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Theorem vmadivsum 20633
Description: The sum of the von Mangoldt function over  n is asymptotic to  log x  +  O ( 1 ). Equation 9.2.13 of [Shapiro], p. 331. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmadivsum  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 )
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem vmadivsum
StepHypRef Expression
1 reex 8830 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
2 rpssre 10366 . . . . . . 7  |-  RR+  C_  RR
31, 2ssexi 4161 . . . . . 6  |-  RR+  e.  _V
43a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  RR+  e.  _V )
5 ovex 5885 . . . . . 6  |-  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  _V
65a1i 10 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  _V )
7 ovex 5885 . . . . . 6  |-  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  _V
87a1i 10 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  _V )
9 eqidd 2286 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )
10 eqidd 2286 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )
114, 6, 8, 9, 10offval2 6097 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  -  ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) ) )
1211trud 1314 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  -  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )
13 fzfid 11037 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
14 elfznn 10821 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
1514adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
16 vmacl 20358 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
1715, 16syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
1817, 15nndivred 9796 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
1913, 18fsumrecl 12209 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  RR )
2019recnd 8863 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  CC )
21 relogcl 19934 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
2221recnd 8863 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  CC )
23 rprege0 10370 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
24 flge0nn0 10950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
25 faccl 11300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( |_ `  x ) )  e.  NN )
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ! `
 ( |_ `  x ) )  e.  NN )
2726nnrpd 10391 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ! `
 ( |_ `  x ) )  e.  RR+ )
28 relogcl 19934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ! `  ( |_
`  x ) )  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  RR )
2927, 28syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  RR )
30 rerpdivcl 10383 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x )  e.  RR )
3129, 30mpancom 650 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x )  e.  RR )
3231recnd 8863 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x )  e.  CC )
3320, 22, 32nnncan2d 9194 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  -  ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
3433mpteq2ia 4104 . . 3  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  -  ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
3512, 34eqtri 2305 . 2  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )
36 1re 8839 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
3736a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
38 chpo1ub 20631 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O
( 1 )
3938a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
40 rpre 10362 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
41 chpcl 20364 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
4240, 41syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
43 rerpdivcl 10383 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ψ `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
4442, 43mpancom 650 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
4544recnd 8863 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC )
4645adantl 452 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC )
4720, 32subcld 9159 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  CC )
4847adantl 452 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  CC )
4940adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
5018, 49remulcld 8865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  e.  RR )
51 nndivre 9783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  /  n
)  e.  RR )
5240, 14, 51syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
53 reflcl 10930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  n ) )  e.  RR )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
5517, 54remulcld 8865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
5650, 55resubcld 9213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
5752, 54resubcld 9213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e.  RR )
5836a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
59 vmage0 20361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
6015, 59syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
61 fracle1 10937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  <_  1 )
6252, 61syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  <_ 
1 )
6357, 58, 17, 60, 62lemul2ad 9699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  <_  ( (Λ `  n )  x.  1 ) )
6417recnd 8863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
6552recnd 8863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
6654recnd 8863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
6764, 65, 66subdid 9237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( x  /  n
) )  -  (
(Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
68 rpcn 10364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
6968adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
7015nnrpd 10391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
71 rpcnne0 10373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
7270, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
73 div23 9445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (Λ `  n )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( ( (Λ `  n
)  x.  x )  /  n )  =  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x ) )
74 divass 9444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (Λ `  n )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( ( (Λ `  n
)  x.  x )  /  n )  =  ( (Λ `  n
)  x.  ( x  /  n ) ) )
7573, 74eqtr3d 2319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (Λ `  n )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  =  ( (Λ `  n
)  x.  ( x  /  n ) ) )
7664, 69, 72, 75syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  =  ( (Λ `  n )  x.  (
x  /  n ) ) )
7776oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( x  /  n
) )  -  (
(Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
7867, 77eqtr4d 2320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
7964mulid1d 8854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  1 )  =  (Λ `  n
) )
8063, 78, 793brtr3d 4054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  <_  (Λ `  n
) )
8113, 56, 17, 80fsumle 12259 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) (Λ `  n )
)
8218recnd 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
8313, 68, 82fsummulc1 12249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x ) )
84 logfac2 20458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )
8523, 84syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )
8683, 85oveq12d 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
8750recnd 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  e.  CC )
8855recnd 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  e.  CC )
8913, 87, 88fsumsub 12252 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ) )
9086, 89eqtr4d 2320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
91 chpval 20362 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) (Λ `  n
) )
9240, 91syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) (Λ `  n
) )
9381, 90, 923brtr4d 4055 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  <_  (ψ `  x ) )
9419, 40remulcld 8865 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  e.  RR )
9594, 29resubcld 9213 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  e.  RR )
96 rpregt0 10369 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
97 lediv1 9623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  e.  RR  /\  (ψ `  x )  e.  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  -> 
( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  <_  (ψ `  x
)  <->  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x
)  <_  ( (ψ `  x )  /  x
) ) )
9895, 42, 96, 97syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  <_  (ψ `  x
)  <->  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x
)  <_  ( (ψ `  x )  /  x
) ) )
9993, 98mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  <_  ( (ψ `  x )  /  x
) )
10094recnd 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  e.  CC )
10129recnd 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  CC )
102 rpcnne0 10373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
103 divsubdir 9458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  e.  CC  /\  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  =  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  /  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )
104100, 101, 102, 103syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  =  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  /  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )
105 rpne0 10371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
10620, 68, 105divcan4d 9544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  /  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )
107106oveq1d 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  /  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )
108104, 107eqtr2d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  =  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x
) )
109108fveq2d 5531 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) ) )
110 rerpdivcl 10383 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  e.  RR )
11195, 110mpancom 650 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  e.  RR )
112 flle 10933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  n ) )  <_ 
( x  /  n
) )
11352, 112syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  <_  (
x  /  n ) )
11452, 54subge0d 9364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 0  <_  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  <->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  <_  (
x  /  n ) ) )
115113, 114mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )
11617, 57, 60, 115mulge0d 9351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  x.  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ) )
117116, 78breqtrd 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
11813, 56, 117fsumge0 12255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
119118, 90breqtrrd 4051 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) ) )
120 divge0 9627 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) ) )  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  0  <_  (
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) )
12195, 119, 96, 120syl21anc 1181 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) )
122111, 121absidd 11907 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) )  =  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) )
123109, 122eqtrd 2317 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  =  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) )
124 chpge0 20366 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  x )
)
12540, 124syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
(ψ `  x )
)
126 divge0 9627 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  (ψ `  x
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  0  <_  (
(ψ `  x )  /  x ) )
12742, 125, 96, 126syl21anc 1181 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
( (ψ `  x
)  /  x ) )
12844, 127absidd 11907 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( (ψ `  x
)  /  x ) )  =  ( (ψ `  x )  /  x
) )
12999, 123, 1283brtr4d 4055 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  <_  ( abs `  ( (ψ `  x )  /  x
) ) )
130129ad2antrl 708 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  <_  ( abs `  ( (ψ `  x
)  /  x ) ) )
13137, 39, 46, 48, 130o1le 12128 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O
( 1 ) )
132131trud 1314 . . 3  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O ( 1 )
133 logfacrlim 20465 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  ~~> r  1
134 rlimo1 12092 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  ~~> r  1  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
135133, 134ax-mp 8 . . 3  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O
( 1 )
136 o1sub 12091 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
137132, 135, 136mp2an 653 . 2  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  e.  O ( 1 )
13835, 137eqeltrri 2356 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   _Vcvv 2790   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   ` cfv 5257  (class class class)co 5860    o Fcof 6078   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    x. cmul 8744    < clt 8869    <_ cle 8870    - cmin 9039    / cdiv 9425   NNcn 9748   NN0cn0 9967   RR+crp 10356   ...cfz 10784   |_cfl 10926   !cfa 11290   abscabs 11721    ~~> r crli 11961   O (
1 )co1 11962   sum_csu 12160   logclog 19914  Λcvma 20331  ψcchp 20332
This theorem is referenced by:  vmadivsumb  20634  rpvmasumlem  20638  vmalogdivsum2  20689  vmalogdivsum  20690  2vmadivsumlem  20691  selberg3lem1  20708  selberg4lem1  20711  pntrsumo1  20716  selbergr  20719
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-o1 11966  df-lo1 11967  df-sum 12161  df-ef 12351  df-e 12352  df-sin 12353  df-cos 12354  df-pi 12356  df-dvds 12534  df-gcd 12688  df-prm 12761  df-pc 12892  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-mulg 14494  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-lp 16870  df-perf 16871  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-cmp 17116  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cncf 18384  df-limc 19218  df-dv 19219  df-log 19916  df-cxp 19917  df-cht 20336  df-vma 20337  df-chp 20338  df-ppi 20339
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