Theorem uzind2 6206

Description: Induction on the upper integers that start after an integer M. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis.

Hypotheses

Ref	Expression
uzind2.1	|- (j = (M + 1) -> (ph <-> ps))
uzind2.2	|- (j = k -> (ph <-> ch))
uzind2.3	|- (j = (k + 1) -> (ph <-> th))
uzind2.4	|- (j = N -> (ph <-> ta))
uzind2.5	|- (M e. ZZ -> ps)
uzind2.6	|- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M < k) -> (ch -> th))

Assertion

Ref	Expression
uzind2	|- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N) -> ta)

Distinct variable groups:   j,N   ps,j   ch,j   th,j   ta,j   ph,k   j,k,M

Proof of Theorem uzind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zltp1let 6181	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M < N <-> (M + 1) <_ N))
2		peano2z 6166	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> (M + 1) e. ZZ)
3		uzind2.1	. . . . . . . . . 10 |- (j = (M + 1) -> (ph <-> ps))
4	3	imbi2d 612	. . . . . . . . 9 |- (j = (M + 1) -> ((M e. ZZ -> ph) <-> (M e. ZZ -> ps)))
5		uzind2.2	. . . . . . . . . 10 |- (j = k -> (ph <-> ch))
6	5	imbi2d 612	. . . . . . . . 9 |- (j = k -> ((M e. ZZ -> ph) <-> (M e. ZZ -> ch)))
7		uzind2.3	. . . . . . . . . 10 |- (j = (k + 1) -> (ph <-> th))
8	7	imbi2d 612	. . . . . . . . 9 |- (j = (k + 1) -> ((M e. ZZ -> ph) <-> (M e. ZZ -> th)))
9		uzind2.4	. . . . . . . . . 10 |- (j = N -> (ph <-> ta))
10	9	imbi2d 612	. . . . . . . . 9 |- (j = N -> ((M e. ZZ -> ph) <-> (M e. ZZ -> ta)))
11		uzind2.5	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ps)
12	11	a1i 8	. . . . . . . . 9 |- ((M + 1) e. ZZ -> (M e. ZZ -> ps))
13		zltp1let 6181	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ) -> (M < k <-> (M + 1) <_ k))
14		uzind2.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M < k) -> (ch -> th))
15	14	3expia 835	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ) -> (M < k -> (ch -> th)))
16	13, 15	sylbird 205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ) -> ((M + 1) <_ k -> (ch -> th)))
17	16	ex 373	. . . . . . . . . . . . 13 |- (M e. ZZ -> (k e. ZZ -> ((M + 1) <_ k -> (ch -> th))))
18	17	com3l 34	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. ZZ -> ((M + 1) <_ k -> (M e. ZZ -> (ch -> th))))
19	18	imp 350	. . . . . . . . . . 11 |- ((k e. ZZ /\ (M + 1) <_ k) -> (M e. ZZ -> (ch -> th)))
20	19	3adant1 797	. . . . . . . . . 10 |- (((M + 1) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ (M + 1) <_ k) -> (M e. ZZ -> (ch -> th)))
21	20	a2d 13	. . . . . . . . 9 |- (((M + 1) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ (M + 1) <_ k) -> ((M e. ZZ -> ch) -> (M e. ZZ -> th)))
22	4, 6, 8, 10, 12, 21	uzind 6205	. . . . . . . 8 |- (((M + 1) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ (M + 1) <_ N) -> (M e. ZZ -> ta))
23	22	3exp 832	. . . . . . 7 |- ((M + 1) e. ZZ -> (N e. ZZ -> ((M + 1) <_ N -> (M e. ZZ -> ta))))
24	2, 23	syl 10	. . . . . 6 |- (M e. ZZ -> (N e. ZZ -> ((M + 1) <_ N -> (M e. ZZ -> ta))))
25	24	com34 36	. . . . 5 |- (M e. ZZ -> (N e. ZZ -> (M e. ZZ -> ((M + 1) <_ N -> ta))))
26	25	pm2.43a 66	. . . 4 |- (M e. ZZ -> (N e. ZZ -> ((M + 1) <_ N -> ta)))
27	26	imp 350	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((M + 1) <_ N -> ta))
28	1, 27	sylbid 203	. 2 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M < N -> ta))
29	28	3impia 830	1 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N) -> ta)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  1c1 5235   + caddc 5237   <_ cle 5295  ZZcz 5298   < clt 5486

This theorem is referenced by:  fsum1ps 7018

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136

Copyright terms: Public domain