MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgr0 Structured version   Unicode version

Theorem vdgr0 21671
Description: The degree of a vertex in an empty graph is zero, because there are no edges. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdgr0  |-  ( ( V  e.  W  /\  U  e.  V )  ->  ( ( V VDeg  (/) ) `  U )  =  0 )

Proof of Theorem vdgr0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 20 . . . 4  |-  ( V  e.  W  ->  V  e.  W )
2 f0 5627 . . . . 5  |-  (/) : (/) --> (/)
3 ffn 5591 . . . . 5  |-  ( (/) :
(/) --> (/)  ->  (/)  Fn  (/) )
42, 3mp1i 12 . . . 4  |-  ( V  e.  W  ->  (/)  Fn  (/) )
5 0ex 4339 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
65a1i 11 . . . 4  |-  ( V  e.  W  ->  (/)  e.  _V )
71, 4, 63jca 1134 . . 3  |-  ( V  e.  W  ->  ( V  e.  W  /\  (/) 
Fn  (/)  /\  (/)  e.  _V ) )
8 vdgrval 21667 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  (/)  Fn  (/)  /\  (/)  e.  _V )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg 
(/) ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) } ) + e
( # `  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } } ) ) )
97, 8sylan 458 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  U  e.  V )  ->  ( ( V VDeg  (/) ) `  U )  =  ( ( # `  {
x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) } ) + e
( # `  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } } ) ) )
10 rab0 3648 . . . . . . 7  |-  { x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) }  =  (/)
1110fveq2i 5731 . . . . . 6  |-  ( # `  { x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) } )  =  ( # `  (/) )
12 hash0 11646 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
1311, 12eqtri 2456 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) } )  =  0
14 rab0 3648 . . . . . . 7  |-  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } }  =  (/)
1514fveq2i 5731 . . . . . 6  |-  ( # `  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } } )  =  (
# `  (/) )
1615, 12eqtri 2456 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } } )  =  0
1713, 16oveq12i 6093 . . . 4  |-  ( (
# `  { x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) } ) + e
( # `  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } } ) )  =  ( 0 + e 0 )
18 0re 9091 . . . . 5  |-  0  e.  RR
19 rexadd 10818 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( 0 + e
0 )  =  ( 0  +  0 ) )
2018, 18, 19mp2an 654 . . . 4  |-  ( 0 + e 0 )  =  ( 0  +  0 )
2117, 20eqtri 2456 . . 3  |-  ( (
# `  { x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) } ) + e
( # `  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } } ) )  =  ( 0  +  0 )
22 00id 9241 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2321, 22eqtri 2456 . 2  |-  ( (
# `  { x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) } ) + e
( # `  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } } ) )  =  0
249, 23syl6eq 2484 1  |-  ( ( V  e.  W  /\  U  e.  V )  ->  ( ( V VDeg  (/) ) `  U )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709   _Vcvv 2956   (/)c0 3628   {csn 3814    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990    + caddc 8993   + ecxad 10708   #chash 11618   VDeg cvdg 21664
This theorem is referenced by:  eupath2  21702  vdeg0i  21704  0egra0rgra  28375  vdfrgra0  28412  vdgfrgra0  28413
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-xadd 10711  df-fz 11044  df-hash 11619  df-vdgr 21665
  Copyright terms: Public domain W3C validator