Theorem unopadj2 23433

Description: The adjoint of a unitary operator is its inverse (converse). Equation 2 of [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 23-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
unopadj2	|- ( T e. UniOp -> ( adjh ` T ) = `' T )

Proof of Theorem unopadj2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unoplin 23415	. . 3 |- ( T e. UniOp -> T e. LinOp )
2		lnopf 23354	. . 3 |- ( T e. LinOp -> T : ~H --> ~H )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( T e. UniOp -> T : ~H --> ~H )
4		cnvunop 23413	. . 3 |- ( T e. UniOp -> `' T e. UniOp )
5		unoplin 23415	. . 3 |- ( `' T e. UniOp -> `' T e. LinOp )
6		lnopf 23354	. . 3 |- ( `' T e. LinOp -> `' T : ~H --> ~H )
7	4, 5, 6	3syl 19	. 2 |- ( T e. UniOp -> `' T : ~H --> ~H )
8		unopadj 23414	. . . 4 |- ( ( T e. UniOp /\ x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( `' T ` y ) ) )
9	8	3expib 1156	. . 3 |- ( T e. UniOp -> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( `' T ` y ) ) ) )
10	9	ralrimivv 2789	. 2 |- ( T e. UniOp -> A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( `' T ` y ) ) )
11		adjeq 23430	. 2 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ `' T : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( `' T ` y ) ) ) -> ( adjh ` T ) = `' T )
12	3, 7, 10, 11	syl3anc 1184	1 |- ( T e. UniOp -> ( adjh ` T ) = `' T )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1652   e. wcel 1725   A.wral 2697   `'ccnv 4869   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ~Hchil 22414   .ih csp 22417   LinOpclo 22442   UniOpcuo 22444   adjhcado 22450

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-hilex 22494  ax-hfvadd 22495  ax-hvcom 22496  ax-hvass 22497  ax-hv0cl 22498  ax-hvaddid 22499  ax-hfvmul 22500  ax-hvmulid 22501  ax-hvdistr2 22504  ax-hvmul0 22505  ax-hfi 22573  ax-his1 22576  ax-his2 22577  ax-his3 22578  ax-his4 22579

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-2 10050  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-hvsub 22466  df-lnop 23336  df-unop 23338  df-adjh 23344