Theorem uzind 6374

Description: Induction on the upper integers that start at M. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis.

Hypotheses

Ref	Expression
uzind.1	|- (j = M -> (ph <-> ps))
uzind.2	|- (j = k -> (ph <-> ch))
uzind.3	|- (j = (k + 1) -> (ph <-> th))
uzind.4	|- (j = N -> (ph <-> ta))
uzind.5	|- (M e. ZZ -> ps)
uzind.6	|- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k) -> (ch -> th))

Assertion

Ref	Expression
uzind	|- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ta)

Distinct variable groups:   j,N   ps,j   ch,j   th,j   ta,j   ph,k   j,k,M

Proof of Theorem uzind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 6305	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> M e. RR)
2		leid 5683	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. RR -> M <_ M)
3	1, 2	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> M <_ M)
4		uzind.5	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ps)
5	3, 4	jca 286	. . . . . . . . 9 |- (M e. ZZ -> (M <_ M /\ ps))
6	5	ancli 294	. . . . . . . 8 |- (M e. ZZ -> (M e. ZZ /\ (M <_ M /\ ps)))
7		breq2 2695	. . . . . . . . . 10 |- (j = M -> (M <_ j <-> M <_ M))
8		uzind.1	. . . . . . . . . 10 |- (j = M -> (ph <-> ps))
9	7, 8	anbi12d 630	. . . . . . . . 9 |- (j = M -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ M /\ ps)))
10	9	elrab 1950	. . . . . . . 8 |- (M e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> (M e. ZZ /\ (M <_ M /\ ps)))
11	6, 10	sylibr 198	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> M e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)})
12		peano2z 6332	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. ZZ -> (k + 1) e. ZZ)
13	12	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> (k e. ZZ -> (k + 1) e. ZZ))
14	13	adantrd 391	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> (k + 1) e. ZZ))
15		ltp1 5949	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k e. RR -> k < (k + 1))
16	15	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> k < (k + 1))
17		lelttr 5675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((M e. RR /\ k e. RR /\ (k + 1) e. RR) -> ((M <_ k /\ k < (k + 1)) -> M < (k + 1)))
18	17	3expb 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((M e. RR /\ (k e. RR /\ (k + 1) e. RR)) -> ((M <_ k /\ k < (k + 1)) -> M < (k + 1)))
19		peano2re 5588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (k e. RR -> (k + 1) e. RR)
20	19	ancli 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k e. RR -> (k e. RR /\ (k + 1) e. RR))
21	18, 20	sylan2 453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> ((M <_ k /\ k < (k + 1)) -> M < (k + 1)))
22	16, 21	mpan2d 705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> (M <_ k -> M < (k + 1)))
23		ltle 5672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. RR /\ (k + 1) e. RR) -> (M < (k + 1) -> M <_ (k + 1)))
24	23, 19	sylan2 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> (M < (k + 1) -> M <_ (k + 1)))
25	22, 24	syld 27	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> (M <_ k -> M <_ (k + 1)))
26		zre 6305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k e. ZZ -> k e. RR)
27	25, 1, 26	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ) -> (M <_ k -> M <_ (k + 1)))
28	27	adantrd 391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ) -> ((M <_ k /\ ch) -> M <_ (k + 1)))
29	28	exp4b 379	. . . . . . . . . . . 12 |- (M e. ZZ -> (k e. ZZ -> (M <_ k -> (ch -> M <_ (k + 1)))))
30	29	imp4d 365	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> M <_ (k + 1)))
31		uzind.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k) -> (ch -> th))
32	31	3exp 837	. . . . . . . . . . . 12 |- (M e. ZZ -> (k e. ZZ -> (M <_ k -> (ch -> th))))
33	32	imp4d 365	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> th))
34	30, 33	jcad 602	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> (M <_ (k + 1) /\ th)))
35	14, 34	jcad 602	. . . . . . . . 9 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> ((k + 1) e. ZZ /\ (M <_ (k + 1) /\ th))))
36		breq2 2695	. . . . . . . . . . 11 |- (j = k -> (M <_ j <-> M <_ k))
37		uzind.2	. . . . . . . . . . 11 |- (j = k -> (ph <-> ch))
38	36, 37	anbi12d 630	. . . . . . . . . 10 |- (j = k -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ k /\ ch)))
39	38	elrab 1950	. . . . . . . . 9 |- (k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> (k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)))
40		breq2 2695	. . . . . . . . . . 11 |- (j = (k + 1) -> (M <_ j <-> M <_ (k + 1)))
41		uzind.3	. . . . . . . . . . 11 |- (j = (k + 1) -> (ph <-> th))
42	40, 41	anbi12d 630	. . . . . . . . . 10 |- (j = (k + 1) -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ (k + 1) /\ th)))
43	42	elrab 1950	. . . . . . . . 9 |- ((k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> ((k + 1) e. ZZ /\ (M <_ (k + 1) /\ th)))
44	35, 39, 43	3imtr4g 555	. . . . . . . 8 |- (M e. ZZ -> (k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} -> (k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}))
45	44	r19.21aiv 1758	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> A.k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} (k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)})
46		zex 6310	. . . . . . . . 9 |- ZZ e. V
47	46	rabex 2798	. . . . . . . 8 |- {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} e. V
48	47	peano5uzti 6373	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> ((M e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} /\ A.k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} (k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}) -> {w e. ZZ | M <_ w} (_ {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}))
49	11, 45, 48	mp2and 706	. . . . . 6 |- (M e. ZZ -> {w e. ZZ | M <_ w} (_ {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)})
50	49	sseld 2118	. . . . 5 |- (M e. ZZ -> (N e. {w e. ZZ | M <_ w} -> N e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}))
51		breq2 2695	. . . . . 6 |- (w = N -> (M <_ w <-> M <_ N))
52	51	elrab 1950	. . . . 5 |- (N e. {w e. ZZ | M <_ w} <-> (N e. ZZ /\ M <_ N))
53		breq2 2695	. . . . . . 7 |- (j = N -> (M <_ j <-> M <_ N))
54		uzind.4	. . . . . . 7 |- (j = N -> (ph <-> ta))
55	53, 54	anbi12d 630	. . . . . 6 |- (j = N -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ N /\ ta)))
56	55	elrab 1950	. . . . 5 |- (N e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> (N e. ZZ /\ (M <_ N /\ ta)))
57	50, 52, 56	3imtr3g 554	. . . 4 |- (M e. ZZ -> ((N e. ZZ /\ M <_ N) -> (N e. ZZ /\ (M <_ N /\ ta))))
58	57	3impib 836	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> (N e. ZZ /\ (M <_ N /\ ta)))
59	58	pm3.27d 323	. 2 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> (M <_ N /\ ta))
60	59	pm3.27d 323	1 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ta)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   /\ w3a 780   = wceq 991   e. wcel 993  A.wral 1690  {crab 1693   (_ wss 2098   class class class wbr 2691  (class class class)co 4019  RRcr 5385  1c1 5387   + caddc 5389   <_ cle 5447  ZZcz 5450   < clt 5638

This theorem is referenced by:  uzind2 6375  uzind3 6376  nn0ind 6381  om2uzrani 6661

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 997  ax-gen 998  ax-8 999  ax-9 1000  ax-10 1001  ax-11 1002  ax-12 1003  ax-13 1004  ax-14 1005  ax-17 1006  ax-4 1008  ax-5o 1010  ax-6o 1013  ax-9o 1158  ax-10o 1176  ax-16 1246  ax-11o 1254  ax-ext 1499  ax-rep 2766  ax-sep 2776  ax-nul 2783  ax-pow 2817  ax-pr 2854  ax-un 3088  ax-inf2 4768

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 781  df-3an 782  df-ex 1016  df-sb 1208  df-eu 1420  df-mo 1421  df-clab 1505  df-cleq 1510  df-clel 1513  df-ne 1629  df-nel 1630  df-ral 1694  df-rex 1695  df-reu 1696  df-rab 1697  df-v 1857  df-sbc 1986  df-csb 2051  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2415  df-pw 2458  df-sn 2469  df-pr 2470  df-tp 2472  df-op 2473  df-uni 2569  df-int 2600  df-iun 2634  df-br 2692  df-opab 2740  df-tr 2754  df-eprel 2909  df-id 2912  df-po 2917  df-so 2928  df-fr 2946  df-we 2961  df-ord 2977  df-on 2978  df-lim 2979  df-suc 2980  df-om 3218  df-xp 3264  df-rel 3265  df-cnv 3266  df-co 3267  df-dm 3268  df-rn 3269  df-res 3270  df-ima 3271  df-fun 3272  df-fn 3273  df-f 3274  df-f1 3275  df-fo 3276  df-f1o 3277  df-fv 3278  df-opr 4021  df-oprab 4022  df-1st 4138  df-2nd 4139  df-rdg 4231  df-1o 4267  df-oadd 4269  df-omul 4270  df-er 4399  df-ec 4401  df-qs 4404  df-en 4507  df-dom 4508  df-sdom 4509  df-ni 5152  df-pli 5153  df-mi 5154  df-lti 5155  df-plpq 5187  df-mpq 5188  df-enq 5189  df-nq 5190  df-plq 5191  df-mq 5192  df-rq 5193  df-ltq 5194  df-1q 5195  df-np 5238  df-1p 5239  df-plp 5240  df-mp 5241  df-ltp 5242  df-plpr 5316  df-mpr 5317  df-enr 5318  df-nr 5319  df-plr 5320  df-mr 5321  df-ltr 5322  df-0r 5323  df-1r 5324  df-m1r 5325  df-c 5392  df-0 5393  df-1 5394  df-i 5395  df-r 5396  df-plus 5397  df-mul 5398  df-lt 5399  df-sub 5508  df-neg 5510  df-pnf 5639  df-mnf 5640  df-xr 5641  df-ltxr 5642  df-le 5643  df-n 6068  df-n0 6266  df-z 6302

Copyright terms: Public domain