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Theorem vdwnnlem2 13090
Description: Lemma for vdwnn 13092. The set of all "bad"  k for the theorem is upwards-closed, because a long AP implies a short AP. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwnn.1  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwnn.2  |-  ( ph  ->  F : NN --> R )
vdwnn.3  |-  S  =  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem2  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( A  e.  S  ->  B  e.  S ) )
Distinct variable groups:    a, d,
k, m, A    a,
c, d, m    ph, a,
c, d    R, a,
c, d    B, a,
d, k, m    F, a    k, c, F, d, m    S, a, d, k, m
Allowed substitution hints:    ph( k, m)    A( c)    B( c)    R( k, m)    S( c)

Proof of Theorem vdwnnlem2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  A  e.  ZZ )
2 peano2zm 10109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
31, 2syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
4 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)
51zcnd 10165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  A  e.  CC )
6 ax-1cn 8840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
7 npcan 9105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  - 
1 )  +  1 )  =  A )
85, 6, 7sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( A  -  1 )  +  1 )  =  A )
98fveq2d 5567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ZZ>= `  ( ( A  - 
1 )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  A ) )
104, 9eleqtrrd 2393 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  ( ZZ>= `  ( ( A  -  1 )  +  1 ) ) )
11 eluzp1m1 10298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( ( A  - 
1 )  +  1 ) ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1
) ) )
123, 10, 11syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1 ) ) )
1312ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1 ) ) )
14 fzss2 10878 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1 ) )  ->  ( 0 ... ( A  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) )
15 ssralv 3271 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0 ... ( A  -  1 ) ) 
C_  ( 0 ... ( B  -  1 ) )  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  A. m  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  A. m  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
1716reximdv 2688 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
1817reximdv 2688 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
1918con3d 125 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( -. 
E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
20 id 19 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN )
21 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)
22 nnuz 10310 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2322uztrn2 10292 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  B  e.  NN )
2420, 21, 23syl2anr 464 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  B  e.  NN )
2519, 24jctild 527 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( -. 
E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  ( B  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) ) )
2625expimpd 586 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( ( A  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  -> 
( B  e.  NN  /\ 
-.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) ) )
27 oveq1 5907 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  (
k  -  1 )  =  ( A  - 
1 ) )
2827oveq2d 5916 . . . . . 6  |-  ( k  =  A  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) )
2928raleqdv 2776 . . . . 5  |-  ( k  =  A  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  A. m  e.  (
0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
30292rexbidv 2620 . . . 4  |-  ( k  =  A  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
3130notbid 285 . . 3  |-  ( k  =  A  ->  ( -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
32 vdwnn.3 . . 3  |-  S  =  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }
3331, 32elrab2 2959 . 2  |-  ( A  e.  S  <->  ( A  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
34 oveq1 5907 . . . . . . 7  |-  ( k  =  B  ->  (
k  -  1 )  =  ( B  - 
1 ) )
3534oveq2d 5916 . . . . . 6  |-  ( k  =  B  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) )
3635raleqdv 2776 . . . . 5  |-  ( k  =  B  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  A. m  e.  (
0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
37362rexbidv 2620 . . . 4  |-  ( k  =  B  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
3837notbid 285 . . 3  |-  ( k  =  B  ->  ( -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
3938, 32elrab2 2959 . 2  |-  ( B  e.  S  <->  ( B  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
4026, 33, 393imtr4g 261 1  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( A  e.  S  ->  B  e.  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   E.wrex 2578   {crab 2581    C_ wss 3186   {csn 3674   `'ccnv 4725   "cima 4729   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Fincfn 6906   CCcc 8780   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    x. cmul 8787    - cmin 9082   NNcn 9791   ZZcz 10071   ZZ>=cuz 10277   ...cfz 10829
This theorem is referenced by:  vdwnnlem3  13091
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830
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