Theorem uzind2 6377

Description: Induction on the upper integers that start after an integer M. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis.

Hypotheses

Ref	Expression
uzind2.1	|- (j = (M + 1) -> (ph <-> ps))
uzind2.2	|- (j = k -> (ph <-> ch))
uzind2.3	|- (j = (k + 1) -> (ph <-> th))
uzind2.4	|- (j = N -> (ph <-> ta))
uzind2.5	|- (M e. ZZ -> ps)
uzind2.6	|- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M < k) -> (ch -> th))

Assertion

Ref	Expression
uzind2	|- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N) -> ta)

Distinct variable groups:   j,N   ps,j   ch,j   th,j   ta,j   ph,k   j,k,M

Proof of Theorem uzind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zltp1le 6349	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M < N <-> (M + 1) <_ N))
2		peano2z 6334	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> (M + 1) e. ZZ)
3		uzind2.1	. . . . . . . . . 10 |- (j = (M + 1) -> (ph <-> ps))
4	3	imbi2d 615	. . . . . . . . 9 |- (j = (M + 1) -> ((M e. ZZ -> ph) <-> (M e. ZZ -> ps)))
5		uzind2.2	. . . . . . . . . 10 |- (j = k -> (ph <-> ch))
6	5	imbi2d 615	. . . . . . . . 9 |- (j = k -> ((M e. ZZ -> ph) <-> (M e. ZZ -> ch)))
7		uzind2.3	. . . . . . . . . 10 |- (j = (k + 1) -> (ph <-> th))
8	7	imbi2d 615	. . . . . . . . 9 |- (j = (k + 1) -> ((M e. ZZ -> ph) <-> (M e. ZZ -> th)))
9		uzind2.4	. . . . . . . . . 10 |- (j = N -> (ph <-> ta))
10	9	imbi2d 615	. . . . . . . . 9 |- (j = N -> ((M e. ZZ -> ph) <-> (M e. ZZ -> ta)))
11		uzind2.5	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ps)
12	11	a1i 8	. . . . . . . . 9 |- ((M + 1) e. ZZ -> (M e. ZZ -> ps))
13		zltp1le 6349	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ) -> (M < k <-> (M + 1) <_ k))
14		uzind2.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M < k) -> (ch -> th))
15	14	3expia 841	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ) -> (M < k -> (ch -> th)))
16	13, 15	sylbird 203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ) -> ((M + 1) <_ k -> (ch -> th)))
17	16	ex 371	. . . . . . . . . . . . 13 |- (M e. ZZ -> (k e. ZZ -> ((M + 1) <_ k -> (ch -> th))))
18	17	com3l 34	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. ZZ -> ((M + 1) <_ k -> (M e. ZZ -> (ch -> th))))
19	18	imp 348	. . . . . . . . . . 11 |- ((k e. ZZ /\ (M + 1) <_ k) -> (M e. ZZ -> (ch -> th)))
20	19	3adant1 803	. . . . . . . . . 10 |- (((M + 1) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ (M + 1) <_ k) -> (M e. ZZ -> (ch -> th)))
21	20	a2d 13	. . . . . . . . 9 |- (((M + 1) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ (M + 1) <_ k) -> ((M e. ZZ -> ch) -> (M e. ZZ -> th)))
22	4, 6, 8, 10, 12, 21	uzind 6376	. . . . . . . 8 |- (((M + 1) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ (M + 1) <_ N) -> (M e. ZZ -> ta))
23	22	3exp 838	. . . . . . 7 |- ((M + 1) e. ZZ -> (N e. ZZ -> ((M + 1) <_ N -> (M e. ZZ -> ta))))
24	2, 23	syl 10	. . . . . 6 |- (M e. ZZ -> (N e. ZZ -> ((M + 1) <_ N -> (M e. ZZ -> ta))))
25	24	com34 36	. . . . 5 |- (M e. ZZ -> (N e. ZZ -> (M e. ZZ -> ((M + 1) <_ N -> ta))))
26	25	pm2.43a 66	. . . 4 |- (M e. ZZ -> (N e. ZZ -> ((M + 1) <_ N -> ta)))
27	26	imp 348	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((M + 1) <_ N -> ta))
28	1, 27	sylbid 201	. 2 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M < N -> ta))
29	28	3impia 836	1 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N) -> ta)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   /\ w3a 781   = wceq 992   e. wcel 994   class class class wbr 2692  (class class class)co 4021  1c1 5389   + caddc 5391   <_ cle 5449  ZZcz 5452   < clt 5640

This theorem is referenced by:  fsum1ps 7221

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-n 6070  df-n0 6268  df-z 6304

Copyright terms: Public domain