Theorem uzwo3lem2 6217

Description: Lemma for uzwo3 6218.

Hypotheses

Ref	Expression
uzwo3lem.1	|- R = {z e. ZZ | B <_ z}
uzwo3lem.2	|- S = U.{w e. R | A.v e. R w <_ v}

Assertion

Ref	Expression
uzwo3lem2	|- ((B e. RR /\ (A (_ R /\ A =/= (/))) -> E!x e. A A.y e. A x <_ y)

Distinct variable groups:   z,v,B   x,y,v,R   y,z,x,w,v   x,A,y   y,S   w,R

Proof of Theorem uzwo3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 2071	. . . 4 |- (A (_ R -> (R (_ {t e. ZZ | S <_ t} -> A (_ {t e. ZZ | S <_ t}))
2		breq2 2623	. . . . . . . . . . 11 |- (y = t -> (S <_ y <-> S <_ t))
3	2	rcla4v 1873	. . . . . . . . . 10 |- (t e. R -> (A.y e. R S <_ y -> S <_ t))
4		uzwo3lem.1	. . . . . . . . . . . 12 |- R = {z e. ZZ | B <_ z}
5	4	uzwo3lem1 6216	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. RR -> E!x e. R A.y e. R x <_ y)
6		breq1 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = w -> (x <_ y <-> w <_ y))
7	6	ralbidv 1663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = w -> (A.y e. R x <_ y <-> A.y e. R w <_ y))
8		breq2 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = v -> (w <_ y <-> w <_ v))
9	8	cbvralv 1800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.y e. R w <_ y <-> A.v e. R w <_ v)
10	7, 9	syl6bb 536	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = w -> (A.y e. R x <_ y <-> A.v e. R w <_ v))
11		breq1 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = U.{w e. R | A.v e. R w <_ v} -> (x <_ y <-> U.{w e. R | A.v e. R w <_ v} <_ y))
12	11	ralbidv 1663	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = U.{w e. R | A.v e. R w <_ v} -> (A.y e. R x <_ y <-> A.y e. R U.{w e. R | A.v e. R w <_ v} <_ y))
13	10, 12	reuuni3 2886	. . . . . . . . . . . 12 |- (E!x e. R A.y e. R x <_ y -> A.y e. R U.{w e. R | A.v e. R w <_ v} <_ y)
14		uzwo3lem.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S = U.{w e. R | A.v e. R w <_ v}
15	14	breq1i 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- (S <_ y <-> U.{w e. R | A.v e. R w <_ v} <_ y)
16	15	ralbii 1667	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y e. R S <_ y <-> A.y e. R U.{w e. R | A.v e. R w <_ v} <_ y)
17	13, 16	sylibr 200	. . . . . . . . . . 11 |- (E!x e. R A.y e. R x <_ y -> A.y e. R S <_ y)
18	5, 17	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (B e. RR -> A.y e. R S <_ y)
19	3, 18	syl5com 52	. . . . . . . . 9 |- (B e. RR -> (t e. R -> S <_ t))
20		breq2 2623	. . . . . . . . . 10 |- (z = t -> (B <_ z <-> B <_ t))
21	20, 4	elrab2 1907	. . . . . . . . 9 |- (t e. R <-> (t e. ZZ /\ B <_ t))
22	19, 21	syl5ibr 207	. . . . . . . 8 |- (B e. RR -> ((t e. ZZ /\ B <_ t) -> S <_ t))
23	22	exp3a 375	. . . . . . 7 |- (B e. RR -> (t e. ZZ -> (B <_ t -> S <_ t)))
24	23	r19.21aiv 1713	. . . . . 6 |- (B e. RR -> A.t e. ZZ (B <_ t -> S <_ t))
25		ss2rab 2123	. . . . . 6 |- ({t e. ZZ | B <_ t} (_ {t e. ZZ | S <_ t} <-> A.t e. ZZ (B <_ t -> S <_ t))
26	24, 25	sylibr 200	. . . . 5 |- (B e. RR -> {t e. ZZ | B <_ t} (_ {t e. ZZ | S <_ t})
27	20	cbvrabv 1911	. . . . . 6 |- {z e. ZZ | B <_ z} = {t e. ZZ | B <_ t}
28	4, 27	eqtr 1495	. . . . 5 |- R = {t e. ZZ | B <_ t}
29	26, 28	syl5ss 2105	. . . 4 |- (B e. RR -> R (_ {t e. ZZ | S <_ t})
30	1, 29	syl5com 52	. . 3 |- (B e. RR -> (A (_ R -> A (_ {t e. ZZ | S <_ t}))
31	4	uzwo3lem1 6216	. . . . . 6 |- (B e. RR -> E!w e. R A.v e. R w <_ v)
32		reucl 2885	. . . . . 6 |- (E!w e. R A.v e. R w <_ v -> U.{w e. R | A.v e. R w <_ v} e. R)
33	31, 32	syl 10	. . . . 5 |- (B e. RR -> U.{w e. R | A.v e. R w <_ v} e. R)
34	33, 14	syl5eqel 1552	. . . 4 |- (B e. RR -> S e. R)
35		breq2 2623	. . . . . 6 |- (t = S -> (B <_ t <-> B <_ S))
36	35, 28	elrab2 1907	. . . . 5 |- (S e. R <-> (S e. ZZ /\ B <_ S))
37	36	pm3.26bi 322	. . . 4 |- (S e. R -> S e. ZZ)
38		uzwo5OLD 6211	. . . . 5 |- ((S e. ZZ /\ (A (_ {t e. ZZ | S <_ t} /\ A =/= (/))) -> E!x e. A A.y e. A x <_ y)
39	38	exp32 377	. . . 4 |- (S e. ZZ -> (A (_ {t e. ZZ | S <_ t} -> (A =/= (/) -> E!x e. A A.y e. A x <_ y)))
40	34, 37, 39	3syl 20	. . 3 |- (B e. RR -> (A (_ {t e. ZZ | S <_ t} -> (A =/= (/) -> E!x e. A A.y e. A x <_ y)))
41	30, 40	syld 27	. 2 |- (B e. RR -> (A (_ R -> (A =/= (/) -> E!x e. A A.y e. A x <_ y)))
42	41	imp32 363	1 |- ((B e. RR /\ (A (_ R /\ A =/= (/))) -> E!x e. A A.y e. A x <_ y)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645  E!wreu 1647  {crab 1648   (_ wss 2047  (/)c0 2280  U.cuni 2503   class class class wbr 2619  RRcr 5233   <_ cle 5295  ZZcz 5298

This theorem is referenced by:  uzwo3 6218

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136

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