MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzin Unicode version

Theorem uzin 10450
Description: Intersection of two upper intervals of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzin  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  M
)  i^i  ( ZZ>= `  N ) )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )

Proof of Theorem uzin
StepHypRef Expression
1 uztric 10439 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  \/  M  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
2 uzss 10438 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
3 sseqin2 3503 . . . . 5  |-  ( (
ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>= `  M )  <->  ( ( ZZ>= `  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  N ) )
42, 3sylib 189 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  N ) )
5 eluzle 10430 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
6 iftrue 3688 . . . . . 6  |-  ( M  <_  N  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  N )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  N )
87fveq2d 5672 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  =  ( ZZ>= `  N ) )
94, 8eqtr4d 2422 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
10 uzss 10438 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ZZ>= `  M )  C_  ( ZZ>=
`  N ) )
11 df-ss 3277 . . . . 5  |-  ( (
ZZ>= `  M )  C_  ( ZZ>= `  N )  <->  ( ( ZZ>= `  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  M ) )
1210, 11sylib 189 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  M ) )
13 eluzel2 10425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  e.  ZZ )
14 eluzelz 10428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  M  e.  ZZ )
15 zre 10218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
16 zre 10218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
17 letri3 9093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( N  =  M  <-> 
( N  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
1815, 16, 17syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  =  M  <-> 
( N  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
1913, 14, 18syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  =  M  <->  ( N  <_  M  /\  M  <_  N
) ) )
20 eluzle 10430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  M )
2120biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( M  <_  N  <->  ( N  <_  M  /\  M  <_  N
) ) )
2219, 21bitr4d 248 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  =  M  <->  M  <_  N ) )
2322biimprcd 217 . . . . . . . 8  |-  ( M  <_  N  ->  ( M  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  N  =  M ) )
246eqeq1d 2395 . . . . . . . 8  |-  ( M  <_  N  ->  ( if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M  <->  N  =  M ) )
2523, 24sylibrd 226 . . . . . . 7  |-  ( M  <_  N  ->  ( M  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M ) )
2625com12 29 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( M  <_  N  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M ) )
27 iffalse 3689 . . . . . 6  |-  ( -.  M  <_  N  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M )
2826, 27pm2.61d1 153 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M )
2928fveq2d 5672 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  =  ( ZZ>= `  M ) )
3012, 29eqtr4d 2422 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
319, 30jaoi 369 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  \/  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
321, 31syl 16 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  M
)  i^i  ( ZZ>= `  N ) )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    i^i cin 3262    C_ wss 3263   ifcif 3682   class class class wbr 4153   ` cfv 5394   RRcr 8922    <_ cle 9054   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420
This theorem is referenced by:  uzin2  12075  explecnv  12571  uzrest  17850
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-neg 9226  df-z 10215  df-uz 10421
  Copyright terms: Public domain W3C validator