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Theorem ustuqtop4 18227
Description: Lemma for ustuqtop 18229 (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
utopustuq.1  |-  N  =  ( p  e.  X  |->  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { p } ) ) )
Assertion
Ref Expression
ustuqtop4  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q ) )
Distinct variable groups:    v, q, p, U    X, p, q, v    a, b, p, q, N    v, a, U, b    X, a, b
Allowed substitution hint:    N( v)

Proof of Theorem ustuqtop4
Dummy variables  w  r  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  -> 
( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X ) )
2 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  ->  u  e.  U )
3 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u
" { p }
)  =  ( u
" { p }
)
4 imaeq1 5157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  u  ->  (
w " { p } )  =  ( u " { p } ) )
54eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  u  ->  (
( u " {
p } )  =  ( w " {
p } )  <->  ( u " { p } )  =  ( u " { p } ) ) )
65rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  U  /\  ( u " {
p } )  =  ( u " {
p } ) )  ->  E. w  e.  U  ( u " {
p } )  =  ( w " {
p } ) )
73, 6mpan2 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  U  ->  E. w  e.  U  ( u " { p } )  =  ( w " { p } ) )
87adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  u  e.  U )  ->  E. w  e.  U  ( u " { p } )  =  ( w " { p } ) )
9 imaexg 5176 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  U  ->  (
u " { p } )  e.  _V )
10 utopustuq.1 . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( p  e.  X  |->  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { p } ) ) )
1110ustuqtoplem 18222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  (
u " { p } )  e.  _V )  ->  ( ( u
" { p }
)  e.  ( N `
 p )  <->  E. w  e.  U  ( u " { p } )  =  ( w " { p } ) ) )
129, 11sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  u  e.  U )  ->  (
( u " {
p } )  e.  ( N `  p
)  <->  E. w  e.  U  ( u " {
p } )  =  ( w " {
p } ) ) )
138, 12mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  u  e.  U )  ->  (
u " { p } )  e.  ( N `  p ) )
141, 2, 13syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  -> 
( u " {
p } )  e.  ( N `  p
) )
15 simp-5l 745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
161simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  ->  U  e.  (UnifOn `  X
) )
17 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  ->  p  e.  X )
18 ustimasn 18211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U  /\  p  e.  X )  ->  (
u " { p } )  C_  X
)
1916, 2, 17, 18syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  -> 
( u " {
p } )  C_  X )
2019sselda 3308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  q  e.  X )
2115, 20jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
) )
22 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  q  e.  ( u " { p } ) )
23 simp-6l 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
24 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  u  e.  U
)
25 ustrel 18194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U )  ->  Rel  u )
2623, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  Rel  u )
27 elrelimasn 5187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Rel  u  ->  ( q  e.  ( u " {
p } )  <->  p u
q ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  ( q  e.  ( u " {
p } )  <->  p u
q ) )
2922, 28mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  p u q )
30 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  r  e.  ( u " { q } ) )
31 elrelimasn 5187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Rel  u  ->  ( r  e.  ( u " {
q } )  <->  q u
r ) )
3226, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  ( r  e.  ( u " {
q } )  <->  q u
r ) )
3330, 32mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  q u r )
34 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  p  e. 
_V
35 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  r  e. 
_V
3634, 35brco 5002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p ( u  o.  u
) r  <->  E. q
( p u q  /\  q u r ) )
3736biimpri 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. q ( p u q  /\  q u r )  ->  p
( u  o.  u
) r )
383719.23bi 1771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p u q  /\  q u r )  ->  p ( u  o.  u ) r )
3929, 33, 38syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  p ( u  o.  u ) r )
40 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  ( u  o.  u )  C_  w
)
4140ssbrd 4213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  ( p ( u  o.  u ) r  ->  p w
r ) )
4239, 41mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  p w r )
43 simp-5r 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  w  e.  U
)
44 ustrel 18194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  w  e.  U )  ->  Rel  w )
4523, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  Rel  w )
46 elrelimasn 5187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Rel  w  ->  ( r  e.  ( w " {
p } )  <->  p w
r ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  ( r  e.  ( w " {
p } )  <->  p w
r ) )
4842, 47mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  r  e.  ( w " { p } ) )
4948ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( r  e.  ( u " {
q } )  -> 
r  e.  ( w
" { p }
) ) )
5049ssrdv 3314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( u " { q } ) 
C_  ( w " { p } ) )
51 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  w  e.  U )
5217adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  p  e.  X )
53 ustimasn 18211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  w  e.  U  /\  p  e.  X )  ->  (
w " { p } )  C_  X
)
5415, 51, 52, 53syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( w " { p } ) 
C_  X )
5521, 50, 543jca 1134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  (
w " { p } )  /\  (
w " { p } )  C_  X
) )
56 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  u  e.  U )
57 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  U  ->  (
u " { q } )  =  ( u " { q } ) )
58 imaeq1 5157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  u  ->  (
w " { q } )  =  ( u " { q } ) )
5958eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  u  ->  (
( u " {
q } )  =  ( w " {
q } )  <->  ( u " { q } )  =  ( u " { q } ) ) )
6059rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  U  /\  ( u " {
q } )  =  ( u " {
q } ) )  ->  E. w  e.  U  ( u " {
q } )  =  ( w " {
q } ) )
6157, 60mpdan 650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  U  ->  E. w  e.  U  ( u " { q } )  =  ( w " { q } ) )
6261adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  u  e.  U )  ->  E. w  e.  U  ( u " { q } )  =  ( w " { q } ) )
63 imaexg 5176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  U  ->  (
u " { q } )  e.  _V )
6410ustuqtoplem 18222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  e.  _V )  ->  ( ( u
" { q } )  e.  ( N `
 q )  <->  E. w  e.  U  ( u " { q } )  =  ( w " { q } ) ) )
6563, 64sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  u  e.  U )  ->  (
( u " {
q } )  e.  ( N `  q
)  <->  E. w  e.  U  ( u " {
q } )  =  ( w " {
q } ) ) )
6662, 65mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  u  e.  U )  ->  (
u " { q } )  e.  ( N `  q ) )
6715, 20, 56, 66syl21anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )
6855, 67jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( (
( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  (
w " { p } )  /\  (
w " { p } )  C_  X
)  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) ) )
69 imaexg 5176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  U  ->  (
w " { p } )  e.  _V )
70 sseq2 3330 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( ( u
" { q } )  C_  b  <->  ( u " { q } ) 
C_  ( w " { p } ) ) )
71 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( b  C_  X 
<->  ( w " {
p } )  C_  X ) )
7270, 713anbi23d 1257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  <-> 
( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
)  /\  ( u " { q } ) 
C_  ( w " { p } )  /\  ( w " { p } ) 
C_  X ) ) )
7372anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  <->  ( (
( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  (
w " { p } )  /\  (
w " { p } )  C_  X
)  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) ) ) )
7473anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
)  /\  ( u " { q } ) 
C_  b  /\  b  C_  X )  /\  (
u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  /\  u  e.  U )  <->  ( (
( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
)  /\  ( u " { q } ) 
C_  ( w " { p } )  /\  ( w " { p } ) 
C_  X )  /\  ( u " {
q } )  e.  ( N `  q
) )  /\  u  e.  U ) ) )
75 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( b  e.  ( N `  q
)  <->  ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) ) )
7674, 75imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  /\  u  e.  U )  ->  b  e.  ( N `
 q ) )  <-> 
( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  (
w " { p } )  /\  (
w " { p } )  C_  X
)  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  /\  u  e.  U )  ->  ( w " {
p } )  e.  ( N `  q
) ) ) )
77 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ( u " { q } )  ->  ( a  C_  b 
<->  ( u " {
q } )  C_  b ) )
78773anbi2d 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( u " { q } )  ->  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  <->  ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X ) ) )
79 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( u " { q } )  ->  ( a  e.  ( N `  q
)  <->  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) ) )
8078, 79anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( u " { q } )  ->  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  q
) )  <->  ( (
( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) ) ) )
8180imbi1d 309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( u " { q } )  ->  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
)  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X
)  /\  a  e.  ( N `  q ) )  ->  b  e.  ( N `  q ) )  <->  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  -> 
b  e.  ( N `
 q ) ) ) )
82 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  =  q  ->  (
p  e.  X  <->  q  e.  X ) )
8382anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  q  ->  (
( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  <->  ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
) ) )
84833anbi1d 1258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  q  ->  (
( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X
)  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X
)  <->  ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  q  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X ) ) )
85 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  q  ->  ( N `  p )  =  ( N `  q ) )
8685eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  q  ->  (
a  e.  ( N `
 p )  <->  a  e.  ( N `  q ) ) )
8784, 86anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  q  ->  (
( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  <->  ( (
( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  q
) ) ) )
8885eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  q  ->  (
b  e.  ( N `
 p )  <->  b  e.  ( N `  q ) ) )
8987, 88imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  q  ->  (
( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  b  e.  ( N `  p
) )  <->  ( (
( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
)  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X
)  /\  a  e.  ( N `  q ) )  ->  b  e.  ( N `  q ) ) ) )
9010ustuqtop1 18224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X
)  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X
)  /\  a  e.  ( N `  p ) )  ->  b  e.  ( N `  p ) )
9189, 90chvarv 2063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
)  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X
)  /\  a  e.  ( N `  q ) )  ->  b  e.  ( N `  q ) )
9281, 91vtoclg 2971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u " { q } )  e.  _V  ->  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  -> 
b  e.  ( N `
 q ) ) )
9363, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  U  ->  (
( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  -> 
b  e.  ( N `
 q ) ) )
9493impcom 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  /\  u  e.  U )  ->  b  e.  ( N `
 q ) )
9576, 94vtoclg 2971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w " { p } )  e.  _V  ->  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  (
w " { p } )  /\  (
w " { p } )  C_  X
)  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  /\  u  e.  U )  ->  ( w " {
p } )  e.  ( N `  q
) ) )
9669, 95syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  U  ->  (
( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  (
w " { p } )  /\  (
w " { p } )  C_  X
)  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  /\  u  e.  U )  ->  ( w " {
p } )  e.  ( N `  q
) ) )
9796impcom 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  (
w " { p } )  /\  (
w " { p } )  C_  X
)  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  /\  u  e.  U )  /\  w  e.  U
)  ->  ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) )
9868, 56, 51, 97syl21anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) )
9998ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  ->  A. q  e.  (
u " { p } ) ( w
" { p }
)  e.  ( N `
 q ) )
100 raleq 2864 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( u " { p } )  ->  ( A. q  e.  b  ( w " { p } )  e.  ( N `  q )  <->  A. q  e.  ( u " {
p } ) ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) ) )
101100rspcev 3012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u " {
p } )  e.  ( N `  p
)  /\  A. q  e.  ( u " {
p } ) ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) )
10214, 99, 101syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  ->  E. b  e.  ( N `  p ) A. q  e.  b 
( w " {
p } )  e.  ( N `  q
) )
103 ustexhalf 18193 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  w  e.  U )  ->  E. u  e.  U  ( u  o.  u )  C_  w
)
104103adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  ->  E. u  e.  U  ( u  o.  u )  C_  w
)
105102, 104r19.29a 2810 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) )
106105adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X
)  /\  w  e.  U )  /\  a  =  ( w " { p } ) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) )
107 eleq1 2464 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( w " { p } )  ->  ( a  e.  ( N `  q
)  <->  ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) ) )
108107rexralbidv 2710 . . . . 5  |-  ( a  =  ( w " { p } )  ->  ( E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q )  <->  E. b  e.  ( N `  p ) A. q  e.  b 
( w " {
p } )  e.  ( N `  q
) ) )
109108adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X
)  /\  w  e.  U )  /\  a  =  ( w " { p } ) )  ->  ( E. b  e.  ( N `  p ) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q )  <->  E. b  e.  ( N `  p ) A. q  e.  b 
( w " {
p } )  e.  ( N `  q
) ) )
110106, 109mpbird 224 . . 3  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X
)  /\  w  e.  U )  /\  a  =  ( w " { p } ) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q ) )
111110adantllr 700 . 2  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  /\  w  e.  U )  /\  a  =  ( w " { p } ) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q ) )
112 vex 2919 . . . 4  |-  a  e. 
_V
11310ustuqtoplem 18222 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  _V )  ->  (
a  e.  ( N `
 p )  <->  E. w  e.  U  a  =  ( w " {
p } ) ) )
114112, 113mpan2 653 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  ->  (
a  e.  ( N `
 p )  <->  E. w  e.  U  a  =  ( w " {
p } ) ) )
115114biimpa 471 . 2  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  E. w  e.  U  a  =  ( w " {
p } ) )
116111, 115r19.29a 2810 1  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ran crn 4838   "cima 4840    o. ccom 4841   Rel wrel 4842   ` cfv 5413  UnifOncust 18182
This theorem is referenced by:  ustuqtop  18229  utopsnneiplem  18230
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ust 18183
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