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Theorem utopsnneiplem 18279
Description: The neighborhoods of a point  P for the topology induced by an uniform space  U. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
utoptop.1  |-  J  =  (unifTop `  U )
utopsnneip.1  |-  K  =  { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  a  e.  ( N `  p ) }
utopsnneip.2  |-  N  =  ( p  e.  X  |->  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { p } ) ) )
Assertion
Ref Expression
utopsnneiplem  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  P  e.  X )  ->  (
( nei `  J
) `  { P } )  =  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { P } ) ) )
Distinct variable groups:    p, a, K    N, a, p    v, p, P    v, a, U, p    X, a, p, v
Allowed substitution hints:    P( a)    J( v, p, a)    K( v)    N( v)

Proof of Theorem utopsnneiplem
Dummy variables  b 
q  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 utoptop.1 . . . . . . . 8  |-  J  =  (unifTop `  U )
2 utopval 18264 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  (unifTop `  U
)  =  { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  E. w  e.  U  ( w " {
p } )  C_  a } )
31, 2syl5eq 2482 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  J  =  { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  E. w  e.  U  ( w " { p } ) 
C_  a } )
4 simpll 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
5 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  a  e.  ~P X )  -> 
a  e.  ~P X
)
65elpwid 3810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  a  e.  ~P X )  -> 
a  C_  X )
76sselda 3350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  ->  p  e.  X )
8 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  ->  p  e.  X )
9 mptexg 5967 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( v  e.  U  |->  ( v
" { p }
) )  e.  _V )
10 rnexg 5133 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  U  |->  ( v " { p } ) )  e. 
_V  ->  ran  ( v  e.  U  |->  ( v
" { p }
) )  e.  _V )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ran  ( v  e.  U  |->  ( v
" { p }
) )  e.  _V )
1211adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  ->  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " {
p } ) )  e.  _V )
13 utopsnneip.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  N  =  ( p  e.  X  |->  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { p } ) ) )
1413fvmpt2 5814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  X  /\  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " {
p } ) )  e.  _V )  -> 
( N `  p
)  =  ran  (
v  e.  U  |->  ( v " { p } ) ) )
158, 12, 14syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  ->  ( N `  p )  =  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { p } ) ) )
1615eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  ->  (
a  e.  ( N `
 p )  <->  a  e.  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " {
p } ) ) ) )
17 vex 2961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  a  e. 
_V
18 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  U  |->  ( v
" { p }
) )  =  ( v  e.  U  |->  ( v " { p } ) )
1918elrnmpt 5119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  _V  ->  (
a  e.  ran  (
v  e.  U  |->  ( v " { p } ) )  <->  E. v  e.  U  a  =  ( v " {
p } ) ) )
2017, 19ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ran  ( v  e.  U  |->  ( v
" { p }
) )  <->  E. v  e.  U  a  =  ( v " {
p } ) )
2116, 20syl6bb 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  ->  (
a  e.  ( N `
 p )  <->  E. v  e.  U  a  =  ( v " {
p } ) ) )
224, 7, 21syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  ->  ( a  e.  ( N `  p )  <->  E. v  e.  U  a  =  ( v " { p } ) ) )
23 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ v ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )
24 nfre1 2764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ v E. v  e.  U  a  =  ( v " { p } )
2523, 24nfan 1847 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ v ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  /\  E. v  e.  U  a  =  ( v " { p } ) )
26 simplr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  /\  E. v  e.  U  a  =  ( v " { p } ) )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { p } ) )  ->  v  e.  U )
27 eqimss2 3403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( v " { p } )  ->  ( v " { p } ) 
C_  a )
2827adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  /\  E. v  e.  U  a  =  ( v " { p } ) )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { p } ) )  ->  ( v " { p } ) 
C_  a )
29 imaeq1 5200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  v  ->  (
w " { p } )  =  ( v " { p } ) )
3029sseq1d 3377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  v  ->  (
( w " {
p } )  C_  a 
<->  ( v " {
p } )  C_  a ) )
3130rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  U  /\  ( v " {
p } )  C_  a )  ->  E. w  e.  U  ( w " { p } ) 
C_  a )
3226, 28, 31syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  /\  E. v  e.  U  a  =  ( v " { p } ) )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { p } ) )  ->  E. w  e.  U  ( w " { p } ) 
C_  a )
33 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  /\  E. v  e.  U  a  =  ( v " { p } ) )  ->  E. v  e.  U  a  =  ( v " {
p } ) )
3425, 32, 33r19.29af 2851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  /\  E. v  e.  U  a  =  ( v " { p } ) )  ->  E. w  e.  U  ( w " { p } ) 
C_  a )
35 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w
( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )
36 nfre1 2764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w E. w  e.  U  ( w " {
p } )  C_  a
3735, 36nfan 1847 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ w
( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  /\  E. w  e.  U  (
w " { p } )  C_  a
)
384ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  /\  w  e.  U )  /\  (
w " { p } )  C_  a
)  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
397ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  /\  w  e.  U )  /\  (
w " { p } )  C_  a
)  ->  p  e.  X )
4038, 39jca 520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  /\  w  e.  U )  /\  (
w " { p } )  C_  a
)  ->  ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X
) )
41 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  /\  w  e.  U )  /\  (
w " { p } )  C_  a
)  ->  ( w " { p } ) 
C_  a )
426ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  /\  w  e.  U )  /\  (
w " { p } )  C_  a
)  ->  a  C_  X )
43 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  /\  w  e.  U )  /\  (
w " { p } )  C_  a
)  ->  w  e.  U )
44 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w
" { p }
)  =  ( w
" { p }
)
45 imaeq1 5200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  w  ->  (
u " { p } )  =  ( w " { p } ) )
4645eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  w  ->  (
( w " {
p } )  =  ( u " {
p } )  <->  ( w " { p } )  =  ( w " { p } ) ) )
4746rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  U  /\  ( w " {
p } )  =  ( w " {
p } ) )  ->  E. u  e.  U  ( w " {
p } )  =  ( u " {
p } ) )
4844, 47mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  U  ->  E. u  e.  U  ( w " { p } )  =  ( u " { p } ) )
4948adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  ->  E. u  e.  U  ( w " { p } )  =  ( u " { p } ) )
50 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  w  e. 
_V
51 imaexg 5219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w " { p } )  e.  _V )
5250, 51ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w
" { p }
)  e.  _V
5313ustuqtoplem 18271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  (
w " { p } )  e.  _V )  ->  ( ( w
" { p }
)  e.  ( N `
 p )  <->  E. u  e.  U  ( w " { p } )  =  ( u " { p } ) ) )
5452, 53mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  ->  (
( w " {
p } )  e.  ( N `  p
)  <->  E. u  e.  U  ( w " {
p } )  =  ( u " {
p } ) ) )
5554adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  ->  (
( w " {
p } )  e.  ( N `  p
)  <->  E. u  e.  U  ( w " {
p } )  =  ( u " {
p } ) ) )
5649, 55mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  ->  (
w " { p } )  e.  ( N `  p ) )
5738, 39, 43, 56syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  /\  w  e.  U )  /\  (
w " { p } )  C_  a
)  ->  ( w " { p } )  e.  ( N `  p ) )
58 sseq1 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( b  C_  a 
<->  ( w " {
p } )  C_  a ) )
59583anbi2d 1260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  b  C_  a  /\  a  C_  X )  <->  ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  (
w " { p } )  C_  a  /\  a  C_  X ) ) )
60 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( b  e.  ( N `  p
)  <->  ( w " { p } )  e.  ( N `  p ) ) )
6159, 60anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  b  C_  a  /\  a  C_  X )  /\  b  e.  ( N `  p
) )  <->  ( (
( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  (
w " { p } )  C_  a  /\  a  C_  X )  /\  ( w " { p } )  e.  ( N `  p ) ) ) )
6261imbi1d 310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X
)  /\  b  C_  a  /\  a  C_  X
)  /\  b  e.  ( N `  p ) )  ->  a  e.  ( N `  p ) )  <->  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  (
w " { p } )  C_  a  /\  a  C_  X )  /\  ( w " { p } )  e.  ( N `  p ) )  -> 
a  e.  ( N `
 p ) ) ) )
6313ustuqtop1 18273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X
)  /\  b  C_  a  /\  a  C_  X
)  /\  b  e.  ( N `  p ) )  ->  a  e.  ( N `  p ) )
6462, 63vtoclg 3013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w " { p } )  e.  _V  ->  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  (
w " { p } )  C_  a  /\  a  C_  X )  /\  ( w " { p } )  e.  ( N `  p ) )  -> 
a  e.  ( N `
 p ) ) )
6550, 51, 64mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X
)  /\  ( w " { p } ) 
C_  a  /\  a  C_  X )  /\  (
w " { p } )  e.  ( N `  p ) )  ->  a  e.  ( N `  p ) )
6640, 41, 42, 57, 65syl31anc 1188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  /\  w  e.  U )  /\  (
w " { p } )  C_  a
)  ->  a  e.  ( N `  p ) )
6740, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  /\  w  e.  U )  /\  (
w " { p } )  C_  a
)  ->  ( a  e.  ( N `  p
)  <->  E. v  e.  U  a  =  ( v " { p } ) ) )
6866, 67mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  /\  w  e.  U )  /\  (
w " { p } )  C_  a
)  ->  E. v  e.  U  a  =  ( v " {
p } ) )
6968adantllr 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  /\  E. w  e.  U  ( w " {
p } )  C_  a )  /\  w  e.  U )  /\  (
w " { p } )  C_  a
)  ->  E. v  e.  U  a  =  ( v " {
p } ) )
70 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  /\  E. w  e.  U  (
w " { p } )  C_  a
)  ->  E. w  e.  U  ( w " { p } ) 
C_  a )
7137, 69, 70r19.29af 2851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  /\  E. w  e.  U  (
w " { p } )  C_  a
)  ->  E. v  e.  U  a  =  ( v " {
p } ) )
7234, 71impbida 807 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  ->  ( E. v  e.  U  a  =  ( v " { p } )  <->  E. w  e.  U  ( w " { p } ) 
C_  a ) )
7322, 72bitrd 246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  a  e.  ~P X )  /\  p  e.  a )  ->  ( a  e.  ( N `  p )  <->  E. w  e.  U  ( w " {
p } )  C_  a ) )
7473ralbidva 2723 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  a  e.  ~P X )  -> 
( A. p  e.  a  a  e.  ( N `  p )  <->  A. p  e.  a  E. w  e.  U  ( w " {
p } )  C_  a ) )
7574rabbidva 2949 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  a  e.  ( N `  p
) }  =  {
a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  E. w  e.  U  ( w " {
p } )  C_  a } )
763, 75eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  J  =  { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  a  e.  ( N `  p ) } )
77 utopsnneip.1 . . . . . 6  |-  K  =  { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  a  e.  ( N `  p ) }
7876, 77syl6eqr 2488 . . . . 5  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  J  =  K )
7978fveq2d 5734 . . . 4  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( nei `  J )  =  ( nei `  K ) )
8079fveq1d 5732 . . 3  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( ( nei `  J ) `  { P } )  =  ( ( nei `  K
) `  { P } ) )
8180adantr 453 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  P  e.  X )  ->  (
( nei `  J
) `  { P } )  =  ( ( nei `  K
) `  { P } ) )
8213ustuqtop0 18272 . . . . 5  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  N : X
--> ~P ~P X )
8313ustuqtop1 18273 . . . . 5  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X
)  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X
)  /\  a  e.  ( N `  p ) )  ->  b  e.  ( N `  p ) )
8413ustuqtop2 18274 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  ->  ( fi `  ( N `  p ) )  C_  ( N `  p ) )
8513ustuqtop3 18275 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  p  e.  a )
8613ustuqtop4 18276 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q ) )
8713ustuqtop5 18277 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  ->  X  e.  ( N `  p
) )
8877, 82, 83, 84, 85, 86, 87neiptopnei 17198 . . . 4  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  N  =  ( p  e.  X  |->  ( ( nei `  K
) `  { p } ) ) )
8988adantr 453 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  P  e.  X )  ->  N  =  ( p  e.  X  |->  ( ( nei `  K ) `  {
p } ) ) )
90 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  P  e.  X )  /\  p  =  P )  ->  p  =  P )
9190sneqd 3829 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  P  e.  X )  /\  p  =  P )  ->  { p }  =  { P } )
9291fveq2d 5734 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  P  e.  X )  /\  p  =  P )  ->  (
( nei `  K
) `  { p } )  =  ( ( nei `  K
) `  { P } ) )
93 simpr 449 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  P  e.  X )  ->  P  e.  X )
94 fvex 5744 . . . 4  |-  ( ( nei `  K ) `
 { P }
)  e.  _V
9594a1i 11 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  P  e.  X )  ->  (
( nei `  K
) `  { P } )  e.  _V )
9689, 92, 93, 95fvmptd 5812 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( N `  P )  =  ( ( nei `  K ) `  { P } ) )
97 mptexg 5967 . . . . 5  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( v  e.  U  |->  ( v
" { P }
) )  e.  _V )
98 rnexg 5133 . . . . 5  |-  ( ( v  e.  U  |->  ( v " { P } ) )  e. 
_V  ->  ran  ( v  e.  U  |->  ( v
" { P }
) )  e.  _V )
9997, 98syl 16 . . . 4  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ran  ( v  e.  U  |->  ( v
" { P }
) )  e.  _V )
10099adantr 453 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { P } ) )  e. 
_V )
10113a1i 11 . . . 4  |-  ( ( P  e.  X  /\  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { P } ) )  e. 
_V )  ->  N  =  ( p  e.  X  |->  ran  ( v  e.  U  |->  ( v
" { p }
) ) ) )
102 nfv 1630 . . . . . . . 8  |-  F/ v  P  e.  X
103 nfmpt1 4300 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ v
( v  e.  U  |->  ( v " { P } ) )
104103nfrn 5114 . . . . . . . . 9  |-  F/_ v ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { P } ) )
105104nfel1 2584 . . . . . . . 8  |-  F/ v ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { P } ) )  e.  _V
106102, 105nfan 1847 . . . . . . 7  |-  F/ v ( P  e.  X  /\  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { P } ) )  e.  _V )
107 nfv 1630 . . . . . . 7  |-  F/ v  p  =  P
108106, 107nfan 1847 . . . . . 6  |-  F/ v ( ( P  e.  X  /\  ran  (
v  e.  U  |->  ( v " { P } ) )  e. 
_V )  /\  p  =  P )
109 simpr2 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  X  /\  ( ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { P } ) )  e.  _V  /\  p  =  P  /\  v  e.  U ) )  ->  p  =  P )
110109sneqd 3829 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  X  /\  ( ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { P } ) )  e.  _V  /\  p  =  P  /\  v  e.  U ) )  ->  { p }  =  { P } )
111110imaeq2d 5205 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  X  /\  ( ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { P } ) )  e.  _V  /\  p  =  P  /\  v  e.  U ) )  -> 
( v " {
p } )  =  ( v " { P } ) )
1121113anassrs 1176 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  X  /\  ran  (
v  e.  U  |->  ( v " { P } ) )  e. 
_V )  /\  p  =  P )  /\  v  e.  U )  ->  (
v " { p } )  =  ( v " { P } ) )
113108, 112mpteq2da 4296 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { P } ) )  e.  _V )  /\  p  =  P )  ->  ( v  e.  U  |->  ( v " {
p } ) )  =  ( v  e.  U  |->  ( v " { P } ) ) )
114113rneqd 5099 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { P } ) )  e.  _V )  /\  p  =  P )  ->  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { p } ) )  =  ran  (
v  e.  U  |->  ( v " { P } ) ) )
115 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( P  e.  X  /\  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { P } ) )  e. 
_V )  ->  P  e.  X )
116 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( P  e.  X  /\  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { P } ) )  e. 
_V )  ->  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { P } ) )  e. 
_V )
117101, 114, 115, 116fvmptd 5812 . . 3  |-  ( ( P  e.  X  /\  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { P } ) )  e. 
_V )  ->  ( N `  P )  =  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { P } ) ) )
11893, 100, 117syl2anc 644 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  P  e.  X )  ->  ( N `  P )  =  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { P } ) ) )
11981, 96, 1183eqtr2d 2476 1  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  P  e.  X )  ->  (
( nei `  J
) `  { P } )  =  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { P } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   {csn 3816    e. cmpt 4268   ran crn 4881   "cima 4883   ` cfv 5456   neicnei 17163  UnifOncust 18231  unifTopcutop 18262
This theorem is referenced by:  utopsnneip  18280
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-fin 7115  df-fi 7418  df-top 16965  df-nei 17164  df-ust 18232  df-utop 18263
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