Theorem unopadj2 23398

Description: The adjoint of a unitary operator is its inverse (converse). Equation 2 of [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 23-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
unopadj2	|- ( T e. UniOp -> ( adjh ` T ) = `' T )

Proof of Theorem unopadj2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unoplin 23380	. . 3 |- ( T e. UniOp -> T e. LinOp )
2		lnopf 23319	. . 3 |- ( T e. LinOp -> T : ~H --> ~H )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( T e. UniOp -> T : ~H --> ~H )
4		cnvunop 23378	. . 3 |- ( T e. UniOp -> `' T e. UniOp )
5		unoplin 23380	. . 3 |- ( `' T e. UniOp -> `' T e. LinOp )
6		lnopf 23319	. . 3 |- ( `' T e. LinOp -> `' T : ~H --> ~H )
7	4, 5, 6	3syl 19	. 2 |- ( T e. UniOp -> `' T : ~H --> ~H )
8		unopadj 23379	. . . 4 |- ( ( T e. UniOp /\ x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( `' T ` y ) ) )
9	8	3expib 1156	. . 3 |- ( T e. UniOp -> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( `' T ` y ) ) ) )
10	9	ralrimivv 2761	. 2 |- ( T e. UniOp -> A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( `' T ` y ) ) )
11		adjeq 23395	. 2 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ `' T : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( `' T ` y ) ) ) -> ( adjh ` T ) = `' T )
12	3, 7, 10, 11	syl3anc 1184	1 |- ( T e. UniOp -> ( adjh ` T ) = `' T )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2670   `'ccnv 4840   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   ~Hchil 22379   .ih csp 22382   LinOpclo 22407   UniOpcuo 22409   adjhcado 22415

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-hilex 22459  ax-hfvadd 22460  ax-hvcom 22461  ax-hvass 22462  ax-hv0cl 22463  ax-hvaddid 22464  ax-hfvmul 22465  ax-hvmulid 22466  ax-hvdistr2 22469  ax-hvmul0 22470  ax-hfi 22538  ax-his1 22541  ax-his2 22542  ax-his3 22543  ax-his4 22544

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-riota 6512  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-2 10018  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-hvsub 22431  df-lnop 23301  df-unop 23303  df-adjh 23309