Theorem uzrdgfnuz 6307

Description: A helper lemma for the value of an NN or NN0 -based recursive definition generator. The generated function is a function on the upper integers starting at C (usually 1 or 0). See comment in uzrdgval 6303.

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	|- C e. ZZ
om2uz.2	|- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)

Assertion

Ref	Expression
uzrdgfnuz	|- (rec(F, A) o. `'G) Fn {z e. ZZ | C <_ z}

Distinct variable groups:   x,y,z   z,G   z,A   x,C,y,z

Proof of Theorem uzrdgfnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfnon 3945	. . . 4 |- rec(F, A) Fn On
2		fnf 3634	. . . 4 |- (rec(F, A) Fn On <-> rec(F, A):On-->V)
3	1, 2	mpbi 189	. . 3 |- rec(F, A):On-->V
4		om2uz.1	. . . . . . 7 |- C e. ZZ
5		om2uz.2	. . . . . . 7 |- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)
6	4, 5	om2uzf1o 6302	. . . . . 6 |- G:om-1-1-onto->{z e. ZZ | C <_ z}
7		f1ocnv 3707	. . . . . 6 |- (G:om-1-1-onto->{z e. ZZ | C <_ z} -> `'G:{z e. ZZ | C <_ z}-1-1-onto->om)
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . 5 |- `'G:{z e. ZZ | C <_ z}-1-1-onto->om
9		f1of 3695	. . . . 5 |- (`'G:{z e. ZZ | C <_ z}-1-1-onto->om -> `'G:{z e. ZZ | C <_ z}-->om)
10	8, 9	ax-mp 7	. . . 4 |- `'G:{z e. ZZ | C <_ z}-->om
11		omsson 3142	. . . 4 |- om (_ On
12		fss 3641	. . . 4 |- ((`'G:{z e. ZZ | C <_ z}-->om /\ om (_ On) -> `'G:{z e. ZZ | C <_ z}-->On)
13	10, 11, 12	mp2an 699	. . 3 |- `'G:{z e. ZZ | C <_ z}-->On
14		fco 3642	. . 3 |- ((rec(F, A):On-->V /\ `'G:{z e. ZZ | C <_ z}-->On) -> (rec(F, A) o. `'G):{z e. ZZ | C <_ z}-->V)
15	3, 13, 14	mp2an 699	. 2 |- (rec(F, A) o. `'G):{z e. ZZ | C <_ z}-->V
16		fnf 3634	. 2 |- ((rec(F, A) o. `'G) Fn {z e. ZZ | C <_ z} <-> (rec(F, A) o. `'G):{z e. ZZ | C <_ z}-->V)
17	15, 16	mpbir 190	1 |- (rec(F, A) o. `'G) Fn {z e. ZZ | C <_ z}

Syntax hints:   = wceq 958   e. wcel 960  {crab 1651  Vcvv 1814   (_ wss 2050   class class class wbr 2624  {copab 2671  Oncon0 2954  omcom 3137  `'ccnv 3175   |` cres 3178   o. ccom 3180   Fn wfn 3183  -->wf 3184  -1-1-onto->wf1o 3187  reccrdg 3937  (class class class)co 3969  1c1 5247   + caddc 5249   <_ cle 5307  ZZcz 5310

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138

Copyright terms: Public domain