MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unon Unicode version

Theorem unon 4513
Description: The class of all ordinal numbers is its own union. Exercise 11 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 12-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
unon  |-  U. On  =  On

Proof of Theorem unon
StepHypRef Expression
1 eluni2 3731 . . . 4  |-  ( x  e.  U. On  <->  E. y  e.  On  x  e.  y )
2 onelon 4310 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  On )
32rexlimiva 2624 . . . 4  |-  ( E. y  e.  On  x  e.  y  ->  x  e.  On )
41, 3sylbi 189 . . 3  |-  ( x  e.  U. On  ->  x  e.  On )
5 vex 2730 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
65sucid 4364 . . . 4  |-  x  e. 
suc  x
7 suceloni 4495 . . . 4  |-  ( x  e.  On  ->  suc  x  e.  On )
8 elunii 3732 . . . 4  |-  ( ( x  e.  suc  x  /\  suc  x  e.  On )  ->  x  e.  U. On )
96, 7, 8sylancr 647 . . 3  |-  ( x  e.  On  ->  x  e.  U. On )
104, 9impbii 182 . 2  |-  ( x  e.  U. On  <->  x  e.  On )
1110eqriv 2250 1  |-  U. On  =  On
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2510   U.cuni 3727   Oncon0 4285   suc csuc 4287
This theorem is referenced by:  ordunisuc  4514  limon  4518  orduninsuc  4525  ordtoplem  24048  ordcmp  24060
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-suc 4291
  Copyright terms: Public domain W3C validator