Theorem unitgt 7565

Description: The topology generated by a basis B is a topology on U.B. Importantly, this theorem means that we don't have to specify separately the base set for the topological space generated by a basis. In other words, any member of the class Bases completely specifies the basis it corresponds to.

Assertion

Ref	Expression
unitgt	|- (B e. Bases -> U.(topGen` B) = U.B)

Proof of Theorem unitgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltgt 7560	. . . . . 6 |- (B e. Bases -> (y e. (topGen` B) <-> y (_ U.(B i^i P~y)))
2		inss1 2220	. . . . . . . . 9 |- (B i^i P~y) (_ B
3		uniss 2511	. . . . . . . . 9 |- ((B i^i P~y) (_ B -> U.(B i^i P~y) (_ U.B)
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- U.(B i^i P~y) (_ U.B
5		sstr 2062	. . . . . . . 8 |- ((y (_ U.(B i^i P~y) /\ U.(B i^i P~y) (_ U.B) -> y (_ U.B)
6	4, 5	mpan2 694	. . . . . . 7 |- (y (_ U.(B i^i P~y) -> y (_ U.B)
7	6	sseld 2057	. . . . . 6 |- (y (_ U.(B i^i P~y) -> (x e. y -> x e. U.B))
8	1, 7	syl6bi 214	. . . . 5 |- (B e. Bases -> (y e. (topGen` B) -> (x e. y -> x e. U.B)))
9	8	r19.23adv 1738	. . . 4 |- (B e. Bases -> (E.y e. (topGen` B)x e. y -> x e. U.B))
10		eluni2 2497	. . . 4 |- (x e. U.(topGen` B) <-> E.y e. (topGen` B)x e. y)
11	9, 10	syl5ib 206	. . 3 |- (B e. Bases -> (x e. U.(topGen` B) -> x e. U.B))
12		bastgt 7564	. . . . 5 |- (B e. Bases -> B (_ (topGen` B))
13		uniss 2511	. . . . 5 |- (B (_ (topGen` B) -> U.B (_ U.(topGen` B))
14	12, 13	syl 10	. . . 4 |- (B e. Bases -> U.B (_ U.(topGen` B))
15	14	sseld 2057	. . 3 |- (B e. Bases -> (x e. U.B -> x e. U.(topGen` B)))
16	11, 15	impbid 514	. 2 |- (B e. Bases -> (x e. U.(topGen` B) <-> x e. U.B))
17	16	eqrdv 1466	1 |- (B e. Bases -> U.(topGen` B) = U.B)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 953   e. wcel 955  E.wrex 1638   i^i cin 2036   (_ wss 2037  P~cpw 2391  U.cuni 2493  ` cfv 3172  Basesctb 7532  topGenctg 7533

This theorem is referenced by:  tgclt 7566  uniretop 7599

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fv 3188  df-bases 7536  df-topgen 7537

Copyright terms: Public domain