MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgr0 Unicode version

Theorem vdgr0 21512
Description: The degree of a vertex in an empty graph is zero, because there are no edges. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdgr0  |-  ( ( V  e.  W  /\  U  e.  V )  ->  ( ( V VDeg  (/) ) `  U )  =  0 )

Proof of Theorem vdgr0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 20 . . . 4  |-  ( V  e.  W  ->  V  e.  W )
2 f0 5560 . . . . 5  |-  (/) : (/) --> (/)
3 ffn 5524 . . . . 5  |-  ( (/) :
(/) --> (/)  ->  (/)  Fn  (/) )
42, 3mp1i 12 . . . 4  |-  ( V  e.  W  ->  (/)  Fn  (/) )
5 0ex 4273 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
65a1i 11 . . . 4  |-  ( V  e.  W  ->  (/)  e.  _V )
71, 4, 63jca 1134 . . 3  |-  ( V  e.  W  ->  ( V  e.  W  /\  (/) 
Fn  (/)  /\  (/)  e.  _V ) )
8 vdgrval 21508 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  (/)  Fn  (/)  /\  (/)  e.  _V )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg 
(/) ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) } ) + e
( # `  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } } ) ) )
97, 8sylan 458 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  U  e.  V )  ->  ( ( V VDeg  (/) ) `  U )  =  ( ( # `  {
x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) } ) + e
( # `  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } } ) ) )
10 rab0 3584 . . . . . . 7  |-  { x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) }  =  (/)
1110fveq2i 5664 . . . . . 6  |-  ( # `  { x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) } )  =  ( # `  (/) )
12 hash0 11566 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
1311, 12eqtri 2400 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) } )  =  0
14 rab0 3584 . . . . . . 7  |-  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } }  =  (/)
1514fveq2i 5664 . . . . . 6  |-  ( # `  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } } )  =  (
# `  (/) )
1615, 12eqtri 2400 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } } )  =  0
1713, 16oveq12i 6025 . . . 4  |-  ( (
# `  { x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) } ) + e
( # `  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } } ) )  =  ( 0 + e 0 )
18 0re 9017 . . . . 5  |-  0  e.  RR
19 rexadd 10743 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( 0 + e
0 )  =  ( 0  +  0 ) )
2018, 18, 19mp2an 654 . . . 4  |-  ( 0 + e 0 )  =  ( 0  +  0 )
2117, 20eqtri 2400 . . 3  |-  ( (
# `  { x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) } ) + e
( # `  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } } ) )  =  ( 0  +  0 )
22 00id 9166 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2321, 22eqtri 2400 . 2  |-  ( (
# `  { x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) } ) + e
( # `  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } } ) )  =  0
249, 23syl6eq 2428 1  |-  ( ( V  e.  W  /\  U  e.  V )  ->  ( ( V VDeg  (/) ) `  U )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2646   _Vcvv 2892   (/)c0 3564   {csn 3750    Fn wfn 5382   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   RRcr 8915   0cc0 8916    + caddc 8919   + ecxad 10633   #chash 11538   VDeg cvdg 21505
This theorem is referenced by:  eupath2  21543  vdeg0i  21545  vdfrgra0  27768  vdgfrgra0  27769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-xadd 10636  df-fz 10969  df-hash 11539  df-vdgr 21506
  Copyright terms: Public domain W3C validator