Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unxpwdom Unicode version

Theorem unxpwdom 7517
 Description: If a cross product is dominated by a union, then the base set is either weakly dominated by one factor of the union or dominated by the other. Extracted from Lemma 2.3 of [KanamoriPincus] p. 420. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
unxpwdom *

Proof of Theorem unxpwdom
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 7078 . . . . 5
21brrelex2i 4882 . . . 4
3 domeng 7085 . . . 4
42, 3syl 16 . . 3
54ibi 233 . 2
6 simprl 733 . . . . 5
7 indi 3551 . . . . . 6
8 simprr 734 . . . . . . 7
9 df-ss 3298 . . . . . . 7
108, 9sylib 189 . . . . . 6
117, 10syl5eqr 2454 . . . . 5
126, 11breqtrrd 4202 . . . 4
13 unxpwdom2 7516 . . . 4 *
1412, 13syl 16 . . 3 *
15 ssun1 3474 . . . . . . . 8
162adantr 452 . . . . . . . 8
17 ssexg 4313 . . . . . . . 8
1815, 16, 17sylancr 645 . . . . . . 7
19 inss2 3526 . . . . . . 7
20 ssdomg 7116 . . . . . . 7
2118, 19, 20ee10 1382 . . . . . 6
22 domwdom 7502 . . . . . 6 *
2321, 22syl 16 . . . . 5 *
24 wdomtr 7503 . . . . . 6 * * *
2524expcom 425 . . . . 5 * * *
2623, 25syl 16 . . . 4 * *
27 ssun2 3475 . . . . . . 7
28 ssexg 4313 . . . . . . 7
2927, 16, 28sylancr 645 . . . . . 6
30 inss2 3526 . . . . . 6
31 ssdomg 7116 . . . . . 6
3229, 30, 31ee10 1382 . . . . 5
33 domtr 7123 . . . . . 6
3433expcom 425 . . . . 5
3532, 34syl 16 . . . 4
3626, 35orim12d 812 . . 3 * *
3714, 36mpd 15 . 2 *
385, 37exlimddv 1645 1 *
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359  wex 1547   wceq 1649   wcel 1721  cvv 2920   cun 3282   cin 3283   wss 3284   class class class wbr 4176   cxp 4839   cen 7069   cdom 7070   * cwdom 7485 This theorem is referenced by:  pwcdadom  8056 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-wdom 7487
 Copyright terms: Public domain W3C validator