MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzss Structured version   Unicode version

Theorem uzss 10496
Description: Subset relationship for two sets of upper integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uzss  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )

Proof of Theorem uzss
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzle 10488 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
21adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ZZ )  ->  M  <_  N )
3 eluzel2 10483 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
4 eluzelz 10486 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
53, 4jca 519 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
6 zre 10276 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
7 zre 10276 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
8 zre 10276 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  RR )
9 letr 9157 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  (
( M  <_  N  /\  N  <_  k )  ->  M  <_  k
) )
106, 7, 8, 9syl3an 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  N  /\  N  <_  k )  ->  M  <_  k
) )
11103expa 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  N  /\  N  <_  k )  ->  M  <_  k ) )
125, 11sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  N  /\  N  <_  k )  ->  M  <_  k
) )
132, 12mpand 657 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  k  ->  M  <_  k ) )
1413imdistanda 675 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  /\  N  <_  k )  -> 
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k )
) )
15 eluz1 10482 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  N  <_ 
k ) ) )
164, 15syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  N  <_  k ) ) )
17 eluz1 10482 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k ) ) )
183, 17syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k ) ) )
1914, 16, 183imtr4d 260 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M ) ) )
2019ssrdv 3346 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   RRcr 8979    <_ cle 9111   ZZcz 10272   ZZ>=cuz 10478
This theorem is referenced by:  uzin  10508  uznnssnn  10514  fzopth  11079  4fvwrd4  11111  fzouzsplit  11158  seqfeq2  11336  rexuzre  12146  cau3lem  12148  climsup  12453  isumsplit  12610  isumrpcl  12613  cvgrat  12650  isprm3  13078  pcfac  13258  lmflf  18027  caucfil  19226  uniioombllem4  19468  mbflimsup  19548  ulmres  20294  ulmcaulem  20300  logfaclbnd  20996  rnlogblem  24389  clim2prod  25206  fprodntriv  25258  axlowdimlem17  25862  axlowdim  25865  climinf  27663  climsuse  27665
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-neg 9284  df-z 10273  df-uz 10479
  Copyright terms: Public domain W3C validator