MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgr0 Unicode version

Theorem vdgr0 21659
Description: The degree of a vertex in an empty graph is zero, because there are no edges. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdgr0  |-  ( ( V  e.  W  /\  U  e.  V )  ->  ( ( V VDeg  (/) ) `  U )  =  0 )

Proof of Theorem vdgr0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 20 . . . 4  |-  ( V  e.  W  ->  V  e.  W )
2 f0 5618 . . . . 5  |-  (/) : (/) --> (/)
3 ffn 5582 . . . . 5  |-  ( (/) :
(/) --> (/)  ->  (/)  Fn  (/) )
42, 3mp1i 12 . . . 4  |-  ( V  e.  W  ->  (/)  Fn  (/) )
5 0ex 4331 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
65a1i 11 . . . 4  |-  ( V  e.  W  ->  (/)  e.  _V )
71, 4, 63jca 1134 . . 3  |-  ( V  e.  W  ->  ( V  e.  W  /\  (/) 
Fn  (/)  /\  (/)  e.  _V ) )
8 vdgrval 21655 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  (/)  Fn  (/)  /\  (/)  e.  _V )  /\  U  e.  V
)  ->  ( ( V VDeg 
(/) ) `  U
)  =  ( (
# `  { x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) } ) + e
( # `  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } } ) ) )
97, 8sylan 458 . 2  |-  ( ( V  e.  W  /\  U  e.  V )  ->  ( ( V VDeg  (/) ) `  U )  =  ( ( # `  {
x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) } ) + e
( # `  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } } ) ) )
10 rab0 3640 . . . . . . 7  |-  { x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) }  =  (/)
1110fveq2i 5722 . . . . . 6  |-  ( # `  { x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) } )  =  ( # `  (/) )
12 hash0 11634 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
1311, 12eqtri 2455 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) } )  =  0
14 rab0 3640 . . . . . . 7  |-  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } }  =  (/)
1514fveq2i 5722 . . . . . 6  |-  ( # `  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } } )  =  (
# `  (/) )
1615, 12eqtri 2455 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } } )  =  0
1713, 16oveq12i 6084 . . . 4  |-  ( (
# `  { x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) } ) + e
( # `  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } } ) )  =  ( 0 + e 0 )
18 0re 9080 . . . . 5  |-  0  e.  RR
19 rexadd 10807 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( 0 + e
0 )  =  ( 0  +  0 ) )
2018, 18, 19mp2an 654 . . . 4  |-  ( 0 + e 0 )  =  ( 0  +  0 )
2117, 20eqtri 2455 . . 3  |-  ( (
# `  { x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) } ) + e
( # `  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } } ) )  =  ( 0  +  0 )
22 00id 9230 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2321, 22eqtri 2455 . 2  |-  ( (
# `  { x  e.  (/)  |  U  e.  ( (/) `  x ) } ) + e
( # `  { x  e.  (/)  |  ( (/) `  x )  =  { U } } ) )  =  0
249, 23syl6eq 2483 1  |-  ( ( V  e.  W  /\  U  e.  V )  ->  ( ( V VDeg  (/) ) `  U )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   _Vcvv 2948   (/)c0 3620   {csn 3806    Fn wfn 5440   -->wf 5441   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   RRcr 8978   0cc0 8979    + caddc 8982   + ecxad 10697   #chash 11606   VDeg cvdg 21652
This theorem is referenced by:  eupath2  21690  vdeg0i  21692  vdfrgra0  28270  vdgfrgra0  28271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-card 7815  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-xadd 10700  df-fz 11033  df-hash 11607  df-vdgr 21653
  Copyright terms: Public domain W3C validator