Theorem uzind 6376

Description: Induction on the upper integers that start at M. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis.

Hypotheses

Ref	Expression
uzind.1	|- (j = M -> (ph <-> ps))
uzind.2	|- (j = k -> (ph <-> ch))
uzind.3	|- (j = (k + 1) -> (ph <-> th))
uzind.4	|- (j = N -> (ph <-> ta))
uzind.5	|- (M e. ZZ -> ps)
uzind.6	|- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k) -> (ch -> th))

Assertion

Ref	Expression
uzind	|- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ta)

Distinct variable groups:   j,N   ps,j   ch,j   th,j   ta,j   ph,k   j,k,M

Proof of Theorem uzind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 6307	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> M e. RR)
2		leid 5685	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. RR -> M <_ M)
3	1, 2	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> M <_ M)
4		uzind.5	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ps)
5	3, 4	jca 286	. . . . . . . . 9 |- (M e. ZZ -> (M <_ M /\ ps))
6	5	ancli 294	. . . . . . . 8 |- (M e. ZZ -> (M e. ZZ /\ (M <_ M /\ ps)))
7		breq2 2696	. . . . . . . . . 10 |- (j = M -> (M <_ j <-> M <_ M))
8		uzind.1	. . . . . . . . . 10 |- (j = M -> (ph <-> ps))
9	7, 8	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 |- (j = M -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ M /\ ps)))
10	9	elrab 1951	. . . . . . . 8 |- (M e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> (M e. ZZ /\ (M <_ M /\ ps)))
11	6, 10	sylibr 198	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> M e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)})
12		peano2z 6334	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. ZZ -> (k + 1) e. ZZ)
13	12	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> (k e. ZZ -> (k + 1) e. ZZ))
14	13	adantrd 391	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> (k + 1) e. ZZ))
15		ltp1 5951	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k e. RR -> k < (k + 1))
16	15	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> k < (k + 1))
17		lelttr 5677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((M e. RR /\ k e. RR /\ (k + 1) e. RR) -> ((M <_ k /\ k < (k + 1)) -> M < (k + 1)))
18	17	3expb 840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((M e. RR /\ (k e. RR /\ (k + 1) e. RR)) -> ((M <_ k /\ k < (k + 1)) -> M < (k + 1)))
19		peano2re 5590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (k e. RR -> (k + 1) e. RR)
20	19	ancli 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k e. RR -> (k e. RR /\ (k + 1) e. RR))
21	18, 20	sylan2 453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> ((M <_ k /\ k < (k + 1)) -> M < (k + 1)))
22	16, 21	mpan2d 706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> (M <_ k -> M < (k + 1)))
23		ltle 5674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. RR /\ (k + 1) e. RR) -> (M < (k + 1) -> M <_ (k + 1)))
24	23, 19	sylan2 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> (M < (k + 1) -> M <_ (k + 1)))
25	22, 24	syld 27	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> (M <_ k -> M <_ (k + 1)))
26		zre 6307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k e. ZZ -> k e. RR)
27	25, 1, 26	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ) -> (M <_ k -> M <_ (k + 1)))
28	27	adantrd 391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ) -> ((M <_ k /\ ch) -> M <_ (k + 1)))
29	28	exp4b 379	. . . . . . . . . . . 12 |- (M e. ZZ -> (k e. ZZ -> (M <_ k -> (ch -> M <_ (k + 1)))))
30	29	imp4d 365	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> M <_ (k + 1)))
31		uzind.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k) -> (ch -> th))
32	31	3exp 838	. . . . . . . . . . . 12 |- (M e. ZZ -> (k e. ZZ -> (M <_ k -> (ch -> th))))
33	32	imp4d 365	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> th))
34	30, 33	jcad 603	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> (M <_ (k + 1) /\ th)))
35	14, 34	jcad 603	. . . . . . . . 9 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> ((k + 1) e. ZZ /\ (M <_ (k + 1) /\ th))))
36		breq2 2696	. . . . . . . . . . 11 |- (j = k -> (M <_ j <-> M <_ k))
37		uzind.2	. . . . . . . . . . 11 |- (j = k -> (ph <-> ch))
38	36, 37	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 |- (j = k -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ k /\ ch)))
39	38	elrab 1951	. . . . . . . . 9 |- (k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> (k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)))
40		breq2 2696	. . . . . . . . . . 11 |- (j = (k + 1) -> (M <_ j <-> M <_ (k + 1)))
41		uzind.3	. . . . . . . . . . 11 |- (j = (k + 1) -> (ph <-> th))
42	40, 41	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 |- (j = (k + 1) -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ (k + 1) /\ th)))
43	42	elrab 1951	. . . . . . . . 9 |- ((k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> ((k + 1) e. ZZ /\ (M <_ (k + 1) /\ th)))
44	35, 39, 43	3imtr4g 556	. . . . . . . 8 |- (M e. ZZ -> (k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} -> (k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}))
45	44	r19.21aiv 1759	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> A.k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} (k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)})
46		zex 6312	. . . . . . . . 9 |- ZZ e. V
47	46	rabex 2799	. . . . . . . 8 |- {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} e. V
48	47	peano5uzti 6375	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> ((M e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} /\ A.k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} (k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}) -> {w e. ZZ | M <_ w} (_ {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}))
49	11, 45, 48	mp2and 707	. . . . . 6 |- (M e. ZZ -> {w e. ZZ | M <_ w} (_ {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)})
50	49	sseld 2119	. . . . 5 |- (M e. ZZ -> (N e. {w e. ZZ | M <_ w} -> N e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}))
51		breq2 2696	. . . . . 6 |- (w = N -> (M <_ w <-> M <_ N))
52	51	elrab 1951	. . . . 5 |- (N e. {w e. ZZ | M <_ w} <-> (N e. ZZ /\ M <_ N))
53		breq2 2696	. . . . . . 7 |- (j = N -> (M <_ j <-> M <_ N))
54		uzind.4	. . . . . . 7 |- (j = N -> (ph <-> ta))
55	53, 54	anbi12d 631	. . . . . 6 |- (j = N -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ N /\ ta)))
56	55	elrab 1951	. . . . 5 |- (N e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> (N e. ZZ /\ (M <_ N /\ ta)))
57	50, 52, 56	3imtr3g 555	. . . 4 |- (M e. ZZ -> ((N e. ZZ /\ M <_ N) -> (N e. ZZ /\ (M <_ N /\ ta))))
58	57	3impib 837	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> (N e. ZZ /\ (M <_ N /\ ta)))
59	58	pm3.27d 323	. 2 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> (M <_ N /\ ta))
60	59	pm3.27d 323	1 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ta)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   /\ w3a 781   = wceq 992   e. wcel 994  A.wral 1691  {crab 1694   (_ wss 2099   class class class wbr 2692  (class class class)co 4021  RRcr 5387  1c1 5389   + caddc 5391   <_ cle 5449  ZZcz 5452   < clt 5640

This theorem is referenced by:  uzind2 6377  uzind3 6378  nn0ind 6383  om2uzrani 6663  seqzp2 10918

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-n 6070  df-n0 6268  df-z 6304

Copyright terms: Public domain