Theorem uzrdgval 6302

Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers (typically either NN or NN0) with characteristic function F and initial value A. Normally F is a function on the partition, and A is a member of the partition. See also comment in om2uz0 6295.

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	|- C e. ZZ
om2uz.2	|- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)

Assertion

Ref	Expression
uzrdgval	|- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> ((rec(F, A) o. `'G)` B) = (rec(F, A)` (`'G` B)))

Distinct variable groups:   x,y,z   z,G   z,A   z,B   x,C,y,z

Proof of Theorem uzrdgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2uz.1	. . . . 5 |- C e. ZZ
2		om2uz.2	. . . . 5 |- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)
3	1, 2	om2uzran 6300	. . . 4 |- ran G = {z e. ZZ | C <_ z}
4		df-rn 3189	. . . 4 |- ran G = dom `' G
5	3, 4	eqtr3 1497	. . 3 |- {z e. ZZ | C <_ z} = dom `' G
6	5	eleq2i 1538	. 2 |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} <-> B e. dom `' G)
7		rdgfnon 3939	. . . 4 |- rec(F, A) Fn On
8		fnfun 3585	. . . 4 |- (rec(F, A) Fn On -> Fun rec(F, A))
9	7, 8	ax-mp 7	. . 3 |- Fun rec(F, A)
10	1, 2	om2uzf1o 6301	. . . . 5 |- G:om-1-1-onto->{z e. ZZ | C <_ z}
11		f1ocnv 3701	. . . . 5 |- (G:om-1-1-onto->{z e. ZZ | C <_ z} -> `'G:{z e. ZZ | C <_ z}-1-1-onto->om)
12	10, 11	ax-mp 7	. . . 4 |- `'G:{z e. ZZ | C <_ z}-1-1-onto->om
13		f1ofun 3691	. . . 4 |- (`'G:{z e. ZZ | C <_ z}-1-1-onto->om -> Fun `'G)
14	12, 13	ax-mp 7	. . 3 |- Fun `'G
15		fvco 3774	. . 3 |- ((Fun rec(F, A) /\ Fun `'G /\ B e. dom `' G) -> ((rec(F, A) o. `'G)` B) = (rec(F, A)` (`'G` B)))
16	9, 14, 15	mp3an12 906	. 2 |- (B e. dom `' G -> ((rec(F, A) o. `'G)` B) = (rec(F, A)` (`'G` B)))
17	6, 16	sylbi 199	1 |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> ((rec(F, A) o. `'G)` B) = (rec(F, A)` (`'G` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  {crab 1648   class class class wbr 2619  {copab 2666  Oncon0 2948  omcom 3131  `'ccnv 3169  dom cdm 3170  ran crn 3171   |` cres 3172   o. ccom 3174  Fun wfun 3176   Fn wfn 3177  -1-1-onto->wf1o 3181  ` cfv 3182  reccrdg 3931  (class class class)co 3963  1c1 5235   + caddc 5237   <_ cle 5295  ZZcz 5298

This theorem is referenced by:  uzrdgini 6303  uzrdgsuc 6304

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136

Copyright terms: Public domain