Theorem uniun 2509

Description: The class union of the union of two classes. Theorem 8.3 of [Quine] p. 53.

Assertion

Ref	Expression
uniun	|- U.(A u. B) = (U.A u. U.B)

Proof of Theorem uniun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.43 1084	. . . 4 |- (E.y((x e. y /\ y e. A) \/ (x e. y /\ y e. B)) <-> (E.y(x e. y /\ y e. A) \/ E.y(x e. y /\ y e. B)))
2		elun 2163	. . . . . . 7 |- (y e. (A u. B) <-> (y e. A \/ y e. B))
3	2	anbi2i 479	. . . . . 6 |- ((x e. y /\ y e. (A u. B)) <-> (x e. y /\ (y e. A \/ y e. B)))
4		andi 602	. . . . . 6 |- ((x e. y /\ (y e. A \/ y e. B)) <-> ((x e. y /\ y e. A) \/ (x e. y /\ y e. B)))
5	3, 4	bitr 173	. . . . 5 |- ((x e. y /\ y e. (A u. B)) <-> ((x e. y /\ y e. A) \/ (x e. y /\ y e. B)))
6	5	exbii 1047	. . . 4 |- (E.y(x e. y /\ y e. (A u. B)) <-> E.y((x e. y /\ y e. A) \/ (x e. y /\ y e. B)))
7		eluni 2496	. . . . 5 |- (x e. U.A <-> E.y(x e. y /\ y e. A))
8		eluni 2496	. . . . 5 |- (x e. U.B <-> E.y(x e. y /\ y e. B))
9	7, 8	orbi12i 257	. . . 4 |- ((x e. U.A \/ x e. U.B) <-> (E.y(x e. y /\ y e. A) \/ E.y(x e. y /\ y e. B)))
10	1, 6, 9	3bitr4 183	. . 3 |- (E.y(x e. y /\ y e. (A u. B)) <-> (x e. U.A \/ x e. U.B))
11		eluni 2496	. . 3 |- (x e. U.(A u. B) <-> E.y(x e. y /\ y e. (A u. B)))
12		elun 2163	. . 3 |- (x e. (U.A u. U.B) <-> (x e. U.A \/ x e. U.B))
13	10, 11, 12	3bitr4 183	. 2 |- (x e. U.(A u. B) <-> x e. (U.A u. U.B))
14	13	eqriv 1467	1 |- U.(A u. B) = (U.A u. U.B)

Syntax hints:   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977   u. cun 2035  U.cuni 2493

This theorem is referenced by:  unidif0 2729  unisuc 3036  onuninsuc 3098  oaabs 4236  unifi 4532

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-12 965  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-v 1803  df-un 2040  df-uni 2494

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