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Theorem vdwlem2 13126
 Description: Lemma for vdw 13138. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem2.r
vdwlem2.k
vdwlem2.w
vdwlem2.n
vdwlem2.f
vdwlem2.m
vdwlem2.g
Assertion
Ref Expression
vdwlem2 MonoAP MonoAP
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem vdwlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . . 6
2 vdwlem2.n . . . . . 6
3 nnaddcl 9858 . . . . . 6
41, 2, 3syl2anr 464 . . . . 5
5 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15 AP
65nncnd 9852 . . . . . . . . . . . . . 14 AP
72ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 AP
87nncnd 9852 . . . . . . . . . . . . . 14 AP
9 elfznn0 10914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AP
1110nn0cnd 10112 . . . . . . . . . . . . . . 15 AP
12 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AP
1312nncnd 9852 . . . . . . . . . . . . . . 15 AP
1411, 13mulcld 8945 . . . . . . . . . . . . . 14 AP
156, 8, 14add32d 9124 . . . . . . . . . . . . 13 AP
16 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 AP AP
17 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
18 oveq1 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1918oveq2d 5961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2019eqeq2d 2369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2120rspcev 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2217, 21mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2322adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 AP
24 vdwlem2.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2524ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 AP
2625adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 AP
27 vdwapval 13117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 AP
2826, 5, 12, 27syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 AP AP
2923, 28mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 AP AP
3016, 29sseldd 3257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AP
31 elfznn 10911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
32 nnaddcl 9858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3331, 2, 32syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
34 nnuz 10355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3533, 34syl6eleq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
36 vdwlem2.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3736adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
38 elfzuz3 10887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
392nnzd 10208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
40 eluzadd 10348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4138, 39, 40syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
42 uztrn 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4337, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
44 elfzuzb 10884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4535, 43, 44sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
46 vdwlem2.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
47 ffvelrn 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4846, 47sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4945, 48syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
50 vdwlem2.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5149, 50fmptd 5767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
52 ffn 5472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5351, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5453ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 AP
55 fniniseg 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AP
5730, 56mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15 AP
5857simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14 AP
5945ralrimiva 2702 . . . . . . . . . . . . . . 15
6059ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14 AP
61 oveq1 5952 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6261eleq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . . 15
6362rspcv 2956 . . . . . . . . . . . . . 14
6458, 60, 63sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13 AP
6515, 64eqeltrd 2432 . . . . . . . . . . . 12 AP
6615fveq2d 5612 . . . . . . . . . . . . 13 AP
6761fveq2d 5612 . . . . . . . . . . . . . . 15
68 fvex 5622 . . . . . . . . . . . . . . 15
6967, 50, 68fvmpt 5685 . . . . . . . . . . . . . 14
7058, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 AP
7157simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13 AP
7266, 70, 713eqtr2d 2396 . . . . . . . . . . . 12 AP
7365, 72jca 518 . . . . . . . . . . 11 AP
74 eleq1 2418 . . . . . . . . . . . 12
75 fveq2 5608 . . . . . . . . . . . . 13
7675eqeq1d 2366 . . . . . . . . . . . 12
7774, 76anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11
7873, 77syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . 10 AP
7978rexlimdva 2743 . . . . . . . . 9 AP
804adantr 451 . . . . . . . . . 10 AP
81 simprl 732 . . . . . . . . . 10 AP
82 vdwapval 13117 . . . . . . . . . 10 AP
8325, 80, 81, 82syl3anc 1182 . . . . . . . . 9 AP AP
84 ffn 5472 . . . . . . . . . . . 12
8546, 84syl 15 . . . . . . . . . . 11
8685ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10 AP
87 fniniseg 5729 . . . . . . . . . 10
8886, 87syl 15 . . . . . . . . 9 AP
8979, 83, 883imtr4d 259 . . . . . . . 8 AP AP
9089ssrdv 3261 . . . . . . 7 AP AP
9190expr 598 . . . . . 6 AP AP
9291reximdva 2731 . . . . 5 AP AP
93 oveq1 5952 . . . . . . . 8 AP AP
9493sseq1d 3281 . . . . . . 7 AP AP
9594rexbidv 2640 . . . . . 6 AP AP
9695rspcev 2960 . . . . 5 AP AP
974, 92, 96ee12an 1363 . . . 4 AP AP
9897rexlimdva 2743 . . 3 AP AP
9998eximdv 1622 . 2 AP AP
100 ovex 5970 . . 3
101100, 24, 51vdwmc 13122 . 2 MonoAP AP
102 ovex 5970 . . 3
103102, 24, 46vdwmc 13122 . 2 MonoAP AP
10499, 101, 1033imtr4d 259 1 MonoAP MonoAP
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  wral 2619  wrex 2620   wss 3228  csn 3716   class class class wbr 4104   cmpt 4158  ccnv 4770  cima 4774   wfn 5332  wf 5333  cfv 5337  (class class class)co 5945  cfn 6951  cc0 8827  c1 8828   caddc 8830   cmul 8832   cmin 9127  cn 9836  cn0 10057  cz 10116  cuz 10322  cfz 10874  APcvdwa 13109   MonoAP cvdwm 13110 This theorem is referenced by:  vdwlem9  13133 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-vdwap 13112  df-vdwmc 13113
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