Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgreghash2spot Structured version   Unicode version

Theorem usgreghash2spot 28532
 Description: In a finite k-regular graph with N vertices there are N times " choose 2 " paths with length 2, according to the proof of the third claim in the proof of the friendship theorem in [Huneke] p. 2: "... giving n * ( k 2 ) total paths of length two.", if the direction of traversing the path is not respected. For simple paths of length 2 represented by ordered triples, however, we have again n*k*(k-1) such paths. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgreghash2spot USGrph VDeg 2SPathOnOt
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem usgreghash2spot
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10 2SPathOnOt 2SPathOnOt
2 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . 12
32fveq2d 5735 . . . . . . . . . . 11
43eqeq1d 2446 . . . . . . . . . 10
51, 4anbi12d 693 . . . . . . . . 9 2SPathOnOt 2SPathOnOt
65cbvrabv 2957 . . . . . . . 8 2SPathOnOt 2SPathOnOt
76mpteq2i 4295 . . . . . . 7 2SPathOnOt 2SPathOnOt
87usgreg2spot 28530 . . . . . 6 USGrph VDeg 2SPathOnOt 2SPathOnOt
983adant3 978 . . . . 5 USGrph VDeg 2SPathOnOt 2SPathOnOt
109imp 420 . . . 4 USGrph VDeg 2SPathOnOt 2SPathOnOt
1110fveq2d 5735 . . 3 USGrph VDeg 2SPathOnOt 2SPathOnOt
12 simpl 445 . . . . 5 VDeg
13 simpr 449 . . . . . . 7 VDeg
14 3xpfi 28110 . . . . . . . . 9
15 rabexg 4356 . . . . . . . . 9 2SPathOnOt
1614, 15syl 16 . . . . . . . 8 2SPathOnOt
1716ad2antrr 708 . . . . . . 7 VDeg 2SPathOnOt
18 eqeq2 2447 . . . . . . . . . 10
1918anbi2d 686 . . . . . . . . 9 2SPathOnOt 2SPathOnOt
2019rabbidv 2950 . . . . . . . 8 2SPathOnOt 2SPathOnOt
21 eqid 2438 . . . . . . . 8 2SPathOnOt 2SPathOnOt
2220, 21fvmptg 5807 . . . . . . 7 2SPathOnOt 2SPathOnOt 2SPathOnOt
2313, 17, 22syl2anc 644 . . . . . 6 VDeg 2SPathOnOt 2SPathOnOt
2414ad2antrr 708 . . . . . . 7 VDeg
25 rabfi 7336 . . . . . . 7 2SPathOnOt
2624, 25syl 16 . . . . . 6 VDeg 2SPathOnOt
2723, 26eqeltrd 2512 . . . . 5 VDeg 2SPathOnOt
28 elex 2966 . . . . . . 7
2972spotmdisj 28531 . . . . . . 7 Disj 2SPathOnOt
3028, 29syl 16 . . . . . 6 Disj 2SPathOnOt
3130adantr 453 . . . . 5 VDeg Disj 2SPathOnOt
3212, 27, 31hashiun 12606 . . . 4 VDeg 2SPathOnOt 2SPathOnOt
33323ad2antl2 1121 . . 3 USGrph VDeg 2SPathOnOt 2SPathOnOt
347usgreghash2spotv 28529 . . . . . . . . 9 USGrph VDeg 2SPathOnOt
35 ralim 2779 . . . . . . . . 9 VDeg 2SPathOnOt VDeg 2SPathOnOt
3634, 35syl 16 . . . . . . . 8 USGrph VDeg 2SPathOnOt
37363adant3 978 . . . . . . 7 USGrph VDeg 2SPathOnOt
3837imp 420 . . . . . 6 USGrph VDeg 2SPathOnOt
39 fveq2 5731 . . . . . . . . 9 2SPathOnOt 2SPathOnOt
4039fveq2d 5735 . . . . . . . 8 2SPathOnOt 2SPathOnOt
4140eqeq1d 2446 . . . . . . 7 2SPathOnOt 2SPathOnOt
4241rspccva 3053 . . . . . 6 2SPathOnOt 2SPathOnOt
4338, 42sylan 459 . . . . 5 USGrph VDeg 2SPathOnOt
4443sumeq2dv 12502 . . . 4 USGrph VDeg 2SPathOnOt
45 simpl2 962 . . . . 5 USGrph VDeg
46 usgfidegfi 28425 . . . . . . . 8 USGrph VDeg
47 r19.26 2840 . . . . . . . . . . 11 VDeg VDeg VDeg VDeg
48 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . 14 VDeg VDeg
4948biimpac 474 . . . . . . . . . . . . 13 VDeg VDeg
5049ralimi 2783 . . . . . . . . . . . 12 VDeg VDeg
51 r19.2z 3719 . . . . . . . . . . . . . 14
52 nn0cn 10236 . . . . . . . . . . . . . . . 16
53 kcnktkm1cn 28112 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
5554rexlimivw 2828 . . . . . . . . . . . . . 14
5651, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
5756expcom 426 . . . . . . . . . . . 12
5850, 57syl 16 . . . . . . . . . . 11 VDeg VDeg
5947, 58sylbir 206 . . . . . . . . . 10 VDeg VDeg
6059ex 425 . . . . . . . . 9 VDeg VDeg
6160com23 75 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
6246, 61syl 16 . . . . . . 7 USGrph VDeg
6362ex 425 . . . . . 6 USGrph VDeg
64633imp1 1167 . . . . 5 USGrph VDeg
65 fsumconst 12578 . . . . 5
6645, 64, 65syl2anc 644 . . . 4 USGrph VDeg
6744, 66eqtrd 2470 . . 3 USGrph VDeg 2SPathOnOt
6811, 33, 673eqtrd 2474 . 2 USGrph VDeg 2SPathOnOt
6968ex 425 1 USGrph VDeg 2SPathOnOt
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  crab 2711  cvv 2958  c0 3630  ciun 4095  Disj wdisj 4185   class class class wbr 4215   cmpt 4269   cxp 4879  cfv 5457  (class class class)co 6084  c1st 6350  c2nd 6351  cfn 7112  cc 8993  c1 8996   cmul 9000   cmin 9296  cn0 10226  chash 11623  csu 12484   USGrph cusg 21370   VDeg cvdg 21669   2SPathOnOt c2spthot 28388 This theorem is referenced by:  frgregordn0  28533 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4186  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-xadd 10716  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-word 11728  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-usgra 21372  df-nbgra 21438  df-wlk 21521  df-trail 21522  df-pth 21523  df-spth 21524  df-wlkon 21527  df-spthon 21530  df-vdgr 21670  df-2wlkonot 28390  df-2spthonot 28392  df-2spthsot 28393
 Copyright terms: Public domain W3C validator