Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzind4 Structured version   Unicode version

Theorem uzind4 10526
 Description: Induction on the set of upper integers that starts at an integer . The first four hypotheses give us the substitution instances we need, and the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind4.1
uzind4.2
uzind4.3
uzind4.4
uzind4.5
uzind4.6
Assertion
Ref Expression
uzind4
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem uzind4
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10485 . 2
2 eluzelz 10488 . . 3
3 eluzle 10490 . . 3
4 breq2 4208 . . . 4
54elrab 3084 . . 3
62, 3, 5sylanbrc 646 . 2
7 uzind4.1 . . 3
8 uzind4.2 . . 3
9 uzind4.3 . . 3
10 uzind4.4 . . 3
11 uzind4.5 . . 3
12 breq2 4208 . . . . . 6
1312elrab 3084 . . . . 5
14 eluz2 10486 . . . . . . 7
1514biimpri 198 . . . . . 6
16153expb 1154 . . . . 5
1713, 16sylan2b 462 . . . 4
18 uzind4.6 . . . 4
1917, 18syl 16 . . 3
207, 8, 9, 10, 11, 19uzind3 10355 . 2
211, 6, 20syl2anc 643 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  crab 2701   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073  c1 8983   caddc 8985   cle 9113  cz 10274  cuz 10480 This theorem is referenced by:  uzind4ALT  10527  uzind4s  10528  uzind4s2  10529  uzind4i  10530  uzwo  10531  uzwoOLD  10532  seqcl2  11333  seqfveq2  11337  seqshft2  11341  monoord  11345  seqsplit  11348  seqf1o  11356  seqid2  11361  seqhomo  11362  leexp2r  11429  cvgrat  12652  ruclem9  12829  dvdsfac  12896  smuval2  12986  smupvallem  12987  seq1st  13054  prmreclem4  13279  vdwlem13  13353  2expltfac  13418  1stcelcls  17516  caubl  19252  caublcls  19253  volsuplem  19441  cpnord  19813  aaliou3lem2  20252  bcmono  21053  clim2prod  25208  ntrivcvgfvn0  25219  fprodabs  25289  fprodefsum  25290  iprodefisumlem  25309  sdclem2  26437  seqpo  26442  mettrifi  26454  incssnn0  26756  climsuselem1  27700 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481
 Copyright terms: Public domain W3C validator