Theorem uzssz 6370

Description: A set of upper integers is a subset of all integers.

Assertion

Ref	Expression
uzssz	|- (ZZ>` M) (_ ZZ

Proof of Theorem uzssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzvalt 6359	. . 3 |- (M e. ZZ -> (ZZ>` M) = {k e. ZZ | M <_ k})
2		ssrab2 2127	. . . 4 |- {k e. ZZ | M <_ k} (_ ZZ
3	2	a1i 8	. . 3 |- (M e. ZZ -> {k e. ZZ | M <_ k} (_ ZZ)
4	1, 3	eqsstrd 2091	. 2 |- (M e. ZZ -> (ZZ>` M) (_ ZZ)
5		df-uz 6358	. . . . . . . 8 |- ZZ> = {<.j, y>. | (j e. ZZ /\ y = {k e. ZZ | j <_ k})}
6	5	dmeqi 3307	. . . . . . 7 |- dom ZZ> = dom {<.j, y>. | (j e. ZZ /\ y = {k e. ZZ | j <_ k})}
7		dmopabss 3316	. . . . . . 7 |- dom {<.j, y>. | (j e. ZZ /\ y = {k e. ZZ | j <_ k})} (_ ZZ
8	6, 7	eqsstr 2087	. . . . . 6 |- dom ZZ> (_ ZZ
9	8	sseli 2061	. . . . 5 |- (M e. dom ZZ> -> M e. ZZ)
10	9	con3i 98	. . . 4 |- (-. M e. ZZ -> -. M e. dom ZZ>)
11		ndmfv 3736	. . . 4 |- (-. M e. dom ZZ> -> (ZZ>` M) = (/))
12	10, 11	syl 10	. . 3 |- (-. M e. ZZ -> (ZZ>` M) = (/))
13		0ss 2297	. . . 4 |- (/) (_ ZZ
14	13	a1i 8	. . 3 |- (-. M e. ZZ -> (/) (_ ZZ)
15	12, 14	eqsstrd 2091	. 2 |- (-. M e. ZZ -> (ZZ>` M) (_ ZZ)
16	4, 15	pm2.61i 126	1 |- (ZZ>` M) (_ ZZ

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  {crab 1645   (_ wss 2043  (/)c0 2276   class class class wbr 2614  {copab 2661  dom cdm 3165  ` cfv 3177   <_ cle 5275  ZZcz 5278  ZZ>cuz 6357

This theorem is referenced by:  uzwo 6395  uzwoOLD 6396  uzwo2 6397  uzinfm 6402  infmssuzle 6405  infmssuzcl 6406  seqzfn 6479  cau5 6864  cvganuz 6870  clmi1 7032  clm4at 7036  climconst 7039  climunii 7043  climshft 7049  climres 7050  climshft2 7051  climuz0 7053  climaddlem3 7060  climmullem8 7071  serzf0 7113  ser1f0 7114  lmbr2 7881  lmbrf 7882  iscau3 7890  iscauf 7891

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-enr 5146  df-nr 5147  df-0r 5151  df-c 5220  df-r 5224  df-neg 5338  df-z 6091  df-uz 6358

Copyright terms: Public domain