Theorem vcm 8142

Description: Minus 1 times a vector is the underlying group's inverse element. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51.

Hypotheses

Ref	Expression
vcm.1	|- G = (1st` W)
vcm.2	|- S = (2nd` W)
vcm.3	|- X = ran G
vcm.4	|- M = (inv` G)

Assertion

Ref	Expression
vcm	|- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (-u1SA) = (M` A))

Proof of Theorem vcm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vcm.3	. . . . 5 |- X = ran G
2	1	grpass 7997	. . . 4 |- ((G e. Grp /\ ((-u1SA) e. X /\ A e. X /\ (M` A) e. X)) -> (((-u1SA)GA)G(M` A)) = ((-u1SA)G(AG(M` A))))
3		vcm.1	. . . . . 6 |- G = (1st` W)
4	3	vcgrp 8129	. . . . 5 |- (W e. CVec -> G e. Grp)
5	4	adantr 389	. . . 4 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> G e. Grp)
6		ax1cn 5249	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
7	6	negcl 5349	. . . . . 6 |- -u1 e. CC
8		vcm.2	. . . . . . 7 |- S = (2nd` W)
9	3, 8, 1	vccl 8121	. . . . . 6 |- ((W e. CVec /\ -u1 e. CC /\ A e. X) -> (-u1SA) e. X)
10	7, 9	mp3an2 902	. . . . 5 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (-u1SA) e. X)
11		pm3.27 323	. . . . 5 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> A e. X)
12		vcm.4	. . . . . . 7 |- M = (inv` G)
13	1, 12	grpinvcl 8018	. . . . . 6 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (M` A) e. X)
14	13, 4	sylan 448	. . . . 5 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (M` A) e. X)
15	10, 11, 14	3jca 818	. . . 4 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1SA) e. X /\ A e. X /\ (M` A) e. X))
16	2, 5, 15	sylanc 471	. . 3 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (((-u1SA)GA)G(M` A)) = ((-u1SA)G(AG(M` A))))
17	3, 8, 1	vcid 8122	. . . . . 6 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (1SA) = A)
18	17	opreq2d 3967	. . . . 5 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1SA)G(1SA)) = ((-u1SA)GA))
19	7, 6	addcom 5302	. . . . . . . . 9 |- (-u1 + 1) = (1 + -u1)
20	6	negid 5360	. . . . . . . . 9 |- (1 + -u1) = 0
21	19, 20	eqtr 1492	. . . . . . . 8 |- (-u1 + 1) = 0
22	21	opreq1i 3962	. . . . . . 7 |- ((-u1 + 1)SA) = (0SA)
23	22	a1i 8	. . . . . 6 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1 + 1)SA) = (0SA))
24	3, 8, 1	vcdir 8124	. . . . . . . 8 |- ((W e. CVec /\ (-u1 e. CC /\ 1 e. CC /\ A e. X)) -> ((-u1 + 1)SA) = ((-u1SA)G(1SA)))
25	7, 24	mp3anr1 911	. . . . . . 7 |- ((W e. CVec /\ (1 e. CC /\ A e. X)) -> ((-u1 + 1)SA) = ((-u1SA)G(1SA)))
26	6, 25	mpanr1 708	. . . . . 6 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1 + 1)SA) = ((-u1SA)G(1SA)))
27		eqid 1473	. . . . . . 7 |- (Id` G) = (Id` G)
28	3, 8, 1, 27	vc0 8140	. . . . . 6 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (0SA) = (Id` G))
29	23, 26, 28	3eqtr3d 1512	. . . . 5 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1SA)G(1SA)) = (Id` G))
30	18, 29	eqtr3d 1506	. . . 4 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1SA)GA) = (Id` G))
31	30	opreq1d 3966	. . 3 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (((-u1SA)GA)G(M` A)) = ((Id` G)G(M` A)))
32	1, 27, 12	grprinv 8021	. . . . 5 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (AG(M` A)) = (Id` G))
33	32, 4	sylan 448	. . . 4 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (AG(M` A)) = (Id` G))
34	33	opreq2d 3967	. . 3 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1SA)G(AG(M` A))) = ((-u1SA)G(Id` G)))
35	16, 31, 34	3eqtr3d 1512	. 2 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((Id` G)G(M` A)) = ((-u1SA)G(Id` G)))
36	1, 27	grplid 8011	. . 3 |- ((G e. Grp /\ (M` A) e. X) -> ((Id` G)G(M` A)) = (M` A))
37	36, 5, 14	sylanc 471	. 2 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((Id` G)G(M` A)) = (M` A))
38	1, 27	grprid 8012	. . 3 |- ((G e. Grp /\ (-u1SA) e. X) -> ((-u1SA)G(Id` G)) = (-u1SA))
39	38, 5, 10	sylanc 471	. 2 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1SA)G(Id` G)) = (-u1SA))
40	35, 37, 39	3eqtr3rd 1513	1 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (-u1SA) = (M` A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  ran crn 3166  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  1stc1st 4067  2ndc2nd 4068  CCcc 5212  0cc0 5214  1c1 5215   + caddc 5217  -ucneg 5273  Grpcgr 7983  Idcgi 7984  invcgn 7985  CVeccvc 8116

This theorem is referenced by:  vcrinv 8143  vclinv 8144  nvinv 8212

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fo 3191  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-sub 5336  df-neg 5338  df-grp 7987  df-gid 7988  df-ginv 7989  df-abl 8051  df-vc 8117

Copyright terms: Public domain