Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vcm Unicode version

Theorem vcm 21073
 Description: Minus 1 times a vector is the underlying group's inverse element. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 25-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vcm.1
vcm.2
vcm.3
vcm.4
Assertion
Ref Expression
vcm

Proof of Theorem vcm
StepHypRef Expression
1 vcm.1 . . . . 5
21vcgrp 21060 . . . 4
4 neg1cn 9767 . . . 4
5 vcm.2 . . . . 5
6 vcm.3 . . . . 5
71, 5, 6vccl 21052 . . . 4
84, 7mp3an2 1270 . . 3
9 eqid 2256 . . . 4 GId GId
106, 9grporid 20833 . . 3 GId
113, 8, 10syl2anc 645 . 2 GId
12 simpr 449 . . . . . 6
13 vcm.4 . . . . . . . 8
146, 13grpoinvcl 20839 . . . . . . 7
152, 14sylan 459 . . . . . 6
166grpoass 20816 . . . . . 6
173, 8, 12, 15, 16syl13anc 1189 . . . . 5
181, 5, 6vcid 21053 . . . . . . . 8
1918oveq2d 5794 . . . . . . 7
20 ax-1cn 8749 . . . . . . . . . 10
2120negidi 9069 . . . . . . . . . 10
2220, 4, 21addcomli 8958 . . . . . . . . 9
2322oveq1i 5788 . . . . . . . 8
241, 5, 6vcdir 21055 . . . . . . . . . 10
254, 24mp3anr1 1279 . . . . . . . . 9
2620, 25mpanr1 667 . . . . . . . 8
271, 5, 6, 9vc0 21071 . . . . . . . 8 GId
2823, 26, 273eqtr3a 2312 . . . . . . 7 GId
2919, 28eqtr3d 2290 . . . . . 6 GId
3029oveq1d 5793 . . . . 5 GId
3117, 30eqtr3d 2290 . . . 4 GId
326, 9, 13grporinv 20842 . . . . . 6 GId
332, 32sylan 459 . . . . 5 GId
3433oveq2d 5794 . . . 4 GId
3531, 34eqtr3d 2290 . . 3 GId GId
366, 9grpolid 20832 . . . 4 GId
373, 15, 36syl2anc 645 . . 3 GId
3835, 37eqtr3d 2290 . 2 GId
3911, 38eqtr3d 2290 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   crn 4648  cfv 4659  (class class class)co 5778  c1st 6040  c2nd 6041  cc 8689  cc0 8691  c1 8692   caddc 8694  cneg 8992  cgr 20799  GIdcgi 20800  cgn 20801  cvc 21047 This theorem is referenced by:  vcrinv  21074  vclinv  21075  nvinv  21143 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-ltxr 8826  df-sub 8993  df-neg 8994  df-grpo 20804  df-gid 20805  df-ginv 20806  df-ablo 20895  df-vc 21048
 Copyright terms: Public domain W3C validator