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Theorem usg2spthonot0 28356
 Description: A simple path of length 2 between two vertices as ordered triple corresponds to two adjacent edges in an undirected simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
usg2spthonot0 USGrph 2SPathOnOt

Proof of Theorem usg2spthonot0
StepHypRef Expression
1 ne0i 3634 . . . . 5 2SPathOnOt 2SPathOnOt
2 2spontn0vne 28354 . . . . 5 2SPathOnOt
31, 2syl 16 . . . 4 2SPathOnOt
4 simpl 444 . . . . . . . . . . 11 USGrph USGrph
54adantl 453 . . . . . . . . . 10 USGrph USGrph
6 3simpb 955 . . . . . . . . . . . 12
76adantl 453 . . . . . . . . . . 11 USGrph
87adantl 453 . . . . . . . . . 10 USGrph
9 simpl 444 . . . . . . . . . 10 USGrph
10 2pthwlkonot 28352 . . . . . . . . . 10 USGrph 2SPathOnOt 2WalksOnOt
115, 8, 9, 10syl3anc 1184 . . . . . . . . 9 USGrph 2SPathOnOt 2WalksOnOt
1211eleq2d 2503 . . . . . . . 8 USGrph 2SPathOnOt 2WalksOnOt
13 usgrav 21371 . . . . . . . . . . . 12 USGrph
1413, 6anim12i 550 . . . . . . . . . . 11 USGrph
1514adantl 453 . . . . . . . . . 10 USGrph
16 el2wlkonotot1 28341 . . . . . . . . . 10 2WalksOnOt 2WalksOnOt
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9 USGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
18 df-3an 938 . . . . . . . . 9 2WalksOnOt 2WalksOnOt
1917, 18syl6bb 253 . . . . . . . 8 USGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
2012, 19bitrd 245 . . . . . . 7 USGrph 2SPathOnOt 2WalksOnOt
21 simpll 731 . . . . . . . . . . . . 13
22 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14
2322adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
24 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13
2521, 23, 243jca 1134 . . . . . . . . . . . 12
2625ex 424 . . . . . . . . . . 11
2726adantr 452 . . . . . . . . . 10 2WalksOnOt
2827com12 29 . . . . . . . . 9 2WalksOnOt
2928adantr 452 . . . . . . . 8 USGrph 2WalksOnOt
305adantl 453 . . . . . . . . . . . 12 USGrph USGrph
31 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph
32 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3332adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
3633, 353anbi13d 1256 . . . . . . . . . . . . . 14
3736adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph
3831, 37mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12 USGrph
39 usg2wlkonot 28350 . . . . . . . . . . . 12 USGrph 2WalksOnOt
4030, 38, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 USGrph 2WalksOnOt
41 preq1 3883 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
4342eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . 14
44 preq2 3884 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . 14
4743, 46anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13
4847biimpd 199 . . . . . . . . . . . 12
4948adantr 452 . . . . . . . . . . 11 USGrph
5040, 49sylbid 207 . . . . . . . . . 10 USGrph 2WalksOnOt
5150impancom 428 . . . . . . . . 9 2WalksOnOt USGrph
5251com12 29 . . . . . . . 8 USGrph 2WalksOnOt
5329, 52jcad 520 . . . . . . 7 USGrph 2WalksOnOt
5420, 53sylbid 207 . . . . . 6 USGrph 2SPathOnOt
5554ex 424 . . . . 5 USGrph 2SPathOnOt
5655com23 74 . . . 4 2SPathOnOt USGrph
573, 56mpcom 34 . . 3 2SPathOnOt USGrph
5857com12 29 . 2 USGrph 2SPathOnOt
59 simpll 731 . . . . . . . 8 USGrph USGrph
60 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15
6160eqcoms 2439 . . . . . . . . . . . . . 14
6261adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
63 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463eqcoms 2439 . . . . . . . . . . . . . 14
6564adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
6662, 653anbi13d 1256 . . . . . . . . . . . 12
6766biimpd 199 . . . . . . . . . . 11
6867adantld 454 . . . . . . . . . 10 USGrph
69683adant3 977 . . . . . . . . 9 USGrph
7069impcom 420 . . . . . . . 8 USGrph
7159, 70, 39syl2anc 643 . . . . . . 7 USGrph 2WalksOnOt
72473adant3 977 . . . . . . . 8
7372adantl 453 . . . . . . 7 USGrph
7471, 73bitr2d 246 . . . . . 6 USGrph 2WalksOnOt
7574pm5.32da 623 . . . . 5 USGrph 2WalksOnOt
76 df-3an 938 . . . . . . . 8
77 ancom 438 . . . . . . . 8
7876, 77bitri 241 . . . . . . 7
7978anbi1i 677 . . . . . 6 2WalksOnOt 2WalksOnOt
80 anass 631 . . . . . 6 2WalksOnOt 2WalksOnOt
8118bicomi 194 . . . . . . 7 2WalksOnOt 2WalksOnOt
8281anbi2i 676 . . . . . 6 2WalksOnOt 2WalksOnOt
8379, 80, 823bitri 263 . . . . 5 2WalksOnOt 2WalksOnOt
8475, 83syl6bb 253 . . . 4 USGrph 2WalksOnOt
8514, 16syl 16 . . . . . 6 USGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
8685bicomd 193 . . . . 5 USGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
8786anbi2d 685 . . . 4 USGrph 2WalksOnOt 2WalksOnOt
8884, 87bitrd 245 . . 3 USGrph 2WalksOnOt
89 simpll 731 . . . . . . 7 USGrph USGrph
907adantr 452 . . . . . . 7 USGrph
91 simpr 448 . . . . . . 7 USGrph
9210eqcomd 2441 . . . . . . 7 USGrph 2WalksOnOt 2SPathOnOt
9389, 90, 91, 92syl3anc 1184 . . . . . 6 USGrph 2WalksOnOt 2SPathOnOt
9493eleq2d 2503 . . . . 5 USGrph 2WalksOnOt 2SPathOnOt
9594biimpd 199 . . . 4 USGrph 2WalksOnOt 2SPathOnOt
9695expimpd 587 . . 3 USGrph 2WalksOnOt 2SPathOnOt
9788, 96sylbid 207 . 2 USGrph 2SPathOnOt
9858, 97impbid 184 1 USGrph 2SPathOnOt
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  cvv 2956  c0 3628  cpr 3815  cotp 3818   class class class wbr 4212   crn 4879  (class class class)co 6081   USGrph cusg 21365   2WalksOnOt c2wlkonot 28322   2SPathOnOt c2pthonot 28324 This theorem is referenced by:  usg2spthonot1  28357 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-ot 3824  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-hash 11619  df-word 11723  df-usgra 21367  df-wlk 21516  df-trail 21517  df-pth 21518  df-spth 21519  df-wlkon 21522  df-spthon 21525  df-2wlkonot 28325  df-2spthonot 28327
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