Theorem vcgrp 8177

Description: Vector addition is a group operation.

Hypothesis

Ref	Expression
vcabl.1	|- G = (1st` W)

Assertion

Ref	Expression
vcgrp	|- (W e. CVec -> G e. Grp)

Proof of Theorem vcgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vcabl.1	. . 3 |- G = (1st` W)
2	1	vcabl 8176	. 2 |- (W e. CVec -> G e. Abel)
3		ablgrp 8102	. 2 |- (G e. Abel -> G e. Grp)
4	2, 3	syl 10	1 |- (W e. CVec -> G e. Grp)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  1stc1st 4077  Grpcgr 8033  Abelcabl 8099  CVeccvc 8164

This theorem is referenced by:  vcgcl 8178  vcaass 8180  vcrcan 8183  vclcan 8184  vczcl 8185  vc0rid 8186  vc0lid 8187  vcm 8190  vcrinv 8191  vclinv 8192  vcoprne 8198

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-abl 8100  df-vc 8165

Copyright terms: Public domain