Theorem unopadj2 22479

Description: The adjoint of a unitary operator is its inverse (converse). Equation 2 of [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 23-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
unopadj2	|- ( T e. UniOp -> ( adjh ` T ) = `' T )

Proof of Theorem unopadj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unoplin 22461	. . 3 |- ( T e. UniOp -> T e. LinOp )
2		lnopf 22400	. . 3 |- ( T e. LinOp -> T : ~H --> ~H )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( T e. UniOp -> T : ~H --> ~H )
4		cnvunop 22459	. . 3 |- ( T e. UniOp -> `' T e. UniOp )
5		unoplin 22461	. . 3 |- ( `' T e. UniOp -> `' T e. LinOp )
6		lnopf 22400	. . 3 |- ( `' T e. LinOp -> `' T : ~H --> ~H )
7	4, 5, 6	3syl 20	. 2 |- ( T e. UniOp -> `' T : ~H --> ~H )
8		unopadj 22460	. . . 4 |- ( ( T e. UniOp /\ x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( `' T ` y ) ) )
9	8	3expib 1159	. . 3 |- ( T e. UniOp -> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( `' T ` y ) ) ) )
10	9	ralrimivv 2609	. 2 |- ( T e. UniOp -> A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( `' T ` y ) ) )
11		adjeq 22476	. 2 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ `' T : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( `' T ` y ) ) ) -> ( adjh ` T ) = `' T )
12	3, 7, 10, 11	syl3anc 1187	1 |- ( T e. UniOp -> ( adjh ` T ) = `' T )

Syntax hints:   -> wi 6   = wceq 1619   e. wcel 1621   A.wral 2518   `'ccnv 4660   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   ~Hchil 21460   .ih csp 21463   LinOpclo 21488   UniOpcuo 21490   adjhcado 21496

This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-hilex 21540  ax-hfvadd 21541  ax-hvcom 21542  ax-hvass 21543  ax-hv0cl 21544  ax-hvaddid 21545  ax-hfvmul 21546  ax-hvmulid 21547  ax-hvdistr2 21550  ax-hvmul0 21551  ax-hfi 21619  ax-his1 21622  ax-his2 21623  ax-his3 21624  ax-his4 21625

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-iota 6225  df-riota 6272  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-2 9772  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-hvsub 21512  df-lnop 22382  df-unop 22384  df-adjh 22390