11	pri1 2420	. . . 4 |- (/) e. {(/), A}
13	10, 12	eqeltr 1520	. . 3 |- U.(/) e. {(/), A}
14	9, 13	syl6eqel 1532	. 2 |- (-. A e. V -> U.{A} e. {(/), A})
15	6, 14	pm2.61i 126	1 |- U.{A} e. {(/), A}

Syntax hints:  -. wn 2   \/ wo 222   = wceq 1099   e. wcel 1105  Vcvv 1786  (/)c0 2251  {csn 2380  {cpr 2381  U.cuni 2471

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-nul 2678

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-sn 2383  df-pr 2384  df-uni 2472

Copyright terms: Public domain