HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem uzind 6374
Description: Induction on the upper integers that start at M. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis.
Hypotheses
Ref Expression
uzind.1 |- (j = M -> (ph <-> ps))
uzind.2 |- (j = k -> (ph <-> ch))
uzind.3 |- (j = (k + 1) -> (ph <-> th))
uzind.4 |- (j = N -> (ph <-> ta))
uzind.5 |- (M e. ZZ -> ps)
uzind.6 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k) -> (ch -> th))
Assertion
Ref Expression
uzind |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ta)
Distinct variable groups:   j,N   ps,j   ch,j   th,j   ta,j   ph,k   j,k,M

Proof of Theorem uzind
StepHypRef Expression
1 zre 6305 . . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> M e. RR)
2 leid 5683 . . . . . . . . . . 11 |- (M e. RR -> M <_ M)
31, 2syl 10 . . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> M <_ M)
4 uzind.5 . . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ps)
53, 4jca 286 . . . . . . . . 9 |- (M e. ZZ -> (M <_ M /\ ps))
65ancli 294 . . . . . . . 8 |- (M e. ZZ -> (M e. ZZ /\ (M <_ M /\ ps)))
7 breq2 2695 . . . . . . . . . 10 |- (j = M -> (M <_ j <-> M <_ M))
8 uzind.1 . . . . . . . . . 10 |- (j = M -> (ph <-> ps))
97, 8anbi12d 630 . . . . . . . . 9 |- (j = M -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ M /\ ps)))
109elrab 1950 . . . . . . . 8 |- (M e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> (M e. ZZ /\ (M <_ M /\ ps)))
116, 10sylibr 198 . . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> M e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)})
12 peano2z 6332 . . . . . . . . . . . 12 |- (k e. ZZ -> (k + 1) e. ZZ)
1312a1i 8 . . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> (k e. ZZ -> (k + 1) e. ZZ))
1413adantrd 391 . . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> (k + 1) e. ZZ))
15 ltp1 5949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k e. RR -> k < (k + 1))
1615adantl 388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> k < (k + 1))
17 lelttr 5675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((M e. RR /\ k e. RR /\ (k + 1) e. RR) -> ((M <_ k /\ k < (k + 1)) -> M < (k + 1)))
18173expb 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((M e. RR /\ (k e. RR /\ (k + 1) e. RR)) -> ((M <_ k /\ k < (k + 1)) -> M < (k + 1)))
19 peano2re 5588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (k e. RR -> (k + 1) e. RR)
2019ancli 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k e. RR -> (k e. RR /\ (k + 1) e. RR))
2118, 20sylan2 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> ((M <_ k /\ k < (k + 1)) -> M < (k + 1)))
2216, 21mpan2d 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> (M <_ k -> M < (k + 1)))
23 ltle 5672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. RR /\ (k + 1) e. RR) -> (M < (k + 1) -> M <_ (k + 1)))
2423, 19sylan2 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> (M < (k + 1) -> M <_ (k + 1)))
2522, 24syld 27 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> (M <_ k -> M <_ (k + 1)))
26 zre 6305 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k e. ZZ -> k e. RR)
2725, 1, 26syl2an 456 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ) -> (M <_ k -> M <_ (k + 1)))
2827adantrd 391 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ) -> ((M <_ k /\ ch) -> M <_ (k + 1)))
2928exp4b 379 . . . . . . . . . . . 12 |- (M e. ZZ -> (k e. ZZ -> (M <_ k -> (ch -> M <_ (k + 1)))))
3029imp4d 365 . . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> M <_ (k + 1)))
31 uzind.6 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k) -> (ch -> th))
32313exp 837 . . . . . . . . . . . 12 |- (M e. ZZ -> (k e. ZZ -> (M <_ k -> (ch -> th))))
3332imp4d 365 . . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> th))
3430, 33jcad 602 . . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> (M <_ (k + 1) /\ th)))
3514, 34jcad 602 . . . . . . . . 9 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> ((k + 1) e. ZZ /\ (M <_ (k + 1) /\ th))))
36 breq2 2695 . . . . . . . . . . 11 |- (j = k -> (M <_ j <-> M <_ k))
37 uzind.2 . . . . . . . . . . 11 |- (j = k -> (ph <-> ch))
3836, 37anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 |- (j = k -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ k /\ ch)))
3938elrab 1950 . . . . . . . . 9 |- (k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> (k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)))
40 breq2 2695 . . . . . . . . . . 11 |- (j = (k + 1) -> (M <_ j <-> M <_ (k + 1)))
41 uzind.3 . . . . . . . . . . 11 |- (j = (k + 1) -> (ph <-> th))
4240, 41anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 |- (j = (k + 1) -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ (k + 1) /\ th)))
4342elrab 1950 . . . . . . . . 9 |- ((k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> ((k + 1) e. ZZ /\ (M <_ (k + 1) /\ th)))
4435, 39, 433imtr4g 555 . . . . . . . 8 |- (M e. ZZ -> (k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} -> (k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}))
4544r19.21aiv 1758 . . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> A.k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} (k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)})
46 zex 6310 . . . . . . . . 9 |- ZZ e. V
4746rabex 2798 . . . . . . . 8 |- {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} e. V
4847peano5uzti 6373 . . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> ((M e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} /\ A.k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} (k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}) -> {w e. ZZ | M <_ w} (_ {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}))
4911, 45, 48mp2and 706 . . . . . 6 |- (M e. ZZ -> {w e. ZZ | M <_ w} (_ {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)})
5049sseld 2118 . . . . 5 |- (M e. ZZ -> (N e. {w e. ZZ | M <_ w} -> N e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}))
51 breq2 2695 . . . . . 6 |- (w = N -> (M <_ w <-> M <_ N))
5251elrab 1950 . . . . 5 |- (N e. {w e. ZZ | M <_ w} <-> (N e. ZZ /\ M <_ N))
53 breq2 2695 . . . . . . 7 |- (j = N -> (M <_ j <-> M <_ N))
54 uzind.4 . . . . . . 7 |- (j = N -> (ph <-> ta))
5553, 54anbi12d 630 . . . . . 6 |- (j = N -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ N /\ ta)))
5655elrab 1950 . . . . 5 |- (N e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> (N e. ZZ /\ (M <_ N /\ ta)))
5750, 52, 563imtr3g 554 . . . 4 |- (M e. ZZ -> ((N e. ZZ /\ M <_ N) -> (N e. ZZ /\ (M <_ N /\ ta))))
58573impib 836 . . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> (N e. ZZ /\ (M <_ N /\ ta)))
5958pm3.27d 323 . 2 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> (M <_ N /\ ta))
6059pm3.27d 323 1 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ta)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   /\ w3a 780   = wceq 991   e. wcel 993  A.wral 1690  {crab 1693   (_ wss 2098   class class class wbr 2691  (class class class)co 4019  RRcr 5385  1c1 5387   + caddc 5389   <_ cle 5447  ZZcz 5450   < clt 5638
This theorem is referenced by:  uzind2 6375  uzind3 6376  nn0ind 6381  om2uzrani 6661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 997  ax-gen 998  ax-8 999  ax-9 1000  ax-10 1001  ax-11 1002  ax-12 1003  ax-13 1004  ax-14 1005  ax-17 1006  ax-4 1008  ax-5o 1010  ax-6o 1013  ax-9o 1158  ax-10o 1176  ax-16 1246  ax-11o 1254  ax-ext 1499  ax-rep 2766  ax-sep 2776  ax-nul 2783  ax-pow 2817  ax-pr 2854  ax-un 3088  ax-inf2 4768
This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 781  df-3an 782  df-ex 1016  df-sb 1208  df-eu 1420  df-mo 1421  df-clab 1505  df-cleq 1510  df-clel 1513  df-ne 1629  df-nel 1630  df-ral 1694  df-rex 1695  df-reu 1696  df-rab 1697  df-v 1857  df-sbc 1986  df-csb 2051  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2415  df-pw 2458  df-sn 2469  df-pr 2470  df-tp 2472  df-op 2473  df-uni 2569  df-int 2600  df-iun 2634  df-br 2692  df-opab 2740  df-tr 2754  df-eprel 2909  df-id 2912  df-po 2917  df-so 2928  df-fr 2946  df-we 2961  df-ord 2977  df-on 2978  df-lim 2979  df-suc 2980  df-om 3218  df-xp 3264  df-rel 3265  df-cnv 3266  df-co 3267  df-dm 3268  df-rn 3269  df-res 3270  df-ima 3271  df-fun 3272  df-fn 3273  df-f 3274  df-f1 3275  df-fo 3276  df-f1o 3277  df-fv 3278  df-opr 4021  df-oprab 4022  df-1st 4138  df-2nd 4139  df-rdg 4231  df-1o 4267  df-oadd 4269  df-omul 4270  df-er 4399  df-ec 4401  df-qs 4404  df-en 4507  df-dom 4508  df-sdom 4509  df-ni 5152  df-pli 5153  df-mi 5154  df-lti 5155  df-plpq 5187  df-mpq 5188  df-enq 5189  df-nq 5190  df-plq 5191  df-mq 5192  df-rq 5193  df-ltq 5194  df-1q 5195  df-np 5238  df-1p 5239  df-plp 5240  df-mp 5241  df-ltp 5242  df-plpr 5316  df-mpr 5317  df-enr 5318  df-nr 5319  df-plr 5320  df-mr 5321  df-ltr 5322  df-0r 5323  df-1r 5324  df-m1r 5325  df-c 5392  df-0 5393  df-1 5394  df-i 5395  df-r 5396  df-plus 5397  df-mul 5398  df-lt 5399  df-sub 5508  df-neg 5510  df-pnf 5639  df-mnf 5640  df-xr 5641  df-ltxr 5642  df-le 5643  df-n 6068  df-n0 6266  df-z 6302
Copyright terms: Public domain