MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uztric Unicode version

Theorem uztric 10440
Description: Totality of the ordering relation on integers, stated in terms of upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
uztric  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  \/  M  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )

Proof of Theorem uztric
StepHypRef Expression
1 zre 10219 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
2 zre 10219 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
3 letric 9108 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  \/  N  <_  M ) )
41, 2, 3syl2an 464 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  \/  N  <_  M ) )
5 eluz 10432 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
6 eluz 10432 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  N )  <->  N  <_  M ) )
76ancoms 440 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  N )  <->  N  <_  M ) )
85, 7orbi12d 691 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  \/  M  e.  ( ZZ>=
`  N ) )  <-> 
( M  <_  N  \/  N  <_  M ) ) )
94, 8mpbird 224 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  \/  M  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    e. wcel 1717   class class class wbr 4154   ` cfv 5395   RRcr 8923    <_ cle 9055   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421
This theorem is referenced by:  uzin  10451  caubnd  12090  isercoll  12389  sumrb  12435  smupvallem  12923  prmreclem5  13216  efgredlemb  15306  1stckgenlem  17507  caucfil  19108  bcmax  20930  prodrb  25038
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-pre-lttri 8998
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-neg 9227  df-z 10216  df-uz 10422
  Copyright terms: Public domain W3C validator