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Theorem unoplin 22494
Description: A unitary operator is linear. Theorem in [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unoplin  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T  e.  LinOp
)
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem unoplin
StepHypRef Expression
1 unopf1o 22490 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
-1-1-onto-> ~H )
2 f1of 5439 . . 3  |-  ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  ->  T : ~H
--> ~H )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
--> ~H )
4 simplll 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  T  e.  UniOp )
5 hvmulcl 21587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
6 hvaddcl 21586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
75, 6sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
87adantll 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e. 
~H )
98adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
10 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  w  e.  ~H )
11 unopadj 22493 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  y )  +h  z )  .ih  ( `' T `  w ) ) )
124, 9, 10, 11syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  y )  +h  z
)  .ih  ( `' T `  w )
) )
13 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  x  e.  CC )
1413ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  x  e.  CC )
15 simprr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  y  e.  ~H )
1615ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  y  e.  ~H )
17 simplr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  z  e.  ~H )
18 cnvunop 22492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  UniOp  ->  `' T  e.  UniOp )
19 unopf1o 22490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' T  e.  UniOp  ->  `' T : ~H -1-1-onto-> ~H )
20 f1of 5439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' T : ~H -1-1-onto-> ~H  ->  `' T : ~H --> ~H )
2118, 19, 203syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  UniOp  ->  `' T : ~H --> ~H )
22 ffvelrn 5626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' T : ~H --> ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  ( `' T `  w )  e.  ~H )
2321, 22sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  w  e.  ~H )  ->  ( `' T `  w )  e.  ~H )
2423adantlr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( `' T `  w )  e.  ~H )
2524adantllr 701 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( `' T `  w )  e.  ~H )
26 hiassdi 21664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  ( z  e.  ~H  /\  ( `' T `  w )  e.  ~H ) )  ->  (
( ( x  .h  y )  +h  z
)  .ih  ( `' T `  w )
)  =  ( ( x  x.  ( y 
.ih  ( `' T `  w ) ) )  +  ( z  .ih  ( `' T `  w ) ) ) )
2714, 16, 17, 25, 26syl22anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  .h  y )  +h  z )  .ih  ( `' T `  w ) )  =  ( ( x  x.  ( y 
.ih  ( `' T `  w ) ) )  +  ( z  .ih  ( `' T `  w ) ) ) )
28 ffvelrn 5626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y
)  e.  ~H )
293, 28sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
3029adantrl 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
3130ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
32 ffvelrn 5626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  z
)  e.  ~H )
333, 32sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
3433adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
3534adantllr 701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
36 hiassdi 21664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  y
)  e.  ~H )  /\  ( ( T `  z )  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) 
.ih  w )  =  ( ( x  x.  ( ( T `  y )  .ih  w
) )  +  ( ( T `  z
)  .ih  w )
) )
3714, 31, 35, 10, 36syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) )  .ih  w )  =  ( ( x  x.  (
( T `  y
)  .ih  w )
)  +  ( ( T `  z ) 
.ih  w ) ) )
38 unopadj 22493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  w )  =  ( y  .ih  ( `' T `  w ) ) )
39383expa 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 y )  .ih  w )  =  ( y  .ih  ( `' T `  w ) ) )
4039oveq2d 5837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( ( T `  y )  .ih  w
) )  =  ( x  x.  ( y 
.ih  ( `' T `  w ) ) ) )
4140adantlrl 702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( ( T `
 y )  .ih  w ) )  =  ( x  x.  (
y  .ih  ( `' T `  w )
) ) )
4241adantlr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( ( T `  y )  .ih  w
) )  =  ( x  x.  ( y 
.ih  ( `' T `  w ) ) ) )
43 unopadj 22493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  z  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
( T `  z
)  .ih  w )  =  ( z  .ih  ( `' T `  w ) ) )
44433expa 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 z )  .ih  w )  =  ( z  .ih  ( `' T `  w ) ) )
4544adantllr 701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 z )  .ih  w )  =  ( z  .ih  ( `' T `  w ) ) )
4642, 45oveq12d 5839 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( ( T `
 y )  .ih  w ) )  +  ( ( T `  z )  .ih  w
) )  =  ( ( x  x.  (
y  .ih  ( `' T `  w )
) )  +  ( z  .ih  ( `' T `  w ) ) ) )
4737, 46eqtr2d 2319 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( y  .ih  ( `' T `  w ) ) )  +  ( z  .ih  ( `' T `  w ) ) )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )
)
4812, 27, 473eqtrd 2322 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )
)
4948ralrimiva 2629 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  A. w  e.  ~H  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )
)
50 ffvelrn 5626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H )
517, 50sylan2 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H )
5251anassrs 631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H )
53 hvmulcl 21587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
5428, 53sylan2 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( T `  y
) )  e.  ~H )
5554an12s 778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( T `  y
) )  e.  ~H )
5655adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
5732adantlr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  z
)  e.  ~H )
58 hvaddcl 21586 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H )  -> 
( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  e.  ~H )
5956, 57, 58syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  e.  ~H )
60 hial2eq 21679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H  /\  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  e.  ~H )  ->  ( A. w  e. 
~H  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )  <->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
6152, 59, 60syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A. w  e. 
~H  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )  <->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
623, 61sylanl1 633 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A. w  e.  ~H  (
( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) )  .ih  w )  <->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) ) )
6349, 62mpbid 203 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
) )
6463ralrimiva 2629 . . 3  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  A. z  e.  ~H  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) )
6564ralrimivva 2638 . 2  |-  ( T  e.  UniOp  ->  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) )
66 ellnop 22432 . 2  |-  ( T  e.  LinOp 
<->  ( T : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
673, 65, 66sylanbrc 647 1  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T  e.  LinOp
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1625    e. wcel 1687   A.wral 2546   `'ccnv 4689   -->wf 5219   -1-1-onto->wf1o 5222   ` cfv 5223  (class class class)co 5821   CCcc 8732    + caddc 8737    x. cmul 8739   ~Hchil 21493    +h cva 21494    .h csm 21495    .ih csp 21496   LinOpclo 21521   UniOpcuo 21523
This theorem is referenced by:  unopadj2  22512  idlnop  22566  elunop2  22587  nmopun  22588  unopbd  22589
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-rep 4134  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-hilex 21573  ax-hfvadd 21574  ax-hvcom 21575  ax-hvass 21576  ax-hv0cl 21577  ax-hvaddid 21578  ax-hfvmul 21579  ax-hvmulid 21580  ax-hvdistr2 21583  ax-hvmul0 21584  ax-hfi 21652  ax-his1 21655  ax-his2 21656  ax-his3 21657  ax-his4 21658
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3831  df-iun 3910  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-iota 6254  df-riota 6301  df-er 6657  df-map 6771  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-2 9801  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-hvsub 21545  df-lnop 22415  df-unop 22417
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