Theorem uzind 6163

Description: Induction on the upper integers that start at M. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis.

Hypotheses

Ref	Expression
uzind.1	|- (j = M -> (ph <-> ps))
uzind.2	|- (j = k -> (ph <-> ch))
uzind.3	|- (j = (k + 1) -> (ph <-> th))
uzind.4	|- (j = N -> (ph <-> ta))
uzind.5	|- (M e. ZZ -> ps)
uzind.6	|- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k) -> (ch -> th))

Assertion

Ref	Expression
uzind	|- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ta)

Distinct variable groups:   j,N   ps,j   ch,j   th,j   ta,j   ph,k   j,k,M

Proof of Theorem uzind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zret 6096	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> M e. RR)
2		leidt 5514	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. RR -> M <_ M)
3	1, 2	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> M <_ M)
4		uzind.5	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ps)
5	3, 4	jca 288	. . . . . . . . 9 |- (M e. ZZ -> (M <_ M /\ ps))
6	5	ancli 296	. . . . . . . 8 |- (M e. ZZ -> (M e. ZZ /\ (M <_ M /\ ps)))
7		breq2 2619	. . . . . . . . . 10 |- (j = M -> (M <_ j <-> M <_ M))
8		uzind.1	. . . . . . . . . 10 |- (j = M -> (ph <-> ps))
9	7, 8	anbi12d 627	. . . . . . . . 9 |- (j = M -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ M /\ ps)))
10	9	elrab 1902	. . . . . . . 8 |- (M e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> (M e. ZZ /\ (M <_ M /\ ps)))
11	6, 10	sylibr 200	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> M e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)})
12		peano2z 6123	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. ZZ -> (k + 1) e. ZZ)
13	12	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> (k e. ZZ -> (k + 1) e. ZZ))
14	13	adantrd 391	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> (k + 1) e. ZZ))
15		ltp1t 5777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k e. RR -> k < (k + 1))
16	15	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> k < (k + 1))
17		lelttrt 5506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((M e. RR /\ k e. RR /\ (k + 1) e. RR) -> ((M <_ k /\ k < (k + 1)) -> M < (k + 1)))
18	17	3expb 833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((M e. RR /\ (k e. RR /\ (k + 1) e. RR)) -> ((M <_ k /\ k < (k + 1)) -> M < (k + 1)))
19		peano2re 5419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (k e. RR -> (k + 1) e. RR)
20	19	ancli 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k e. RR -> (k e. RR /\ (k + 1) e. RR))
21	18, 20	sylan2 451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> ((M <_ k /\ k < (k + 1)) -> M < (k + 1)))
22	16, 21	mpan2d 701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> (M <_ k -> M < (k + 1)))
23		ltlet 5503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. RR /\ (k + 1) e. RR) -> (M < (k + 1) -> M <_ (k + 1)))
24	23, 19	sylan2 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> (M < (k + 1) -> M <_ (k + 1)))
25	22, 24	syld 27	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> (M <_ k -> M <_ (k + 1)))
26		zret 6096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k e. ZZ -> k e. RR)
27	25, 1, 26	syl2an 454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ) -> (M <_ k -> M <_ (k + 1)))
28	27	adantrd 391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ) -> ((M <_ k /\ ch) -> M <_ (k + 1)))
29	28	exp4b 379	. . . . . . . . . . . 12 |- (M e. ZZ -> (k e. ZZ -> (M <_ k -> (ch -> M <_ (k + 1)))))
30	29	imp4d 367	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> M <_ (k + 1)))
31		uzind.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k) -> (ch -> th))
32	31	3exp 831	. . . . . . . . . . . 12 |- (M e. ZZ -> (k e. ZZ -> (M <_ k -> (ch -> th))))
33	32	imp4d 367	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> th))
34	30, 33	jcad 599	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> (M <_ (k + 1) /\ th)))
35	14, 34	jcad 599	. . . . . . . . 9 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> ((k + 1) e. ZZ /\ (M <_ (k + 1) /\ th))))
36		breq2 2619	. . . . . . . . . . 11 |- (j = k -> (M <_ j <-> M <_ k))
37		uzind.2	. . . . . . . . . . 11 |- (j = k -> (ph <-> ch))
38	36, 37	anbi12d 627	. . . . . . . . . 10 |- (j = k -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ k /\ ch)))
39	38	elrab 1902	. . . . . . . . 9 |- (k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> (k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)))
40		breq2 2619	. . . . . . . . . . 11 |- (j = (k + 1) -> (M <_ j <-> M <_ (k + 1)))
41		uzind.3	. . . . . . . . . . 11 |- (j = (k + 1) -> (ph <-> th))
42	40, 41	anbi12d 627	. . . . . . . . . 10 |- (j = (k + 1) -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ (k + 1) /\ th)))
43	42	elrab 1902	. . . . . . . . 9 |- ((k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> ((k + 1) e. ZZ /\ (M <_ (k + 1) /\ th)))
44	35, 39, 43	3imtr4g 552	. . . . . . . 8 |- (M e. ZZ -> (k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} -> (k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}))
45	44	r19.21aiv 1711	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> A.k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} (k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)})
46		zex 6101	. . . . . . . . 9 |- ZZ e. V
47	46	rabex 2721	. . . . . . . 8 |- {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} e. V
48	47	peano5uzt 6162	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> ((M e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} /\ A.k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} (k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}) -> {w e. ZZ | M <_ w} (_ {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}))
49	11, 45, 48	mp2and 702	. . . . . 6 |- (M e. ZZ -> {w e. ZZ | M <_ w} (_ {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)})
50	49	sseld 2064	. . . . 5 |- (M e. ZZ -> (N e. {w e. ZZ | M <_ w} -> N e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}))
51		breq2 2619	. . . . . 6 |- (w = N -> (M <_ w <-> M <_ N))
52	51	elrab 1902	. . . . 5 |- (N e. {w e. ZZ | M <_ w} <-> (N e. ZZ /\ M <_ N))
53		breq2 2619	. . . . . . 7 |- (j = N -> (M <_ j <-> M <_ N))
54		uzind.4	. . . . . . 7 |- (j = N -> (ph <-> ta))
55	53, 54	anbi12d 627	. . . . . 6 |- (j = N -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ N /\ ta)))
56	55	elrab 1902	. . . . 5 |- (N e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> (N e. ZZ /\ (M <_ N /\ ta)))
57	50, 52, 56	3imtr3g 551	. . . 4 |- (M e. ZZ -> ((N e. ZZ /\ M <_ N) -> (N e. ZZ /\ (M <_ N /\ ta))))
58	57	3impib 830	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> (N e. ZZ /\ (M <_ N /\ ta)))
59	58	pm3.27d 325	. 2 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> (M <_ N /\ ta))
60	59	pm3.27d 325	1 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ta)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1643  {crab 1646   (_ wss 2044   class class class wbr 2615  (class class class)co 3958  RRcr 5216  1c1 5218   + caddc 5220   <_ cle 5278  ZZcz 5281   < clt 5469

This theorem is referenced by:  uzind2 6164  uzind3 6165  nn0ind 6170  om2uzran 6250

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-n 5883  df-n0 6057  df-z 6093

Copyright terms: Public domain