Theorem unpde2eg2 10825

Description: Conditions to have a set of two elements. To be suppressed. See unpde2eg22 10826 instead.

Assertion

Ref	Expression
unpde2eg2	|- ((A e. C /\ B e. D /\ A =/= B) -> {A, B} ~~ 2o)

Proof of Theorem unpde2eg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm54.43 4715	. . . . . . 7 |- (({A} ~~ 1o /\ {B} ~~ 1o) -> (({A} i^i {B}) = (/) <-> ({A} u. {B}) ~~ 2o))
2		df-pr 2471	. . . . . . . 8 |- {A, B} = ({A} u. {B})
3	2	breq1i 2699	. . . . . . 7 |- ({A, B} ~~ 2o <-> ({A} u. {B}) ~~ 2o)
4	1, 3	syl6bbr 541	. . . . . 6 |- (({A} ~~ 1o /\ {B} ~~ 1o) -> (({A} i^i {B}) = (/) <-> {A, B} ~~ 2o))
5	4	biimpd 151	. . . . 5 |- (({A} ~~ 1o /\ {B} ~~ 1o) -> (({A} i^i {B}) = (/) -> {A, B} ~~ 2o))
6		ensn1g 4566	. . . . 5 |- (A e. C -> {A} ~~ 1o)
7		ensn1g 4566	. . . . 5 |- (B e. D -> {B} ~~ 1o)
8	5, 6, 7	syl2an 456	. . . 4 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (({A} i^i {B}) = (/) -> {A, B} ~~ 2o))
9	8	ex 371	. . 3 |- (A e. C -> (B e. D -> (({A} i^i {B}) = (/) -> {A, B} ~~ 2o)))
10		disjsn2 2503	. . 3 |- (A =/= B -> ({A} i^i {B}) = (/))
11	9, 10	syl7 23	. 2 |- (A e. C -> (B e. D -> (A =/= B -> {A, B} ~~ 2o)))
12	11	3imp 833	1 |- ((A e. C /\ B e. D /\ A =/= B) -> {A, B} ~~ 2o)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   /\ w3a 781   = wceq 992   e. wcel 994   =/= wne 1628   u. cun 2097   i^i cin 2098  (/)c0 2332  {csn 2467  {cpr 2468   class class class wbr 2692  1oc1o 4264  2oc2o 4265   ~~ cen 4505

This theorem is referenced by:  unpde2eg22 10826  set2elt 10827  homindlem3 11053

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-suc 2981  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-1o 4269  df-2o 4270  df-er 4401  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511

Copyright terms: Public domain