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Theorem unissb 3831
Description: Relationship involving membership, subset, and union. Exercise 5 of [Enderton] p. 26 and its converse. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
unissb  |-  ( U. A  C_  B  <->  A. x  e.  A  x  C_  B
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem unissb
StepHypRef Expression
1 eluni 3804 . . . . . 6  |-  ( y  e.  U. A  <->  E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  A
) )
21imbi1i 317 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  U. A  ->  y  e.  B )  <-> 
( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  B ) )
3 19.23v 2022 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  B )  <->  ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  B ) )
42, 3bitr4i 245 . . . 4  |-  ( ( y  e.  U. A  ->  y  e.  B )  <->  A. x ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  B ) )
54albii 1554 . . 3  |-  ( A. y ( y  e. 
U. A  ->  y  e.  B )  <->  A. y A. x ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  B ) )
6 alcom 1568 . . . 4  |-  ( A. y A. x ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  B )  <->  A. x A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  B ) )
7 19.21v 2012 . . . . . 6  |-  ( A. y ( x  e.  A  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  B ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  B ) ) )
8 impexp 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  B )  <->  ( y  e.  x  ->  ( x  e.  A  ->  y  e.  B ) ) )
9 bi2.04 352 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  x  -> 
( x  e.  A  ->  y  e.  B ) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  B ) ) )
108, 9bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  B )  <->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  B ) ) )
1110albii 1554 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  B )  <->  A. y
( x  e.  A  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  B ) ) )
12 dfss2 3144 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  B  <->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  B ) )
1312imbi2i 305 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  ->  x  C_  B )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  B ) ) )
147, 11, 133bitr4i 270 . . . . 5  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  B )  <->  ( x  e.  A  ->  x  C_  B ) )
1514albii 1554 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  B )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  x  C_  B
) )
166, 15bitri 242 . . 3  |-  ( A. y A. x ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  B )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  x  C_  B
) )
175, 16bitri 242 . 2  |-  ( A. y ( y  e. 
U. A  ->  y  e.  B )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  x  C_  B )
)
18 dfss2 3144 . 2  |-  ( U. A  C_  B  <->  A. y
( y  e.  U. A  ->  y  e.  B
) )
19 df-ral 2523 . 2  |-  ( A. x  e.  A  x  C_  B  <->  A. x ( x  e.  A  ->  x  C_  B ) )
2017, 18, 193bitr4i 270 1  |-  ( U. A  C_  B  <->  A. x  e.  A  x  C_  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1532   E.wex 1537    e. wcel 1621   A.wral 2518    C_ wss 3127   U.cuni 3801
This theorem is referenced by:  uniss2  3832  ssunieq  3834  sspwuni  3961  pwssb  3962  ordunisssuc  4467  bm2.5ii  4569  sorpssuni  6220  sbthlem1  6939  ordunifi  7075  isfinite2  7083  cflim2  7857  fin23lem16  7929  fin23lem29  7935  fin1a2lem11  8004  fin1a2lem13  8006  itunitc  8015  zorng  8099  wuncval2  8337  suplem1pr  8644  suplem2pr  8645  mrcuni  13485  ipodrsfi  14228  mrelatlub  14251  subgint  14603  efgval  14988  toponmre  16792  neips  16812  neiuni  16821  alexsubALTlem2  17704  alexsubALTlem3  17705  tgpconcompeqg  17756  intopcoaconlem3b  24905  intopcoaconlem3  24906  qusp  24909  topjoin  25681  fnejoin1  25684  fnejoin2  25685  intidl  26021  unichnidl  26023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ral 2523  df-v 2765  df-in 3134  df-ss 3141  df-uni 3802
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