MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzss Unicode version

Theorem uzss 10440
Description: Subset relationship for two sets of upper integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uzss  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )

Proof of Theorem uzss
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzle 10432 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
21adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ZZ )  ->  M  <_  N )
3 eluzel2 10427 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
4 eluzelz 10430 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
53, 4jca 519 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
6 zre 10220 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
7 zre 10220 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
8 zre 10220 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  RR )
9 letr 9102 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  (
( M  <_  N  /\  N  <_  k )  ->  M  <_  k
) )
106, 7, 8, 9syl3an 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  N  /\  N  <_  k )  ->  M  <_  k
) )
11103expa 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  N  /\  N  <_  k )  ->  M  <_  k ) )
125, 11sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  N  /\  N  <_  k )  ->  M  <_  k
) )
132, 12mpand 657 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  k  ->  M  <_  k ) )
1413imdistanda 675 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )  -> 
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k )
) )
15 eluz1 10426 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  N  <_ 
k ) ) )
164, 15syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  N  <_  k ) ) )
17 eluz1 10426 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k ) ) )
183, 17syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k ) ) )
1914, 16, 183imtr4d 260 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M ) ) )
2019ssrdv 3299 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717    C_ wss 3265   class class class wbr 4155   ` cfv 5396   RRcr 8924    <_ cle 9056   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422
This theorem is referenced by:  uzin  10452  uznnssnn  10458  fzopth  11023  4fvwrd4  11053  fzouzsplit  11100  seqfeq2  11275  rexuzre  12085  cau3lem  12087  climsup  12392  isumsplit  12549  isumrpcl  12552  cvgrat  12589  isprm3  13017  pcfac  13197  lmflf  17960  caucfil  19109  uniioombllem4  19347  mbflimsup  19427  ulmres  20173  ulmcaulem  20179  logfaclbnd  20875  rnlogblem  24197  clim2prod  24997  fprodntriv  25049  axlowdimlem17  25613  axlowdim  25616  climinf  27402  climsuse  27404
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-neg 9228  df-z 10217  df-uz 10423
  Copyright terms: Public domain W3C validator