Theorem unsnen 4983

Description: Equinumerosity of a set with a new element added.

Hypotheses

Ref	Expression
unsnen.1	|- A e. V
unsnen.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
unsnen	|- (-. B e. A -> (A u. {B}) ~~ suc (card` A))

Proof of Theorem unsnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjsn 2502	. . 3 |- ((A i^i {B}) = (/) <-> -. B e. A)
2		cardon 4974	. . . . . 6 |- (card` A) e. On
3	2	onordi 3074	. . . . 5 |- Ord (card` A)
4		orddisj 3013	. . . . 5 |- (Ord (card` A) -> ((card` A) i^i {(card` A)}) = (/))
5	3, 4	ax-mp 7	. . . 4 |- ((card` A) i^i {(card` A)}) = (/)
6		unsnen.1	. . . . . 6 |- A e. V
7		cardid 4975	. . . . . 6 |- (card` A) ~~ A
8	6, 7	ensymi 4554	. . . . 5 |- A ~~ (card` A)
9		unsnen.2	. . . . . 6 |- B e. V
10		fvex 3843	. . . . . 6 |- (card` A) e. V
11		en2sn 4572	. . . . . 6 |- ((B e. V /\ (card` A) e. V) -> {B} ~~ {(card` A)})
12	9, 10, 11	mp2an 701	. . . . 5 |- {B} ~~ {(card` A)}
13		unen 4575	. . . . 5 |- (((A ~~ (card` A) /\ {B} ~~ {(card` A)}) /\ ((A i^i {B}) = (/) /\ ((card` A) i^i {(card` A)}) = (/))) -> (A u. {B}) ~~ ((card` A) u. {(card` A)}))
14	8, 12, 13	mpanl12 712	. . . 4 |- (((A i^i {B}) = (/) /\ ((card` A) i^i {(card` A)}) = (/)) -> (A u. {B}) ~~ ((card` A) u. {(card` A)}))
15	5, 14	mpan2 700	. . 3 |- ((A i^i {B}) = (/) -> (A u. {B}) ~~ ((card` A) u. {(card` A)}))
16	1, 15	sylbir 199	. 2 |- (-. B e. A -> (A u. {B}) ~~ ((card` A) u. {(card` A)}))
17		df-suc 2981	. 2 |- suc (card` A) = ((card` A) u. {(card` A)})
18	16, 17	syl6breqr 2728	1 |- (-. B e. A -> (A u. {B}) ~~ suc (card` A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  Vcvv 1857   u. cun 2097   i^i cin 2098  (/)c0 2332  {csn 2467   class class class wbr 2692  Ord word 2974  suc csuc 2977  ` cfv 3263   ~~ cen 4505  cardccrd 4959

This theorem is referenced by:  cardfz 6671  dif1en 11833

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-ac 4890

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-suc 2981  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-1o 4269  df-er 4401  df-en 4509  df-card 4962

Copyright terms: Public domain