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Theorem unissb 4037
Description: Relationship involving membership, subset, and union. Exercise 5 of [Enderton] p. 26 and its converse. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
unissb  |-  ( U. A  C_  B  <->  A. x  e.  A  x  C_  B
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem unissb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni 4010 . . . . . 6  |-  ( y  e.  U. A  <->  E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  A
) )
21imbi1i 316 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  U. A  ->  y  e.  B )  <-> 
( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  B ) )
3 19.23v 1914 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  B )  <->  ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  B ) )
42, 3bitr4i 244 . . . 4  |-  ( ( y  e.  U. A  ->  y  e.  B )  <->  A. x ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  B ) )
54albii 1575 . . 3  |-  ( A. y ( y  e. 
U. A  ->  y  e.  B )  <->  A. y A. x ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  B ) )
6 alcom 1752 . . . 4  |-  ( A. y A. x ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  B )  <->  A. x A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  B ) )
7 19.21v 1913 . . . . . 6  |-  ( A. y ( x  e.  A  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  B ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  B ) ) )
8 impexp 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  B )  <->  ( y  e.  x  ->  ( x  e.  A  ->  y  e.  B ) ) )
9 bi2.04 351 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  x  -> 
( x  e.  A  ->  y  e.  B ) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  B ) ) )
108, 9bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  B )  <->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  B ) ) )
1110albii 1575 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  B )  <->  A. y
( x  e.  A  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  B ) ) )
12 dfss2 3329 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  B  <->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  B ) )
1312imbi2i 304 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  ->  x  C_  B )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  B ) ) )
147, 11, 133bitr4i 269 . . . . 5  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  B )  <->  ( x  e.  A  ->  x  C_  B ) )
1514albii 1575 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  B )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  x  C_  B
) )
166, 15bitri 241 . . 3  |-  ( A. y A. x ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  B )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  x  C_  B
) )
175, 16bitri 241 . 2  |-  ( A. y ( y  e. 
U. A  ->  y  e.  B )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  x  C_  B )
)
18 dfss2 3329 . 2  |-  ( U. A  C_  B  <->  A. y
( y  e.  U. A  ->  y  e.  B
) )
19 df-ral 2702 . 2  |-  ( A. x  e.  A  x  C_  B  <->  A. x ( x  e.  A  ->  x  C_  B ) )
2017, 18, 193bitr4i 269 1  |-  ( U. A  C_  B  <->  A. x  e.  A  x  C_  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312   U.cuni 4007
This theorem is referenced by:  uniss2  4038  ssunieq  4040  sspwuni  4168  pwssb  4169  ordunisssuc  4675  bm2.5ii  4777  sorpssuni  6522  sbthlem1  7208  ordunifi  7348  isfinite2  7356  cflim2  8132  fin23lem16  8204  fin23lem29  8210  fin1a2lem11  8279  fin1a2lem13  8281  itunitc  8290  zorng  8373  wuncval2  8611  suplem1pr  8918  suplem2pr  8919  mrcuni  13834  ipodrsfi  14577  mrelatlub  14600  subgint  14952  efgval  15337  toponmre  17145  neips  17165  neiuni  17174  alexsubALTlem2  18067  alexsubALTlem3  18068  tgpconcompeqg  18129  unidmvol  24572  sxbrsigalem0  24609  dya2iocuni  24621  dya2iocucvr  24622  ovoliunnfl  26194  voliunnfl  26196  volsupnfl  26197  topjoin  26331  fnejoin1  26334  fnejoin2  26335  intidl  26576  unichnidl  26578
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ral 2702  df-v 2950  df-in 3319  df-ss 3326  df-uni 4008
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