MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzin Structured version   Unicode version

Theorem uzin 10510
Description: Intersection of two upper intervals of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzin  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  M
)  i^i  ( ZZ>= `  N ) )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )

Proof of Theorem uzin
StepHypRef Expression
1 uztric 10499 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  \/  M  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
2 uzss 10498 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
3 sseqin2 3552 . . . . 5  |-  ( (
ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>= `  M )  <->  ( ( ZZ>= `  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  N ) )
42, 3sylib 189 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  N ) )
5 eluzle 10490 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
6 iftrue 3737 . . . . . 6  |-  ( M  <_  N  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  N )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  N )
87fveq2d 5724 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  =  ( ZZ>= `  N ) )
94, 8eqtr4d 2470 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
10 uzss 10498 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ZZ>= `  M )  C_  ( ZZ>=
`  N ) )
11 df-ss 3326 . . . . 5  |-  ( (
ZZ>= `  M )  C_  ( ZZ>= `  N )  <->  ( ( ZZ>= `  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  M ) )
1210, 11sylib 189 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  M ) )
13 eluzel2 10485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  e.  ZZ )
14 eluzelz 10488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  M  e.  ZZ )
15 zre 10278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
16 zre 10278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
17 letri3 9152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( N  =  M  <-> 
( N  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
1815, 16, 17syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  =  M  <-> 
( N  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
1913, 14, 18syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  =  M  <->  ( N  <_  M  /\  M  <_  N
) ) )
20 eluzle 10490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  M )
2120biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( M  <_  N  <->  ( N  <_  M  /\  M  <_  N
) ) )
2219, 21bitr4d 248 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  =  M  <->  M  <_  N ) )
2322biimprcd 217 . . . . . . . 8  |-  ( M  <_  N  ->  ( M  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  N  =  M ) )
246eqeq1d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( M  <_  N  ->  ( if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M  <->  N  =  M ) )
2523, 24sylibrd 226 . . . . . . 7  |-  ( M  <_  N  ->  ( M  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M ) )
2625com12 29 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( M  <_  N  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M ) )
27 iffalse 3738 . . . . . 6  |-  ( -.  M  <_  N  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M )
2826, 27pm2.61d1 153 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M )
2928fveq2d 5724 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  =  ( ZZ>= `  M ) )
3012, 29eqtr4d 2470 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
319, 30jaoi 369 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  \/  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
321, 31syl 16 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  M
)  i^i  ( ZZ>= `  N ) )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ifcif 3731   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   RRcr 8981    <_ cle 9113   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480
This theorem is referenced by:  uzin2  12140  explecnv  12636  uzrest  17921
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-neg 9286  df-z 10275  df-uz 10481
  Copyright terms: Public domain W3C validator