MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unon Unicode version

Theorem unon 4580
Description: The class of all ordinal numbers is its own union. Exercise 11 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 12-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
unon  |-  U. On  =  On

Proof of Theorem unon
StepHypRef Expression
1 eluni2 3791 . . . 4  |-  ( x  e.  U. On  <->  E. y  e.  On  x  e.  y )
2 onelon 4375 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  On )
32rexlimiva 2635 . . . 4  |-  ( E. y  e.  On  x  e.  y  ->  x  e.  On )
41, 3sylbi 189 . . 3  |-  ( x  e.  U. On  ->  x  e.  On )
5 vex 2760 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
65sucid 4429 . . . 4  |-  x  e. 
suc  x
7 suceloni 4562 . . . 4  |-  ( x  e.  On  ->  suc  x  e.  On )
8 elunii 3792 . . . 4  |-  ( ( x  e.  suc  x  /\  suc  x  e.  On )  ->  x  e.  U. On )
96, 7, 8sylancr 647 . . 3  |-  ( x  e.  On  ->  x  e.  U. On )
104, 9impbii 182 . 2  |-  ( x  e.  U. On  <->  x  e.  On )
1110eqriv 2253 1  |-  U. On  =  On
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2517   U.cuni 3787   Oncon0 4350   suc csuc 4352
This theorem is referenced by:  ordunisuc  4581  limon  4585  orduninsuc  4592  ordtoplem  24235  ordcmp  24247
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-suc 4356
  Copyright terms: Public domain W3C validator