Theorem vidfunid 10757

Description: F associates every object of T to an object in U. For identification of objects with identity see df-func 10753 JFM CAT₁ th. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
vidfunid.1	|- O1 = dom (id` T)
vidfunid.2	|- I1 = (id` T)
vidfunid.3	|- O2 = dom (id` U)
vidfunid.4	|- I2 = (id` U)

Assertion

Ref	Expression
vidfunid	|- ((T e. Cat /\ U e. Cat) -> (F e. (Func` <.T, U>.) -> A.o e. O1 E.p e. O2 (F` (I1` o)) = (I2` p)))

Distinct variable groups:   o,F,p   o,O₁   p,O₂   T,o,p   U,o,p

Proof of Theorem vidfunid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vidfunid.1	. . . . . . 7 |- O1 = dom (id` T)
2		eqid 1475	. . . . . . 7 |- dom (dom` T) = dom (dom` T)
3		eqid 1475	. . . . . . 7 |- (dom` T) = (dom` T)
4		eqid 1475	. . . . . . 7 |- (cod` T) = (cod` T)
5		vidfunid.2	. . . . . . 7 |- I1 = (id` T)
6		eqid 1475	. . . . . . 7 |- (o` T) = (o` T)
7		vidfunid.3	. . . . . . 7 |- O2 = dom (id` U)
8		eqid 1475	. . . . . . 7 |- dom (dom` U) = dom (dom` U)
9		eqid 1475	. . . . . . 7 |- (dom` U) = (dom` U)
10		eqid 1475	. . . . . . 7 |- (cod` U) = (cod` U)
11		vidfunid.4	. . . . . . 7 |- I2 = (id` U)
12		eqid 1475	. . . . . . 7 |- (o` U) = (o` U)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	isfunb 10755	. . . . . 6 |- ((T e. Cat /\ U e. Cat /\ F e. (Func` <.T, U>.)) -> (F e. (Func` <.T, U>.) <-> (F:dom (dom` T)-->dom (dom` U) /\ (A.o e. O1 E.p e. O2 (F` (I1` o)) = (I2` p) /\ (A.m e. dom (dom` T)(F` (I1` ((dom` T)` m))) = (I2` ((dom` U)` (F` m))) /\ A.m e. dom (dom` T)(F` (I1` ((cod` T)` m))) = (I2` ((cod` U)` (F` m)))) /\ A.m e. dom (dom` T)A.n e. dom (dom` T)(((cod` T)` n) = ((dom` T)` m) -> (F` (m(o` T)n)) = ((F` m)(o` U)(F` n)))))))
14	13	pm3.27bda 421	. . . . 5 |- (((T e. Cat /\ U e. Cat /\ F e. (Func` <.T, U>.)) /\ F e. (Func` <.T, U>.)) -> (A.o e. O1 E.p e. O2 (F` (I1` o)) = (I2` p) /\ (A.m e. dom (dom` T)(F` (I1` ((dom` T)` m))) = (I2` ((dom` U)` (F` m))) /\ A.m e. dom (dom` T)(F` (I1` ((cod` T)` m))) = (I2` ((cod` U)` (F` m)))) /\ A.m e. dom (dom` T)A.n e. dom (dom` T)(((cod` T)` n) = ((dom` T)` m) -> (F` (m(o` T)n)) = ((F` m)(o` U)(F` n)))))
15	14	3simp1d 794	. . . 4 |- (((T e. Cat /\ U e. Cat /\ F e. (Func` <.T, U>.)) /\ F e. (Func` <.T, U>.)) -> A.o e. O1 E.p e. O2 (F` (I1` o)) = (I2` p))
16	15	ex 373	. . 3 |- ((T e. Cat /\ U e. Cat /\ F e. (Func` <.T, U>.)) -> (F e. (Func` <.T, U>.) -> A.o e. O1 E.p e. O2 (F` (I1` o)) = (I2` p)))
17	16	3expia 835	. 2 |- ((T e. Cat /\ U e. Cat) -> (F e. (Func` <.T, U>.) -> (F e. (Func` <.T, U>.) -> A.o e. O1 E.p e. O2 (F` (I1` o)) = (I2` p))))
18	17	pm2.43d 65	1 |- ((T e. Cat /\ U e. Cat) -> (F e. (Func` <.T, U>.) -> A.o e. O1 E.p e. O2 (F` (I1` o)) = (I2` p)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  <.cop 2411  dom cdm 3170  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  domcdom_ 10644  codccod_ 10645  idcid_ 10646  oco_ 10647  Catccat 10685  Funccfunc 10751

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-map 4324  df-func 10753

Copyright terms: Public domain