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Theorem vmadivsum 20558
Description: The sum of the von Mangoldt function over  n is asymptotic to  log x  +  O ( 1 ). Equation 9.2.13 of [Shapiro], p. 331. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmadivsum  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 )
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem vmadivsum
StepHypRef Expression
1 reex 8761 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
2 rpssre 10296 . . . . . . 7  |-  RR+  C_  RR
31, 2ssexi 4099 . . . . . 6  |-  RR+  e.  _V
43a1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  RR+  e.  _V )
5 ovex 5782 . . . . . 6  |-  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  _V
65a1i 12 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  _V )
7 ovex 5782 . . . . . 6  |-  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  _V
87a1i 12 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  _V )
9 eqidd 2257 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )
10 eqidd 2257 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )
114, 6, 8, 9, 10offval2 5994 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  -  ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) ) )
1211trud 1320 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  -  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )
13 fzfid 10966 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
14 elfznn 10750 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
1514adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
16 vmacl 20283 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
1817, 15nndivred 9727 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
1913, 18fsumrecl 12137 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  RR )
2019recnd 8794 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  CC )
21 relogcl 19859 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
2221recnd 8794 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  CC )
23 rprege0 10300 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
24 flge0nn0 10879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
25 faccl 11229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( |_ `  x ) )  e.  NN )
2623, 24, 253syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ! `
 ( |_ `  x ) )  e.  NN )
2726nnrpd 10321 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ! `
 ( |_ `  x ) )  e.  RR+ )
28 relogcl 19859 . . . . . . . 8  |-  ( ( ! `  ( |_
`  x ) )  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  RR )
2927, 28syl 17 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  RR )
30 rerpdivcl 10313 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x )  e.  RR )
3129, 30mpancom 653 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x )  e.  RR )
3231recnd 8794 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x )  e.  CC )
3320, 22, 32nnncan2d 9125 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  -  ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
3433mpteq2ia 4042 . . 3  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  -  ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
3512, 34eqtri 2276 . 2  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )
36 1re 8770 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
3736a1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
38 chpo1ub 20556 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O
( 1 )
3938a1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
40 rpre 10292 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
41 chpcl 20289 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
43 rerpdivcl 10313 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ψ `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
4442, 43mpancom 653 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
4544recnd 8794 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC )
4645adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC )
4720, 32subcld 9090 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  CC )
4847adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  CC )
4940adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
5018, 49remulcld 8796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  e.  RR )
51 nndivre 9714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  /  n
)  e.  RR )
5240, 14, 51syl2an 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
53 reflcl 10859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  n ) )  e.  RR )
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
5517, 54remulcld 8796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
5650, 55resubcld 9144 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
5752, 54resubcld 9144 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e.  RR )
5836a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
59 vmage0 20286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
6015, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
61 fracle1 10866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  <_  1 )
6252, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  <_ 
1 )
6357, 58, 17, 60, 62lemul2ad 9630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  <_  ( (Λ `  n )  x.  1 ) )
6417recnd 8794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
6552recnd 8794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
6654recnd 8794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
6764, 65, 66subdid 9168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( x  /  n
) )  -  (
(Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
68 rpcn 10294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
6968adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
7015nnrpd 10321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
71 rpcnne0 10303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
73 div23 9376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (Λ `  n )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( ( (Λ `  n
)  x.  x )  /  n )  =  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x ) )
74 divass 9375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (Λ `  n )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( ( (Λ `  n
)  x.  x )  /  n )  =  ( (Λ `  n
)  x.  ( x  /  n ) ) )
7573, 74eqtr3d 2290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (Λ `  n )  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  =  ( (Λ `  n
)  x.  ( x  /  n ) ) )
7664, 69, 72, 75syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  =  ( (Λ `  n )  x.  (
x  /  n ) ) )
7776oveq1d 5772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( x  /  n
) )  -  (
(Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
7867, 77eqtr4d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
7964mulid1d 8785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  1 )  =  (Λ `  n
) )
8063, 78, 793brtr3d 3992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  <_  (Λ `  n
) )
8113, 56, 17, 80fsumle 12187 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) (Λ `  n )
)
8218recnd 8794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
8313, 68, 82fsummulc1 12177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x ) )
84 logfac2 20383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )
8523, 84syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )
8683, 85oveq12d 5775 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
8750recnd 8794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  e.  CC )
8855recnd 8794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  e.  CC )
8913, 87, 88fsumsub 12180 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ) )
9086, 89eqtr4d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
91 chpval 20287 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) (Λ `  n
) )
9240, 91syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) (Λ `  n
) )
9381, 90, 923brtr4d 3993 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  <_  (ψ `  x ) )
9419, 40remulcld 8796 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  e.  RR )
9594, 29resubcld 9144 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  e.  RR )
96 rpregt0 10299 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
97 lediv1 9554 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  e.  RR  /\  (ψ `  x )  e.  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  -> 
( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  <_  (ψ `  x
)  <->  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x
)  <_  ( (ψ `  x )  /  x
) ) )
9895, 42, 96, 97syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  <_  (ψ `  x
)  <->  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x
)  <_  ( (ψ `  x )  /  x
) ) )
9993, 98mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  <_  ( (ψ `  x )  /  x
) )
10094recnd 8794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  e.  CC )
10129recnd 8794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  CC )
102 rpcnne0 10303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
103 divsubdir 9389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  e.  CC  /\  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  =  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  /  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )
104100, 101, 102, 103syl3anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  =  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  /  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )
105 rpne0 10301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
10620, 68, 105divcan4d 9475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  /  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )
107106oveq1d 5772 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  /  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )
108104, 107eqtr2d 2289 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  =  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  x
)  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x
) )
109108fveq2d 5427 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) ) )
110 rerpdivcl 10313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  e.  RR )
11195, 110mpancom 653 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  e.  RR )
112 flle 10862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  n ) )  <_ 
( x  /  n
) )
11352, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  <_  (
x  /  n ) )
11452, 54subge0d 9295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 0  <_  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  <->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  <_  (
x  /  n ) ) )
115113, 114mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )
11617, 57, 60, 115mulge0d 9282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  x.  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ) )
117116, 78breqtrd 3987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
11813, 56, 117fsumge0 12183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ) )
119118, 90breqtrrd 3989 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) ) )
120 divge0 9558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) ) )  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  0  <_  (
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) )
12195, 119, 96, 120syl21anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) )
122111, 121absidd 11835 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  x )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) )  =  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) )
123109, 122eqtrd 2288 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  =  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  x )  -  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) )
124 chpge0 20291 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  x )
)
12540, 124syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
(ψ `  x )
)
126 divge0 9558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  (ψ `  x
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  0  <_  (
(ψ `  x )  /  x ) )
12742, 125, 96, 126syl21anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
( (ψ `  x
)  /  x ) )
12844, 127absidd 11835 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( (ψ `  x
)  /  x ) )  =  ( (ψ `  x )  /  x
) )
12999, 123, 1283brtr4d 3993 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  <_  ( abs `  ( (ψ `  x )  /  x
) ) )
130129ad2antrl 711 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  <_  ( abs `  ( (ψ `  x
)  /  x ) ) )
13137, 39, 46, 48, 130o1le 12056 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O
( 1 ) )
132131trud 1320 . . 3  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O ( 1 )
133 logfacrlim 20390 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  ~~> r  1
134 rlimo1 12020 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  ~~> r  1  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
135133, 134ax-mp 10 . . 3  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O
( 1 )
136 o1sub 12019 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
137132, 135, 136mp2an 656 . 2  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) ) )  e.  O ( 1 )
13835, 137eqeltrri 2327 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    T. wtru 1312    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   _Vcvv 2740   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017   ` cfv 4638  (class class class)co 5757    o Fcof 5975   CCcc 8668   RRcr 8669   0cc0 8670   1c1 8671    x. cmul 8675    < clt 8800    <_ cle 8801    - cmin 8970    / cdiv 9356   NNcn 9679   NN0cn0 9897   RR+crp 10286   ...cfz 10713   |_cfl 10855   !cfa 11219   abscabs 11649    ~~> r crli 11889   O (
1 )co1 11890   sum_csu 12088   logclog 19839  Λcvma 20256  ψcchp 20257
This theorem is referenced by:  vmadivsumb  20559  rpvmasumlem  20563  vmalogdivsum2  20614  vmalogdivsum  20615  2vmadivsumlem  20616  selberg3lem1  20633  selberg4lem1  20636  pntrsumo1  20641  selbergr  20644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-ixp 6751  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-fi 7098  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-ioo 10591  df-ioc 10592  df-ico 10593  df-icc 10594  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-mod 10905  df-seq 10978  df-exp 11036  df-fac 11220  df-bc 11247  df-hash 11269  df-shft 11492  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-limsup 11875  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-o1 11894  df-lo1 11895  df-sum 12089  df-ef 12276  df-e 12277  df-sin 12278  df-cos 12279  df-pi 12281  df-divides 12459  df-gcd 12613  df-prime 12686  df-pc 12817  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-hom 13159  df-cco 13160  df-rest 13254  df-topn 13255  df-topgen 13271  df-pt 13272  df-prds 13275  df-xrs 13330  df-0g 13331  df-gsum 13332  df-qtop 13337  df-imas 13338  df-xps 13340  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-mulg 14419  df-cntz 14720  df-cmn 15018  df-xmet 16300  df-met 16301  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-cnfld 16305  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-topsp 16567  df-cld 16683  df-ntr 16684  df-cls 16685  df-nei 16762  df-lp 16795  df-perf 16796  df-cn 16884  df-cnp 16885  df-haus 16970  df-cmp 17041  df-tx 17184  df-hmeo 17373  df-fbas 17447  df-fg 17448  df-fil 17468  df-fm 17560  df-flim 17561  df-flf 17562  df-xms 17812  df-ms 17813  df-tms 17814  df-cncf 18309  df-limc 19143  df-dv 19144  df-log 19841  df-cxp 19842  df-cht 20261  df-vma 20262  df-chp 20263  df-ppi 20264
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