MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzss Unicode version

Theorem uzss 10264
Description: Subset relationship for two sets of upper integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uzss  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )

Proof of Theorem uzss
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzle 10256 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
21adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ZZ )  ->  M  <_  N )
3 eluzel2 10251 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
4 eluzelz 10254 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
53, 4jca 518 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
6 zre 10044 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
7 zre 10044 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
8 zre 10044 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  RR )
9 letr 8930 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  (
( M  <_  N  /\  N  <_  k )  ->  M  <_  k
) )
106, 7, 8, 9syl3an 1224 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  N  /\  N  <_  k )  ->  M  <_  k
) )
11103expa 1151 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  N  /\  N  <_  k )  ->  M  <_  k ) )
125, 11sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  N  /\  N  <_  k )  ->  M  <_  k
) )
132, 12mpand 656 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  k  ->  M  <_  k ) )
1413imdistanda 674 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )  -> 
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k )
) )
15 eluz1 10250 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  N  <_ 
k ) ) )
164, 15syl 15 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  N  <_  k ) ) )
17 eluz1 10250 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k ) ) )
183, 17syl 15 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k ) ) )
1914, 16, 183imtr4d 259 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M ) ) )
2019ssrdv 3198 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   RRcr 8752    <_ cle 8884   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246
This theorem is referenced by:  uzin  10276  uznnssnn  10282  fzopth  10844  fzouzsplit  10917  seqfeq2  11085  rexuzre  11852  cau3lem  11854  climsup  12159  isumsplit  12315  isumrpcl  12318  cvgrat  12355  isprm3  12783  pcfac  12963  lmflf  17716  caucfil  18725  uniioombllem4  18957  mbflimsup  19037  ulmres  19783  ulmcaulem  19787  logfaclbnd  20477  lmxrge0  23390  rnlogblem  23416  axlowdimlem17  24658  axlowdim  24661  climinf  27835  climsuse  27837  4fvwrd4  28220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247
  Copyright terms: Public domain W3C validator