HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unopadj Unicode version

Theorem unopadj 22459
Description: The inverse (converse) of a unitary operator is its adjoint. Equation 2 of [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unopadj  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  A  e.  ~H  /\  B  e. 
~H )  ->  (
( T `  A
)  .ih  B )  =  ( A  .ih  ( `' T `  B ) ) )

Proof of Theorem unopadj
StepHypRef Expression
1 unopf1o 22456 . . . . 5  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
-1-1-onto-> ~H )
2 f1ocnvfv2 5727 . . . . 5  |-  ( ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  /\  B  e. 
~H )  ->  ( T `  ( `' T `  B )
)  =  B )
31, 2sylan 459 . . . 4  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( `' T `  B )
)  =  B )
433adant2 979 . . 3  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  A  e.  ~H  /\  B  e. 
~H )  ->  ( T `  ( `' T `  B )
)  =  B )
54oveq2d 5808 . 2  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  A  e.  ~H  /\  B  e. 
~H )  ->  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  ( `' T `  B ) ) )  =  ( ( T `
 A )  .ih  B ) )
6 f1ocnv 5423 . . . . . 6  |-  ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  ->  `' T : ~H -1-1-onto-> ~H )
7 f1of 5410 . . . . . 6  |-  ( `' T : ~H -1-1-onto-> ~H  ->  `' T : ~H --> ~H )
81, 6, 73syl 20 . . . . 5  |-  ( T  e.  UniOp  ->  `' T : ~H --> ~H )
9 ffvelrn 5597 . . . . 5  |-  ( ( `' T : ~H --> ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( `' T `  B )  e.  ~H )
108, 9sylan 459 . . . 4  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  B  e.  ~H )  ->  ( `' T `  B )  e.  ~H )
11103adant2 979 . . 3  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  A  e.  ~H  /\  B  e. 
~H )  ->  ( `' T `  B )  e.  ~H )
12 unop 22455 . . 3  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  A  e.  ~H  /\  ( `' T `  B )  e.  ~H )  -> 
( ( T `  A )  .ih  ( T `  ( `' T `  B )
) )  =  ( A  .ih  ( `' T `  B ) ) )
1311, 12syld3an3 1232 . 2  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  A  e.  ~H  /\  B  e. 
~H )  ->  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  ( `' T `  B ) ) )  =  ( A  .ih  ( `' T `  B ) ) )
145, 13eqtr3d 2292 1  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  A  e.  ~H  /\  B  e. 
~H )  ->  (
( T `  A
)  .ih  B )  =  ( A  .ih  ( `' T `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   `'ccnv 4660   -->wf 4669   -1-1-onto->wf1o 4672   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   ~Hchil 21459    .ih csp 21462   UniOpcuo 21489
This theorem is referenced by:  unoplin  22460  unopadj2  22478
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-hilex 21539  ax-hfvadd 21540  ax-hvcom 21541  ax-hvass 21542  ax-hv0cl 21543  ax-hvaddid 21544  ax-hfvmul 21545  ax-hvmulid 21546  ax-hvdistr2 21549  ax-hvmul0 21550  ax-hfi 21618  ax-his1 21621  ax-his2 21622  ax-his3 21623  ax-his4 21624
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-iota 6225  df-riota 6272  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-2 9772  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-hvsub 21511  df-unop 22383
  Copyright terms: Public domain W3C validator