Theorem uzrdgini 6253

Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in uzrdgval 6252.

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	|- C e. ZZ
om2uz.2	|- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)

Assertion

Ref	Expression
uzrdgini	|- (A e. B -> ((rec(F, A) o. `'G)` C) = A)

Distinct variable group:   x,y,C

Proof of Theorem uzrdgini

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdg0t 3939	. 2 |- (A e. B -> (rec(F, A)` (/)) = A)
2		breq2 2619	. . . . . 6 |- (z = C -> (C <_ z <-> C <_ C))
3	2	elrab 1902	. . . . 5 |- (C e. {z e. ZZ | C <_ z} <-> (C e. ZZ /\ C <_ C))
4		om2uz.1	. . . . 5 |- C e. ZZ
5	4	zre 6098	. . . . . 6 |- C e. RR
6	5	leid 5594	. . . . 5 |- C <_ C
7	3, 4, 6	mpbir2an 729	. . . 4 |- C e. {z e. ZZ | C <_ z}
8		om2uz.2	. . . . 5 |- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)
9	4, 8	uzrdgval 6252	. . . 4 |- (C e. {z e. ZZ | C <_ z} -> ((rec(F, A) o. `'G)` C) = (rec(F, A)` (`'G` C)))
10	7, 9	ax-mp 7	. . 3 |- ((rec(F, A) o. `'G)` C) = (rec(F, A)` (`'G` C))
11	4, 8	om2uz0 6245	. . . . 5 |- (G` (/)) = C
12	4, 8	om2uzf1o 6251	. . . . . 6 |- G:om-1-1-onto->{z e. ZZ | C <_ z}
13		peano1 3145	. . . . . 6 |- (/) e. om
14		f1ocnvfv 3875	. . . . . 6 |- ((G:om-1-1-onto->{z e. ZZ | C <_ z} /\ (/) e. om) -> ((G` (/)) = C -> (`'G` C) = (/)))
15	12, 13, 14	mp2an 696	. . . . 5 |- ((G` (/)) = C -> (`'G` C) = (/))
16	11, 15	ax-mp 7	. . . 4 |- (`'G` C) = (/)
17	16	fveq2i 3722	. . 3 |- (rec(F, A)` (`'G` C)) = (rec(F, A)` (/))
18	10, 17	eqtr 1493	. 2 |- ((rec(F, A) o. `'G)` C) = (rec(F, A)` (/))
19	1, 18	syl5eq 1517	1 |- (A e. B -> ((rec(F, A) o. `'G)` C) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 955   e. wcel 957  {crab 1646  (/)c0 2277   class class class wbr 2615  {copab 2662  omcom 3127  `'ccnv 3165   |` cres 3168   o. ccom 3170  -1-1-onto->wf1o 3177  ` cfv 3178  reccrdg 3926  (class class class)co 3958  1c1 5218   + caddc 5220   <_ cle 5278  ZZcz 5281

This theorem is referenced by:  uzrdginip1 6255  seq1lem1 6259  seq11lem 6265

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-n 5883  df-n0 6057  df-z 6093

Copyright terms: Public domain