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Theorem vdwlem2 13350
Description: Lemma for vdw 13362. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwlem2.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
vdwlem2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  NN )
vdwlem2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
vdwlem2.f  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> R )
vdwlem2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( W  +  N
) ) )
vdwlem2.g  |-  G  =  ( x  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( F `  (
x  +  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
vdwlem2  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  G  ->  K MonoAP  F ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, K    x, M    ph, x    x, G    x, N    x, R    x, W

Proof of Theorem vdwlem2
Dummy variables  a 
b  c  d  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 20 . . . . . 6  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  NN )
2 vdwlem2.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 nnaddcl 10022 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( a  +  N
)  e.  NN )
41, 2, 3syl2anr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( a  +  N )  e.  NN )
5 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  a  e.  NN )
65nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  a  e.  CC )
72ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
87nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
9 elfznn0 11083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
109adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
1110nn0cnd 10276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  m  e.  CC )
12 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  d  e.  NN )
1312nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  d  e.  CC )
1411, 13mulcld 9108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
m  x.  d )  e.  CC )
156, 8, 14add32d 9288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  N
)  +  ( m  x.  d ) )  =  ( ( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N ) )
16 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' G " { c } ) )
17 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( m  x.  d ) )
18 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  m  ->  (
n  x.  d )  =  ( m  x.  d ) )
1918oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  m  ->  (
a  +  ( n  x.  d ) )  =  ( a  +  ( m  x.  d
) ) )
2019eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  m  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) )  <->  ( a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( m  x.  d ) ) ) )
2120rspcev 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) )  /\  ( a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) ) )
2217, 21mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) ) )
2322adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) ) )
24 vdwlem2.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
2524ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
2625adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
27 vdwapval 13341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( a (AP `  K ) d )  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) ) ) )
2826, 5, 12, 27syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( a (AP `  K ) d )  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) ) ) )
2923, 28mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( a (AP
`  K ) d ) )
3016, 29sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' G " { c } ) )
31 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ( 1 ... W )  ->  x  e.  NN )
32 nnaddcl 10022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  +  N
)  e.  NN )
3331, 2, 32syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  (
x  +  N )  e.  NN )
34 nnuz 10521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3533, 34syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  (
x  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
36 vdwlem2.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( W  +  N
) ) )
3736adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( W  +  N ) ) )
38 elfzuz3 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ( 1 ... W )  ->  W  e.  ( ZZ>= `  x )
)
392nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
40 eluzadd 10514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( W  e.  ( ZZ>= `  x )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( W  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  N ) ) )
4138, 39, 40syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  ( W  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  N ) ) )
42 uztrn 10502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  ( W  +  N
) )  /\  ( W  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  N ) ) )  ->  M  e.  (
ZZ>= `  ( x  +  N ) ) )
4337, 41, 42syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  N ) ) )
44 elfzuzb 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  +  N )  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
x  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  /\  M  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  N ) ) ) )
4535, 43, 44sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  (
x  +  N )  e.  ( 1 ... M ) )
46 vdwlem2.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> R )
4746ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( x  +  N )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( F `  ( x  +  N
) )  e.  R
)
4845, 47syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  ( F `  ( x  +  N ) )  e.  R )
49 vdwlem2.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  G  =  ( x  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( F `  (
x  +  N ) ) )
5048, 49fmptd 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... W ) --> R )
51 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G : ( 1 ... W ) --> R  ->  G  Fn  ( 1 ... W ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( 1 ... W ) )
5352ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  G  Fn  ( 1 ... W
) )
54 fniniseg 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  Fn  ( 1 ... W )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' G " { c } )  <->  ( (
a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W )  /\  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' G " { c } )  <->  ( (
a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W )  /\  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) ) )
5630, 55mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W )  /\  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) )
5756simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W ) )
5845ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 1 ... W ) ( x  +  N
)  e.  ( 1 ... M ) )
5958ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  A. x  e.  ( 1 ... W
) ( x  +  N )  e.  ( 1 ... M ) )
60 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( a  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
x  +  N )  =  ( ( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N ) )
6160eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( a  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
( x  +  N
)  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
a  +  ( m  x.  d ) )  +  N )  e.  ( 1 ... M
) ) )
6261rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W )  ->  ( A. x  e.  (
1 ... W ) ( x  +  N )  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N )  e.  ( 1 ... M ) ) )
6357, 59, 62sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N )  e.  ( 1 ... M ) )
6415, 63eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  N
)  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... M ) )
6515fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( (
a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) )  =  ( F `  ( ( a  +  ( m  x.  d
) )  +  N
) ) )
6660fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( a  +  ( m  x.  d
) )  ->  ( F `  ( x  +  N ) )  =  ( F `  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N ) ) )
67 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 ( ( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N ) )  e. 
_V
6866, 49, 67fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W )  ->  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  ( F `  ( ( a  +  ( m  x.  d
) )  +  N
) ) )
6957, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  ( F `  ( ( a  +  ( m  x.  d
) )  +  N
) ) )
7056simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c )
7165, 69, 703eqtr2d 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( (
a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c )
7264, 71jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) )
73 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
a  +  N )  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... M
) ) )
74 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d
) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) ) )
7574eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
( F `  x
)  =  c  <->  ( F `  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) )
7673, 75anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  x )  =  c )  <->  ( ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( F `  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) ) )
7772, 76syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) )  -> 
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  x )  =  c ) ) )
7877rexlimdva 2830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  ( E. m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  x )  =  c ) ) )
794adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  (
a  +  N )  e.  NN )
80 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  d  e.  NN )
81 vdwapval 13341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( a  +  N
)  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( ( a  +  N
) (AP `  K
) d )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( a  +  N
)  +  ( m  x.  d ) ) ) )
8225, 79, 80, 81syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  (
x  e.  ( ( a  +  N ) (AP `  K ) d )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( a  +  N
)  +  ( m  x.  d ) ) ) )
83 ffn 5591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 1 ... M ) --> R  ->  F  Fn  ( 1 ... M ) )
8446, 83syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( 1 ... M ) )
8584ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  F  Fn  ( 1 ... M
) )
86 fniniseg 5851 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  ( 1 ... M )  ->  (
x  e.  ( `' F " { c } )  <->  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( F `  x )  =  c ) ) )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  (
x  e.  ( `' F " { c } )  <->  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( F `  x )  =  c ) ) )
8878, 82, 873imtr4d 260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  (
x  e.  ( ( a  +  N ) (AP `  K ) d )  ->  x  e.  ( `' F " { c } ) ) )
8988ssrdv 3354 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  (
( a  +  N
) (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { c } ) )
9089expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  d  e.  NN )  ->  (
( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } )  ->  ( ( a  +  N ) (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
9190reximdva 2818 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' G " { c } )  ->  E. d  e.  NN  ( ( a  +  N ) (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
92 oveq1 6088 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( a  +  N )  ->  (
b (AP `  K
) d )  =  ( ( a  +  N ) (AP `  K ) d ) )
9392sseq1d 3375 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( a  +  N )  ->  (
( b (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { c } )  <-> 
( ( a  +  N ) (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { c } ) ) )
9493rexbidv 2726 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( a  +  N )  ->  ( E. d  e.  NN  ( b (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { c } )  <->  E. d  e.  NN  ( ( a  +  N ) (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { c } ) ) )
9594rspcev 3052 . . . . 5  |-  ( ( ( a  +  N
)  e.  NN  /\  E. d  e.  NN  (
( a  +  N
) (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { c } ) )  ->  E. b  e.  NN  E. d  e.  NN  (
b (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { c } ) )
964, 91, 95ee12an 1372 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' G " { c } )  ->  E. b  e.  NN  E. d  e.  NN  ( b (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
9796rexlimdva 2830 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' G " { c } )  ->  E. b  e.  NN  E. d  e.  NN  ( b (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
9897eximdv 1632 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. c E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' G " { c } )  ->  E. c E. b  e.  NN  E. d  e.  NN  (
b (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
99 ovex 6106 . . 3  |-  ( 1 ... W )  e. 
_V
10099, 24, 50vdwmc 13346 . 2  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  G  <->  E. c E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' G " { c } ) ) )
101 ovex 6106 . . 3  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
102101, 24, 46vdwmc 13346 . 2  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  F  <->  E. c E. b  e.  NN  E. d  e.  NN  (
b (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
10398, 100, 1023imtr4d 260 1  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  G  ->  K MonoAP  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   "cima 4881    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    - cmin 9291   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043  APcvdwa 13333   MonoAP cvdwm 13334
This theorem is referenced by:  vdwlem9  13357
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-vdwap 13336  df-vdwmc 13337
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