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Theorem unss 3259
Description: The union of two subclasses is a subclass. Theorem 27 of [Suppes] p. 27 and its converse. (Contributed by NM, 11-Jun-2004.)
Assertion
Ref Expression
unss  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  <->  ( A  u.  B )  C_  C
)

Proof of Theorem unss
StepHypRef Expression
1 dfss2 3092 . 2  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  C  <->  A. x
( x  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  C
) )
2 19.26 1592 . . 3  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  ->  x  e.  C )  /\  (
x  e.  B  ->  x  e.  C )
)  <->  ( A. x
( x  e.  A  ->  x  e.  C )  /\  A. x ( x  e.  B  ->  x  e.  C )
) )
3 elun 3226 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
43imbi1i 317 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  C )  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  ->  x  e.  C ) )
5 jaob 761 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  ->  x  e.  C )  <->  ( (
x  e.  A  ->  x  e.  C )  /\  ( x  e.  B  ->  x  e.  C ) ) )
64, 5bitri 242 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  C )  <->  ( ( x  e.  A  ->  x  e.  C )  /\  ( x  e.  B  ->  x  e.  C ) ) )
76albii 1554 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  ( A  u.  B
)  ->  x  e.  C )  <->  A. x
( ( x  e.  A  ->  x  e.  C )  /\  (
x  e.  B  ->  x  e.  C )
) )
8 dfss2 3092 . . . 4  |-  ( A 
C_  C  <->  A. x
( x  e.  A  ->  x  e.  C ) )
9 dfss2 3092 . . . 4  |-  ( B 
C_  C  <->  A. x
( x  e.  B  ->  x  e.  C ) )
108, 9anbi12i 681 . . 3  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  <->  ( A. x ( x  e.  A  ->  x  e.  C )  /\  A. x ( x  e.  B  ->  x  e.  C ) ) )
112, 7, 103bitr4i 270 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  ( A  u.  B
)  ->  x  e.  C )  <->  ( A  C_  C  /\  B  C_  C ) )
121, 11bitr2i 243 1  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  <->  ( A  u.  B )  C_  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360   A.wal 1532    e. wcel 1621    u. cun 3076    C_ wss 3078
This theorem is referenced by:  unssi  3260  unssd  3261  nsspssun  3309  uneqin  3327  uneqdifeq  3448  prss  3669  prssg  3670  ssunsn2  3673  tpss  3679  pwundif  4193  eldifpw  4457  eqrelrel  4695  xpsspw  4704  xpsspwOLD  4705  relun  4709  relcoi2  5106  fnsuppres  5584  dfer2  6547  isinf  6961  fiin  7059  trcl  7294  supxrun  10512  isumltss  12181  rpnnen2  12378  lubun  14071  isipodrs  14108  fpwipodrs  14111  ipodrsima  14112  aspval2  15918  unocv  16412  uncld  16610  restntr  16744  cmpcld  16961  uncmp  16962  ufprim  17436  tsmsfbas  17642  ovolctb2  18683  ovolun  18690  unmbl  18727  mbfeqalem  18829  plyun0  19411  sshjcl  21764  sshjval2  21820  shlub  21823  ssjo  21856  spanuni  21953  dfon2lem3  23309  dfon2lem7  23313  wfrlem15  23438  toplat  24456  cnfilca  24722  hdrmp  24872  pvp  25214  pgapspf  25218  clsun  25412  lsmfgcl  26338  lubunNEW  28067  paddssat  28907  pclunN  28991  paddunN  29020  poldmj1N  29021  pclfinclN  29043
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-v 2729  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089
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