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Theorem uzwo3 10190
Description: Well-ordering principle: any non-empty subset of upper integers has a unique least element. This generalization of uzwo2 10162 allows the lower bound  B to be any real number. See also nnwo 10163 and nnwos 10165. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
uzwo3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z

Proof of Theorem uzwo3
StepHypRef Expression
1 renegcl 8990 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
21adantr 453 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  -u B  e.  RR )
3 arch 9841 . . 3  |-  ( -u B  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  -u B  <  n )
42, 3syl 17 . 2  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  E. n  e.  NN  -u B  <  n )
5 simplrl 739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z } )
6 simplrl 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  n  e.  NN )
7 nnnegz 9906 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  -u n  e.  ZZ )
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u n  e.  ZZ )
98zred 9996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u n  e.  RR )
10 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  -> 
z  e.  ZZ )
1110zred 9996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  -> 
z  e.  RR )
12 simpll 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  B  e.  RR )
136nnred 9641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  n  e.  RR )
14 simplrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u B  <  n )
1512, 13, 14ltnegcon1d 9232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u n  <  B )
16 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  B  <_  z )
179, 12, 11, 15, 16ltletrd 8856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u n  <  z )
189, 11, 17ltled 8847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u n  <_  z )
19 eluz 10120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u n  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  e.  ( ZZ>= `  -u n )  <->  -u n  <_  z ) )
208, 10, 19syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  -> 
( z  e.  (
ZZ>= `  -u n )  <->  -u n  <_ 
z ) )
2118, 20mpbird 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  -> 
z  e.  ( ZZ>= `  -u n ) )
2221expr 601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  z  ->  z  e.  ( ZZ>= `  -u n ) ) )
2322ralrimiva 2588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A. z  e.  ZZ  ( B  <_ 
z  ->  z  e.  ( ZZ>= `  -u n ) ) )
24 rabss 3171 . . . . . . . . 9  |-  ( { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  C_  ( ZZ>= `  -u n )  <->  A. z  e.  ZZ  ( B  <_  z  -> 
z  e.  ( ZZ>= `  -u n ) ) )
2523, 24sylibr 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  C_  ( ZZ>=
`  -u n ) )
2625adantlr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  C_  ( ZZ>=
`  -u n ) )
275, 26sstrd 3110 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  -u n ) )
28 simplrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A  =/=  (/) )
29 infmssuzcl 10180 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  -u n )  /\  A  =/=  (/) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  A
)
3027, 28, 29syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  A
)
31 infmssuzle 10179 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  -u n )  /\  y  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  y
)
3227, 31sylan 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  y  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  y
)
3332ralrimiva 2588 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A. y  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  y
)
3430adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  A )
35 simprr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  A. y  e.  A  x  <_  y )
36 breq2 3924 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( x  <_  y  <->  x  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3736rcla4v 2817 . . . . . . . . 9  |-  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  x  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3834, 35, 37sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  x  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
3927adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  -u n
) )
40 simprl 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  x  e.  A )
41 infmssuzle 10179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  -u n )  /\  x  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
4239, 40, 41syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
43 uzssz 10126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= `  -u n )  C_  ZZ
44 zssre 9910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  C_  RR
4543, 44sstri 3109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  -u n )  C_  RR
4627, 45syl6ss 3112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A  C_  RR )
4746adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  A  C_  RR )
4847, 40sseldd 3104 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  x  e.  RR )
4946, 30sseldd 3104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
5049adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
5148, 50letri3d 8841 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  -> 
( x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  ( x  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
) )
5238, 42, 51mpbir2and 893 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
5352expr 601 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
5453ralrimiva 2588 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
55 breq1 3923 . . . . . . 7  |-  ( x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( x  <_  y  <->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  y ) )
5655ralbidv 2527 . . . . . 6  |-  ( x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  <->  A. y  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
y ) )
5756eqreu 2896 . . . . 5  |-  ( ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  A  /\  A. y  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  y  /\  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
5830, 33, 54, 57syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
5958expr 601 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u B  < 
n  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
6059rexlimdva 2629 . 2  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  -> 
( E. n  e.  NN  -u B  <  n  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
614, 60mpd 16 1  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   E.wrex 2510   E!wreu 2511   {crab 2512    C_ wss 3078   (/)c0 3362   class class class wbr 3920   `'ccnv 4579   ` cfv 4592   supcsup 7077   RRcr 8616    < clt 8747    <_ cle 8748   -ucneg 8918   NNcn 9626   ZZcz 9903   ZZ>=cuz 10109
This theorem is referenced by:  zmin  10191
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110
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