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Theorem vmadivsum 20854
Description: The sum of the von Mangoldt function over  n is asymptotic to  log x  +  O ( 1 ). Equation 9.2.13 of [Shapiro], p. 331. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmadivsum  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 )
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem vmadivsum
StepHypRef Expression
1 reex 8975 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
2 rpssre 10515 . . . . . . 7  |-  RR+  C_  RR
31, 2ssexi 4261 . . . . . 6  |-  RR+  e.  _V
43a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  RR+  e.  _V )
5 ovex 6006 . . . . . 6  |-  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  _V
65a1i 10 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  _V )
7 ovex 6006 . . . . . 6  |-  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  _V
87a1i 10 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  _V )
9 eqidd 2367 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )
10 eqidd 2367 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )
114, 6, 8, 9, 10offval2 6222 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  -  ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) ) )
1211trud 1328 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  -  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )
13 fzfid 11199 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
14 elfznn 10972 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
1514adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
16 vmacl 20579 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
1715, 16syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
1817, 15nndivred 9941 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
1913, 18fsumrecl 12415 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  RR )
2019recnd 9008 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  CC )
21 relogcl 20151 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
2221recnd 9008 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  CC )
23 rprege0 10519 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
24 flge0nn0 11112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
25 faccl 11463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( |_ `  x ) )  e.  NN )
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ! `
 ( |_ `  x ) )  e.  NN )
2726nnrpd 10540 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ! `
 ( |_ `  x ) )  e.  RR+ )
28 relogcl 20151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ! `  ( |_
`  x ) )  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  RR )
2927, 28syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  RR )
30 rerpdivcl 10532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x )  e.  RR )
3129, 30mpancom 650 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x )  e.  RR )
3231recnd 9008 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x )  e.  CC )
3320, 22, 32nnncan2d 9339 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  -  ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
3433mpteq2ia 4204 . . 3  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  -  ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
3512, 34eqtri 2386 . 2  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )
36 1re 8984 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
3736a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
38 chpo1ub 20852 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O
( 1 )
3938a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
40 rpre 10511 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
41 chpcl 20585 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
4240, 41syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
43 rerpdivcl 10532 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ψ `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
4442, 43mpancom 650 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
4544recnd 9008 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC )
4645adantl 452 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC )
4720, 32subcld 9304 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  CC )
4847adantl 452 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  CC )
4940adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
5018, 49remulcld 9010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  e.  RR )
51 nndivre 9928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  /  n
)  e.  RR )
5240, 14, 51syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
53 reflcl 11092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  n ) )  e.  RR )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
5517, 54remulcld 9010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
5650, 55resubcld 9358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
5752, 54resubcld 9358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e.  RR )
5836a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
59 vmage0 20582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
6015, 59syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
61 fracle1 11099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  <_  1 )
6252, 61syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  <_ 
1 )
6357, 58, 17, 60, 62lemul2ad 9844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  <_  ( (Λ `  n )  x.  1 ) )
6417recnd 9008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
6552recnd 9008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
6654recnd 9008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
6764, 65, 66subdid 9382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( x  /  n
) )  -  (
(Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
68 rpcn 10513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
6968adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
7015nnrpd 10540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
71 rpcnne0 10522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
7270, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
73 div23 9590 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (Λ `  n )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( ( (Λ `  n
)  x.  x )  /  n )  =  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x ) )
74 divass 9589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (Λ `  n )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( ( (Λ `  n
)  x.  x )  /  n )  =  ( (Λ `  n
)  x.  ( x  /  n ) ) )
7573, 74eqtr3d 2400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (Λ `  n )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  =  ( (Λ `  n
)  x.  ( x  /  n ) ) )
7664, 69, 72, 75syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  =  ( (Λ `  n )  x.  (
x  /  n ) ) )
7776oveq1d 5996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( x  /  n
) )  -  (
(Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
7867, 77eqtr4d 2401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
7964mulid1d 8999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  1 )  =  (Λ `  n
) )
8063, 78, 793brtr3d 4154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  <_  (Λ `  n
) )
8113, 56, 17, 80fsumle 12465 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) (Λ `  n )
)
8218recnd 9008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
8313, 68, 82fsummulc1 12455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x ) )
84 logfac2 20679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )
8523, 84syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )
8683, 85oveq12d 5999 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
8750recnd 9008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  e.  CC )
8855recnd 9008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  e.  CC )
8913, 87, 88fsumsub 12458 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ) )
9086, 89eqtr4d 2401 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
91 chpval 20583 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) (Λ `  n
) )
9240, 91syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) (Λ `  n
) )
9381, 90, 923brtr4d 4155 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  <_  (ψ `  x ) )
9419, 40remulcld 9010 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  e.  RR )
9594, 29resubcld 9358 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  e.  RR )
96 rpregt0 10518 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
97 lediv1 9768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  e.  RR  /\  (ψ `  x )  e.  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  -> 
( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  <_  (ψ `  x
)  <->  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x
)  <_  ( (ψ `  x )  /  x
) ) )
9895, 42, 96, 97syl3anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  <_  (ψ `  x
)  <->  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x
)  <_  ( (ψ `  x )  /  x
) ) )
9993, 98mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  <_  ( (ψ `  x )  /  x
) )
10094recnd 9008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  e.  CC )
10129recnd 9008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  CC )
102 rpcnne0 10522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
103 divsubdir 9603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  e.  CC  /\  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  =  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  /  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )
104100, 101, 102, 103syl3anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  =  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  /  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )
105 rpne0 10520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
10620, 68, 105divcan4d 9689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  /  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )
107106oveq1d 5996 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  /  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )
108104, 107eqtr2d 2399 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  =  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x
) )
109108fveq2d 5636 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) ) )
110 rerpdivcl 10532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  e.  RR )
11195, 110mpancom 650 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  e.  RR )
112 flle 11095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  n ) )  <_ 
( x  /  n
) )
11352, 112syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  <_  (
x  /  n ) )
11452, 54subge0d 9509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 0  <_  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  <->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  <_  (
x  /  n ) ) )
115113, 114mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )
11617, 57, 60, 115mulge0d 9496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  x.  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ) )
117116, 78breqtrd 4149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
11813, 56, 117fsumge0 12461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
119118, 90breqtrrd 4151 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) ) )
120 divge0 9772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) ) )  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  0  <_  (
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) )
12195, 119, 96, 120syl21anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) )
122111, 121absidd 12112 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) )  =  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) )
123109, 122eqtrd 2398 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  =  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) )
124 chpge0 20587 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  x )
)
12540, 124syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
(ψ `  x )
)
126 divge0 9772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  (ψ `  x
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  0  <_  (
(ψ `  x )  /  x ) )
12742, 125, 96, 126syl21anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
( (ψ `  x
)  /  x ) )
12844, 127absidd 12112 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( (ψ `  x
)  /  x ) )  =  ( (ψ `  x )  /  x
) )
12999, 123, 1283brtr4d 4155 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  <_  ( abs `  ( (ψ `  x )  /  x
) ) )
130129ad2antrl 708 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  <_  ( abs `  ( (ψ `  x
)  /  x ) ) )
13137, 39, 46, 48, 130o1le 12333 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O
( 1 ) )
132131trud 1328 . . 3  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O ( 1 )
133 logfacrlim 20686 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  ~~> r  1
134 rlimo1 12297 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  ~~> r  1  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
135133, 134ax-mp 8 . . 3  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O
( 1 )
136 o1sub 12296 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
137132, 135, 136mp2an 653 . 2  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  e.  O ( 1 )
13835, 137eqeltrri 2437 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    T. wtru 1321    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   _Vcvv 2873   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    o Fcof 6203   CCcc 8882   RRcr 8883   0cc0 8884   1c1 8885    x. cmul 8889    < clt 9014    <_ cle 9015    - cmin 9184    / cdiv 9570   NNcn 9893   NN0cn0 10114   RR+crp 10505   ...cfz 10935   |_cfl 11088   !cfa 11453   abscabs 11926    ~~> r crli 12166   O (
1 )co1 12167   sum_csu 12366   logclog 20130  Λcvma 20552  ψcchp 20553
This theorem is referenced by:  vmadivsumb  20855  rpvmasumlem  20859  vmalogdivsum2  20910  vmalogdivsum  20911  2vmadivsumlem  20912  selberg3lem1  20929  selberg4lem1  20932  pntrsumo1  20937  selbergr  20940
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-ioc 10814  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-mod 11138  df-seq 11211  df-exp 11270  df-fac 11454  df-bc 11481  df-hash 11506  df-shft 11769  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-limsup 12152  df-clim 12169  df-rlim 12170  df-o1 12171  df-lo1 12172  df-sum 12367  df-ef 12557  df-e 12558  df-sin 12559  df-cos 12560  df-pi 12562  df-dvds 12740  df-gcd 12894  df-prm 12967  df-pc 13098  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-hom 13440  df-cco 13441  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-pt 13555  df-prds 13558  df-xrs 13613  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-qtop 13620  df-imas 13621  df-xps 13623  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-mulg 14702  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-fbas 16590  df-fg 16591  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-nei 17052  df-lp 17085  df-perf 17086  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-haus 17260  df-cmp 17331  df-tx 17474  df-hmeo 17663  df-fil 17754  df-fm 17846  df-flim 17847  df-flf 17848  df-xms 18098  df-ms 18099  df-tms 18100  df-cncf 18596  df-limc 19431  df-dv 19432  df-log 20132  df-cxp 20133  df-cht 20557  df-vma 20558  df-chp 20559  df-ppi 20560
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