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Theorem vdwlem2 13305
Description: Lemma for vdw 13317. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwlem2.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
vdwlem2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  NN )
vdwlem2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
vdwlem2.f  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> R )
vdwlem2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( W  +  N
) ) )
vdwlem2.g  |-  G  =  ( x  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( F `  (
x  +  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
vdwlem2  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  G  ->  K MonoAP  F ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, K    x, M    ph, x    x, G    x, N    x, R    x, W

Proof of Theorem vdwlem2
Dummy variables  a 
b  c  d  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 20 . . . . . 6  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  NN )
2 vdwlem2.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 nnaddcl 9978 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( a  +  N
)  e.  NN )
41, 2, 3syl2anr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( a  +  N )  e.  NN )
5 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  a  e.  NN )
65nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  a  e.  CC )
72ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
87nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
9 elfznn0 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
109adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
1110nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  m  e.  CC )
12 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  d  e.  NN )
1312nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  d  e.  CC )
1411, 13mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
m  x.  d )  e.  CC )
156, 8, 14add32d 9244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  N
)  +  ( m  x.  d ) )  =  ( ( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N ) )
16 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' G " { c } ) )
17 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( m  x.  d ) )
18 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  m  ->  (
n  x.  d )  =  ( m  x.  d ) )
1918oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  m  ->  (
a  +  ( n  x.  d ) )  =  ( a  +  ( m  x.  d
) ) )
2019eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  m  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) )  <->  ( a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( m  x.  d ) ) ) )
2120rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) )  /\  ( a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) ) )
2217, 21mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) ) )
2322adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) ) )
24 vdwlem2.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
2524ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
2625adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
27 vdwapval 13296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( a (AP `  K ) d )  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) ) ) )
2826, 5, 12, 27syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( a (AP `  K ) d )  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) ) ) )
2923, 28mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( a (AP
`  K ) d ) )
3016, 29sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' G " { c } ) )
31 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ( 1 ... W )  ->  x  e.  NN )
32 nnaddcl 9978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  +  N
)  e.  NN )
3331, 2, 32syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  (
x  +  N )  e.  NN )
34 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3533, 34syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  (
x  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
36 vdwlem2.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( W  +  N
) ) )
3736adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( W  +  N ) ) )
38 elfzuz3 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ( 1 ... W )  ->  W  e.  ( ZZ>= `  x )
)
392nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
40 eluzadd 10470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( W  e.  ( ZZ>= `  x )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( W  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  N ) ) )
4138, 39, 40syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  ( W  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  N ) ) )
42 uztrn 10458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  ( W  +  N
) )  /\  ( W  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  N ) ) )  ->  M  e.  (
ZZ>= `  ( x  +  N ) ) )
4337, 41, 42syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  N ) ) )
44 elfzuzb 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  +  N )  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
x  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  /\  M  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  N ) ) ) )
4535, 43, 44sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  (
x  +  N )  e.  ( 1 ... M ) )
46 vdwlem2.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> R )
4746ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( x  +  N )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( F `  ( x  +  N
) )  e.  R
)
4845, 47syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  ( F `  ( x  +  N ) )  e.  R )
49 vdwlem2.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  G  =  ( x  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( F `  (
x  +  N ) ) )
5048, 49fmptd 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... W ) --> R )
51 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G : ( 1 ... W ) --> R  ->  G  Fn  ( 1 ... W ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( 1 ... W ) )
5352ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  G  Fn  ( 1 ... W
) )
54 fniniseg 5810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  Fn  ( 1 ... W )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' G " { c } )  <->  ( (
a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W )  /\  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' G " { c } )  <->  ( (
a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W )  /\  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) ) )
5630, 55mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W )  /\  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) )
5756simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W ) )
5845ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 1 ... W ) ( x  +  N
)  e.  ( 1 ... M ) )
5958ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  A. x  e.  ( 1 ... W
) ( x  +  N )  e.  ( 1 ... M ) )
60 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( a  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
x  +  N )  =  ( ( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N ) )
6160eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( a  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
( x  +  N
)  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
a  +  ( m  x.  d ) )  +  N )  e.  ( 1 ... M
) ) )
6261rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W )  ->  ( A. x  e.  (
1 ... W ) ( x  +  N )  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N )  e.  ( 1 ... M ) ) )
6357, 59, 62sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N )  e.  ( 1 ... M ) )
6415, 63eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  N
)  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... M ) )
6515fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( (
a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) )  =  ( F `  ( ( a  +  ( m  x.  d
) )  +  N
) ) )
6660fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( a  +  ( m  x.  d
) )  ->  ( F `  ( x  +  N ) )  =  ( F `  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N ) ) )
67 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 ( ( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N ) )  e. 
_V
6866, 49, 67fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W )  ->  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  ( F `  ( ( a  +  ( m  x.  d
) )  +  N
) ) )
6957, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  ( F `  ( ( a  +  ( m  x.  d
) )  +  N
) ) )
7056simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c )
7165, 69, 703eqtr2d 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( (
a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c )
7264, 71jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) )
73 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
a  +  N )  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... M
) ) )
74 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d
) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) ) )
7574eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
( F `  x
)  =  c  <->  ( F `  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) )
7673, 75anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  x )  =  c )  <->  ( ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( F `  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) ) )
7772, 76syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) )  -> 
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  x )  =  c ) ) )
7877rexlimdva 2790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  ( E. m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  x )  =  c ) ) )
794adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  (
a  +  N )  e.  NN )
80 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  d  e.  NN )
81 vdwapval 13296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( a  +  N
)  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( ( a  +  N
) (AP `  K
) d )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( a  +  N
)  +  ( m  x.  d ) ) ) )
8225, 79, 80, 81syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  (
x  e.  ( ( a  +  N ) (AP `  K ) d )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( a  +  N
)  +  ( m  x.  d ) ) ) )
83 ffn 5550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 1 ... M ) --> R  ->  F  Fn  ( 1 ... M ) )
8446, 83syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( 1 ... M ) )
8584ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  F  Fn  ( 1 ... M
) )
86 fniniseg 5810 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  ( 1 ... M )  ->  (
x  e.  ( `' F " { c } )  <->  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( F `  x )  =  c ) ) )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  (
x  e.  ( `' F " { c } )  <->  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( F `  x )  =  c ) ) )
8878, 82, 873imtr4d 260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  (
x  e.  ( ( a  +  N ) (AP `  K ) d )  ->  x  e.  ( `' F " { c } ) ) )
8988ssrdv 3314 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  (
( a  +  N
) (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { c } ) )
9089expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  d  e.  NN )  ->  (
( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } )  ->  ( ( a  +  N ) (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
9190reximdva 2778 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' G " { c } )  ->  E. d  e.  NN  ( ( a  +  N ) (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
92 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( a  +  N )  ->  (
b (AP `  K
) d )  =  ( ( a  +  N ) (AP `  K ) d ) )
9392sseq1d 3335 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( a  +  N )  ->  (
( b (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { c } )  <-> 
( ( a  +  N ) (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { c } ) ) )
9493rexbidv 2687 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( a  +  N )  ->  ( E. d  e.  NN  ( b (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { c } )  <->  E. d  e.  NN  ( ( a  +  N ) (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { c } ) ) )
9594rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( ( ( a  +  N
)  e.  NN  /\  E. d  e.  NN  (
( a  +  N
) (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { c } ) )  ->  E. b  e.  NN  E. d  e.  NN  (
b (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { c } ) )
964, 91, 95ee12an 1369 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' G " { c } )  ->  E. b  e.  NN  E. d  e.  NN  ( b (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
9796rexlimdva 2790 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' G " { c } )  ->  E. b  e.  NN  E. d  e.  NN  ( b (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
9897eximdv 1629 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. c E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' G " { c } )  ->  E. c E. b  e.  NN  E. d  e.  NN  (
b (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
99 ovex 6065 . . 3  |-  ( 1 ... W )  e. 
_V
10099, 24, 50vdwmc 13301 . 2  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  G  <->  E. c E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' G " { c } ) ) )
101 ovex 6065 . . 3  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
102101, 24, 46vdwmc 13301 . 2  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  F  <->  E. c E. b  e.  NN  E. d  e.  NN  (
b (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
10398, 100, 1023imtr4d 260 1  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  G  ->  K MonoAP  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999  APcvdwa 13288   MonoAP cvdwm 13289
This theorem is referenced by:  vdwlem9  13312
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-vdwap 13291  df-vdwmc 13292
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