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Theorem uzwo3 10327
Description: Well-ordering principle: any non-empty subset of upper integers has a unique least element. This generalization of uzwo2 10299 allows the lower bound  B to be any real number. See also nnwo 10300 and nnwos 10302. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
uzwo3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z

Proof of Theorem uzwo3
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 9126 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
21adantr 451 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  -u B  e.  RR )
3 arch 9978 . . 3  |-  ( -u B  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  -u B  <  n )
42, 3syl 15 . 2  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  E. n  e.  NN  -u B  <  n )
5 simplrl 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z } )
6 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  n  e.  NN )
7 nnnegz 10043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  -u n  e.  ZZ )
86, 7syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u n  e.  ZZ )
98zred 10133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u n  e.  RR )
10 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  -> 
z  e.  ZZ )
1110zred 10133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  -> 
z  e.  RR )
12 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  B  e.  RR )
136nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  n  e.  RR )
14 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u B  <  n )
1512, 13, 14ltnegcon1d 9368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u n  <  B )
16 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  B  <_  z )
179, 12, 11, 15, 16ltletrd 8992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u n  <  z )
189, 11, 17ltled 8983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  ->  -u n  <_  z )
19 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u n  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  e.  ( ZZ>= `  -u n )  <->  -u n  <_  z ) )
208, 10, 19syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  -> 
( z  e.  (
ZZ>= `  -u n )  <->  -u n  <_ 
z ) )
2118, 20mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  B  <_  z ) )  -> 
z  e.  ( ZZ>= `  -u n ) )
2221expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  z  ->  z  e.  ( ZZ>= `  -u n ) ) )
2322ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A. z  e.  ZZ  ( B  <_ 
z  ->  z  e.  ( ZZ>= `  -u n ) ) )
24 rabss 3263 . . . . . . . . 9  |-  ( { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  C_  ( ZZ>= `  -u n )  <->  A. z  e.  ZZ  ( B  <_  z  -> 
z  e.  ( ZZ>= `  -u n ) ) )
2523, 24sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  C_  ( ZZ>=
`  -u n ) )
2625adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  C_  ( ZZ>=
`  -u n ) )
275, 26sstrd 3202 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  -u n ) )
28 simplrr 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A  =/=  (/) )
29 infmssuzcl 10317 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  -u n )  /\  A  =/=  (/) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  A
)
3027, 28, 29syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  A
)
31 infmssuzle 10316 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  -u n )  /\  y  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  y
)
3227, 31sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  y  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  y
)
3332ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A. y  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  y
)
3430adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  A )
35 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  A. y  e.  A  x  <_  y )
36 breq2 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( x  <_  y  <->  x  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3736rspcv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  x  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3834, 35, 37sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  x  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
3927adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  -u n
) )
40 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  x  e.  A )
41 infmssuzle 10316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  -u n )  /\  x  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
4239, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
43 uzssz 10263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= `  -u n )  C_  ZZ
44 zssre 10047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  C_  RR
4543, 44sstri 3201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  -u n )  C_  RR
4627, 45syl6ss 3204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A  C_  RR )
4746adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  A  C_  RR )
4847, 40sseldd 3194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  x  e.  RR )
4946, 30sseldd 3194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
5049adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
5148, 50letri3d 8977 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  -> 
( x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  ( x  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
) )
5238, 42, 51mpbir2and 888 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
5352expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A 
C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_ 
z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
5453ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
55 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( x  <_  y  <->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  y ) )
5655ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  <->  A. y  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
y ) )
5756eqreu 2970 . . . . 5  |-  ( ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  A  /\  A. y  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  y  /\  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  x  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
5830, 33, 54, 57syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  -u B  <  n ) )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
5958expr 598 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u B  < 
n  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
6059rexlimdva 2680 . 2  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  -> 
( E. n  e.  NN  -u B  <  n  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
614, 60mpd 14 1  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  C_  { z  e.  ZZ  |  B  <_  z }  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   E!wreu 2558   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   ` cfv 5271   supcsup 7209   RRcr 8752    < clt 8883    <_ cle 8884   -ucneg 9054   NNcn 9762   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246
This theorem is referenced by:  zmin  10328
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247
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