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Theorem vmalogdivsum 21221
Description: The sum  sum_ n  <_  x , Λ ( n ) log n  /  n is asymptotic to  log ^ 2 ( x )  / 
2  +  O ( log x ). Exercise 9.1.7 of [Shapiro], p. 336. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmalogdivsum  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 )
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem vmalogdivsum
StepHypRef Expression
1 elioore 10935 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
21adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
3 1rp 10605 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
54rpred 10637 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
6 eliooord 10959 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
76adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
87simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <  x )
95, 2, 8ltled 9210 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <_  x )
102, 4, 9rpgecld 10672 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
1110ex 424 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  ->  x  e.  RR+ )
)
1211ssrdv 3346 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR+ )
13 vmadivsum 21164 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 )
1413a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
1512, 14o1res2 12345 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
16 fzfid 11300 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
17 elfznn 11069 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
1817adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
19 vmacl 20889 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
2018, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
2120, 18nndivred 10037 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
2221recnd 9103 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
2316, 22fsumcl 12515 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  CC )
2410relogcld 20506 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
2524recnd 9103 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
2623, 25subcld 9400 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
2718nnrpd 10636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
2827relogcld 20506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
2921, 28remulcld 9105 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) )  e.  RR )
3016, 29fsumrecl 12516 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
312, 8rplogcld 20512 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
3230, 31rerpdivcld 10664 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
3324rehalfcld 10203 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  RR )
3432, 33resubcld 9454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  e.  RR )
3534recnd 9103 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  e.  CC )
3633recnd 9103 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  CC )
3723, 36subcld 9400 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  e.  CC )
3832recnd 9103 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
3937, 38, 36nnncan2d 9435 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) ) )
4023, 36, 36subsub4d 9431 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( ( log `  x
)  /  2 )  +  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )
41252halvesd 10202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
)  /  2 )  +  ( ( log `  x )  /  2
) )  =  ( log `  x ) )
4241oveq2d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
( ( log `  x
)  /  2 )  +  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )
4340, 42eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
4443oveq1d 6087 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )
4523, 36, 38sub32d 9432 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) )  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) )  -  ( ( log `  x )  /  2 ) ) )
4610adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
4746relogcld 20506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
4821, 47remulcld 9105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
4948recnd 9103 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
5029recnd 9103 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) )  e.  CC )
5116, 49, 50fsumsub 12559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  x
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )
5246, 27relogdivd 20509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  =  ( ( log `  x
)  -  ( log `  n ) ) )
5352oveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( ( log `  x )  -  ( log `  n
) ) ) )
5425adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
5528recnd 9103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
5622, 54, 55subdid 9478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  (
( log `  x
)  -  ( log `  n ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )
5753, 56eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )
5857sumeq2dv 12485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )
5920recnd 9103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
6018nncnd 10005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
6118nnne0d 10033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
6259, 60, 61divcld 9779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
6316, 25, 62fsummulc1 12556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  x ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  x
) ) )
6463oveq1d 6087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  x
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  x ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )
6551, 58, 643eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  x
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )
6665oveq1d 6087 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  =  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  x ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  / 
( log `  x
) ) )
6723, 25mulcld 9097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
6830recnd 9103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
6931rpne0d 10642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
7067, 68, 25, 69divsubdird 9818 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  x
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  =  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) ) )
7123, 25, 69divcan4d 9785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  x
) )  /  ( log `  x ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )
7271oveq1d 6087 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  x
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) )  /  ( log `  x
) ) ) )
7366, 70, 723eqtrd 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) ) )
7473oveq1d 6087 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) )  -  ( ( log `  x )  /  2 ) ) )
7545, 74eqtr4d 2470 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) )  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )
7639, 44, 753eqtr3d 2475 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )
7776mpteq2dva 4287 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) ) ) )
78 vmalogdivsum2 21220 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 )
7977, 78syl6eqel 2523 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
8026, 35, 79o1dif 12411 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8115, 80mpbid 202 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 ) )
8281trud 1332 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    T. wtru 1325    e. wcel 1725   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977   RRcr 8978   1c1 8980    + caddc 8982    x. cmul 8984    +oocpnf 9106    < clt 9109    - cmin 9280    / cdiv 9666   NNcn 9989   2c2 10038   RR+crp 10601   (,)cioo 10905   ...cfz 11032   |_cfl 11189   O ( 1 )co1 12268   sum_csu 12467   logclog 20440  Λcvma 20862
This theorem is referenced by:  selberg3r  21251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ioc 10910  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-mod 11239  df-seq 11312  df-exp 11371  df-fac 11555  df-bc 11582  df-hash 11607  df-shft 11870  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-limsup 12253  df-clim 12270  df-rlim 12271  df-o1 12272  df-lo1 12273  df-sum 12468  df-ef 12658  df-e 12659  df-sin 12660  df-cos 12661  df-pi 12663  df-dvds 12841  df-gcd 12995  df-prm 13068  df-pc 13199  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-lp 17188  df-perf 17189  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-haus 17367  df-cmp 17438  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cncf 18896  df-limc 19741  df-dv 19742  df-log 20442  df-cxp 20443  df-em 20819  df-cht 20867  df-vma 20868  df-chp 20869  df-ppi 20870
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