Theorem unopadj2 22514

Description: The adjoint of a unitary operator is its inverse (converse). Equation 2 of [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 23-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
unopadj2	|- ( T e. UniOp -> ( adjh ` T ) = `' T )

Proof of Theorem unopadj2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unoplin 22496	. . 3 |- ( T e. UniOp -> T e. LinOp )
2		lnopf 22435	. . 3 |- ( T e. LinOp -> T : ~H --> ~H )
3	1, 2	syl 15	. 2 |- ( T e. UniOp -> T : ~H --> ~H )
4		cnvunop 22494	. . 3 |- ( T e. UniOp -> `' T e. UniOp )
5		unoplin 22496	. . 3 |- ( `' T e. UniOp -> `' T e. LinOp )
6		lnopf 22435	. . 3 |- ( `' T e. LinOp -> `' T : ~H --> ~H )
7	4, 5, 6	3syl 18	. 2 |- ( T e. UniOp -> `' T : ~H --> ~H )
8		unopadj 22495	. . . 4 |- ( ( T e. UniOp /\ x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( `' T ` y ) ) )
9	8	3expib 1154	. . 3 |- ( T e. UniOp -> ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( `' T ` y ) ) ) )
10	9	ralrimivv 2635	. 2 |- ( T e. UniOp -> A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( `' T ` y ) ) )
11		adjeq 22511	. 2 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ `' T : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( `' T ` y ) ) ) -> ( adjh ` T ) = `' T )
12	3, 7, 10, 11	syl3anc 1182	1 |- ( T e. UniOp -> ( adjh ` T ) = `' T )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1623   e. wcel 1685   A.wral 2544   `'ccnv 4687   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   ~Hchil 21495   .ih csp 21498   LinOpclo 21523   UniOpcuo 21525   adjhcado 21531

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-hilex 21575  ax-hfvadd 21576  ax-hvcom 21577  ax-hvass 21578  ax-hv0cl 21579  ax-hvaddid 21580  ax-hfvmul 21581  ax-hvmulid 21582  ax-hvdistr2 21585  ax-hvmul0 21586  ax-hfi 21654  ax-his1 21657  ax-his2 21658  ax-his3 21659  ax-his4 21660

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-2 9800  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-hvsub 21547  df-lnop 22417  df-unop 22419  df-adjh 22425