MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzin Unicode version

Theorem uzin 10262
Description: Intersection of two upper intervals of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzin  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  M
)  i^i  ( ZZ>= `  N ) )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )

Proof of Theorem uzin
StepHypRef Expression
1 uztric 10251 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  \/  M  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
2 uzss 10250 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
3 sseqin2 3390 . . . . 5  |-  ( (
ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>= `  M )  <->  ( ( ZZ>= `  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  N ) )
42, 3sylib 188 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  N ) )
5 eluzle 10242 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
6 iftrue 3573 . . . . . 6  |-  ( M  <_  N  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  N )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  N )
87fveq2d 5531 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  =  ( ZZ>= `  N ) )
94, 8eqtr4d 2320 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
10 uzss 10250 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ZZ>= `  M )  C_  ( ZZ>=
`  N ) )
11 df-ss 3168 . . . . 5  |-  ( (
ZZ>= `  M )  C_  ( ZZ>= `  N )  <->  ( ( ZZ>= `  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  M ) )
1210, 11sylib 188 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  M ) )
13 eluzel2 10237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  e.  ZZ )
14 eluzelz 10240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  M  e.  ZZ )
15 zre 10030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
16 zre 10030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
17 letri3 8909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( N  =  M  <-> 
( N  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
1815, 16, 17syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  =  M  <-> 
( N  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
1913, 14, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  =  M  <->  ( N  <_  M  /\  M  <_  N
) ) )
20 eluzle 10242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  M )
2120biantrurd 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( M  <_  N  <->  ( N  <_  M  /\  M  <_  N
) ) )
2219, 21bitr4d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  =  M  <->  M  <_  N ) )
2322biimprcd 216 . . . . . . . 8  |-  ( M  <_  N  ->  ( M  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  N  =  M ) )
246eqeq1d 2293 . . . . . . . 8  |-  ( M  <_  N  ->  ( if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M  <->  N  =  M ) )
2523, 24sylibrd 225 . . . . . . 7  |-  ( M  <_  N  ->  ( M  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M ) )
2625com12 27 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( M  <_  N  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M ) )
27 iffalse 3574 . . . . . 6  |-  ( -.  M  <_  N  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M )
2826, 27pm2.61d1 151 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  =  M )
2928fveq2d 5531 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  =  ( ZZ>= `  M ) )
3012, 29eqtr4d 2320 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
319, 30jaoi 368 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  \/  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
321, 31syl 15 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  M
)  i^i  ( ZZ>= `  N ) )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    i^i cin 3153    C_ wss 3154   ifcif 3567   class class class wbr 4025   ` cfv 5257   RRcr 8738    <_ cle 8870   ZZcz 10026   ZZ>=cuz 10232
This theorem is referenced by:  uzin2  11830  explecnv  12325  uzrest  17594
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-neg 9042  df-z 10027  df-uz 10233
  Copyright terms: Public domain W3C validator