MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmadivsum Unicode version

Theorem vmadivsum 20627
Description: The sum of the von Mangoldt function over  n is asymptotic to  log x  +  O ( 1 ). Equation 9.2.13 of [Shapiro], p. 331. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmadivsum  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 )
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem vmadivsum
StepHypRef Expression
1 reex 8824 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
2 rpssre 10360 . . . . . . 7  |-  RR+  C_  RR
31, 2ssexi 4160 . . . . . 6  |-  RR+  e.  _V
43a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  RR+  e.  _V )
5 ovex 5845 . . . . . 6  |-  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  _V
65a1i 10 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  _V )
7 ovex 5845 . . . . . 6  |-  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  _V
87a1i 10 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  _V )
9 eqidd 2285 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )
10 eqidd 2285 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )
114, 6, 8, 9, 10offval2 6057 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  -  ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) ) )
1211trud 1314 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  -  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )
13 fzfid 11031 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
14 elfznn 10815 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
1514adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
16 vmacl 20352 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
1715, 16syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
1817, 15nndivred 9790 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
1913, 18fsumrecl 12203 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  RR )
2019recnd 8857 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  CC )
21 relogcl 19928 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
2221recnd 8857 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  CC )
23 rprege0 10364 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
24 flge0nn0 10944 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
25 faccl 11294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( |_ `  x ) )  e.  NN )
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ! `
 ( |_ `  x ) )  e.  NN )
2726nnrpd 10385 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ! `
 ( |_ `  x ) )  e.  RR+ )
28 relogcl 19928 . . . . . . . 8  |-  ( ( ! `  ( |_
`  x ) )  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  RR )
2927, 28syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  RR )
30 rerpdivcl 10377 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x )  e.  RR )
3129, 30mpancom 650 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x )  e.  RR )
3231recnd 8857 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x )  e.  CC )
3320, 22, 32nnncan2d 9188 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  -  ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
3433mpteq2ia 4103 . . 3  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  -  ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
3512, 34eqtri 2304 . 2  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )
36 1re 8833 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
3736a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
38 chpo1ub 20625 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O
( 1 )
3938a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
40 rpre 10356 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
41 chpcl 20358 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
4240, 41syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
43 rerpdivcl 10377 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ψ `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
4442, 43mpancom 650 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
4544recnd 8857 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC )
4645adantl 452 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC )
4720, 32subcld 9153 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  CC )
4847adantl 452 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  CC )
4940adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
5018, 49remulcld 8859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  e.  RR )
51 nndivre 9777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  /  n
)  e.  RR )
5240, 14, 51syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
53 reflcl 10924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  n ) )  e.  RR )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
5517, 54remulcld 8859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
5650, 55resubcld 9207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
5752, 54resubcld 9207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e.  RR )
5836a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
59 vmage0 20355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
6015, 59syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
61 fracle1 10931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  <_  1 )
6252, 61syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  <_ 
1 )
6357, 58, 17, 60, 62lemul2ad 9693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  <_  ( (Λ `  n )  x.  1 ) )
6417recnd 8857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
6552recnd 8857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
6654recnd 8857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
6764, 65, 66subdid 9231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( x  /  n
) )  -  (
(Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
68 rpcn 10358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
6968adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
7015nnrpd 10385 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
71 rpcnne0 10367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
7270, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
73 div23 9439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (Λ `  n )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( ( (Λ `  n
)  x.  x )  /  n )  =  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x ) )
74 divass 9438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (Λ `  n )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( ( (Λ `  n
)  x.  x )  /  n )  =  ( (Λ `  n
)  x.  ( x  /  n ) ) )
7573, 74eqtr3d 2318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (Λ `  n )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  =  ( (Λ `  n
)  x.  ( x  /  n ) ) )
7664, 69, 72, 75syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  =  ( (Λ `  n )  x.  (
x  /  n ) ) )
7776oveq1d 5835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( x  /  n
) )  -  (
(Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
7867, 77eqtr4d 2319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
7964mulid1d 8848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  1 )  =  (Λ `  n
) )
8063, 78, 793brtr3d 4053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  <_  (Λ `  n
) )
8113, 56, 17, 80fsumle 12253 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) (Λ `  n )
)
8218recnd 8857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
8313, 68, 82fsummulc1 12243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x ) )
84 logfac2 20452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )
8523, 84syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )
8683, 85oveq12d 5838 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
8750recnd 8857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  e.  CC )
8855recnd 8857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  e.  CC )
8913, 87, 88fsumsub 12246 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ) )
9086, 89eqtr4d 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
91 chpval 20356 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) (Λ `  n
) )
9240, 91syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) (Λ `  n
) )
9381, 90, 923brtr4d 4054 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  <_  (ψ `  x ) )
9419, 40remulcld 8859 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  e.  RR )
9594, 29resubcld 9207 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  e.  RR )
96 rpregt0 10363 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
97 lediv1 9617 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  e.  RR  /\  (ψ `  x )  e.  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  -> 
( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  <_  (ψ `  x
)  <->  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x
)  <_  ( (ψ `  x )  /  x
) ) )
9895, 42, 96, 97syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  <_  (ψ `  x
)  <->  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x
)  <_  ( (ψ `  x )  /  x
) ) )
9993, 98mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  <_  ( (ψ `  x )  /  x
) )
10094recnd 8857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  e.  CC )
10129recnd 8857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  CC )
102 rpcnne0 10367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
103 divsubdir 9452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  e.  CC  /\  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  =  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  /  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )
104100, 101, 102, 103syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  =  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  /  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )
105 rpne0 10365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
10620, 68, 105divcan4d 9538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  /  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )
107106oveq1d 5835 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  /  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )
108104, 107eqtr2d 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  =  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x
) )
109108fveq2d 5490 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) ) )
110 rerpdivcl 10377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  e.  RR )
11195, 110mpancom 650 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  e.  RR )
112 flle 10927 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  n ) )  <_ 
( x  /  n
) )
11352, 112syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  <_  (
x  /  n ) )
11452, 54subge0d 9358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 0  <_  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  <->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  <_  (
x  /  n ) ) )
115113, 114mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )
11617, 57, 60, 115mulge0d 9345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  x.  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ) )
117116, 78breqtrd 4048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
11813, 56, 117fsumge0 12249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
119118, 90breqtrrd 4050 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) ) )
120 divge0 9621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) ) )  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  0  <_  (
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) )
12195, 119, 96, 120syl21anc 1181 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) )
122111, 121absidd 11901 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) )  =  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) )
123109, 122eqtrd 2316 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  =  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) )
124 chpge0 20360 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  x )
)
12540, 124syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
(ψ `  x )
)
126 divge0 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  (ψ `  x
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  0  <_  (
(ψ `  x )  /  x ) )
12742, 125, 96, 126syl21anc 1181 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
( (ψ `  x
)  /  x ) )
12844, 127absidd 11901 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( (ψ `  x
)  /  x ) )  =  ( (ψ `  x )  /  x
) )
12999, 123, 1283brtr4d 4054 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  <_  ( abs `  ( (ψ `  x )  /  x
) ) )
130129ad2antrl 708 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  <_  ( abs `  ( (ψ `  x
)  /  x ) ) )
13137, 39, 46, 48, 130o1le 12122 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O
( 1 ) )
132131trud 1314 . . 3  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O ( 1 )
133 logfacrlim 20459 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  ~~> r  1
134 rlimo1 12086 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  ~~> r  1  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
135133, 134ax-mp 8 . . 3  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O
( 1 )
136 o1sub 12085 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
137132, 135, 136mp2an 653 . 2  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  e.  O ( 1 )
13835, 137eqeltrri 2355 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447   _Vcvv 2789   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078   ` cfv 5221  (class class class)co 5820    o Fcof 6038   CCcc 8731   RRcr 8732   0cc0 8733   1c1 8734    x. cmul 8738    < clt 8863    <_ cle 8864    - cmin 9033    / cdiv 9419   NNcn 9742   NN0cn0 9961   RR+crp 10350   ...cfz 10778   |_cfl 10920   !cfa 11284   abscabs 11715    ~~> r crli 11955   O (
1 )co1 11956   sum_csu 12154   logclog 19908  Λcvma 20325  ψcchp 20326
This theorem is referenced by:  vmadivsumb  20628  rpvmasumlem  20632  vmalogdivsum2  20683  vmalogdivsum  20684  2vmadivsumlem  20685  selberg3lem1  20702  selberg4lem1  20705  pntrsumo1  20710  selbergr  20713
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-ixp 6814  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-fi 7161  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-cda 7790  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-ioo 10656  df-ioc 10657  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-mod 10970  df-seq 11043  df-exp 11101  df-fac 11285  df-bc 11312  df-hash 11334  df-shft 11558  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-limsup 11941  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-o1 11960  df-lo1 11961  df-sum 12155  df-ef 12345  df-e 12346  df-sin 12347  df-cos 12348  df-pi 12350  df-dvds 12528  df-gcd 12682  df-prm 12755  df-pc 12886  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-mulg 14488  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-nei 16831  df-lp 16864  df-perf 16865  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-haus 17039  df-cmp 17110  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-fbas 17516  df-fg 17517  df-fil 17537  df-fm 17629  df-flim 17630  df-flf 17631  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-cncf 18378  df-limc 19212  df-dv 19213  df-log 19910  df-cxp 19911  df-cht 20330  df-vma 20331  df-chp 20332  df-ppi 20333
  Copyright terms: Public domain W3C validator