Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vc0 Structured version   Unicode version

Theorem vc0 22040
 Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vc0.1
vc0.2
vc0.3
vc0.4 GId
Assertion
Ref Expression
vc0

Proof of Theorem vc0
StepHypRef Expression
1 vc0.1 . . . 4
2 vc0.3 . . . 4
3 vc0.4 . . . 4 GId
41, 2, 3vc0rid 22038 . . 3
5 ax-1cn 9040 . . . . . 6
65addid1i 9245 . . . . 5
76oveq1i 6083 . . . 4
8 0cn 9076 . . . . 5
9 vc0.2 . . . . . . 7
101, 9, 2vcdir 22024 . . . . . 6
115, 10mp3anr1 1276 . . . . 5
128, 11mpanr1 665 . . . 4
131, 9, 2vcid 22022 . . . 4
147, 12, 133eqtr3a 2491 . . 3
1513oveq1d 6088 . . 3
164, 14, 153eqtr2rd 2474 . 2
171, 9, 2vccl 22021 . . . . 5
188, 17mp3an2 1267 . . . 4
191, 2, 3vczcl 22037 . . . . 5
2019adantr 452 . . . 4
21 simpr 448 . . . 4
2218, 20, 213jca 1134 . . 3
231, 2vclcan 22036 . . 3
2422, 23syldan 457 . 2
2516, 24mpbid 202 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   crn 4871  cfv 5446  (class class class)co 6073  c1st 6339  c2nd 6340  cc 8980  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985  GIdcgi 21767  cvc 22016 This theorem is referenced by:  vcz  22041  vcm  22042  nv0  22110 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-ltxr 9117  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-ablo 21862  df-vc 22017
 Copyright terms: Public domain W3C validator