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Theorem vmalogdivsum 20650
Description: The sum  sum_ n  <_  x , Λ ( n ) log n  /  n is asymptotic to  log ^ 2 ( x )  / 
2  +  O ( log x ). Exercise 9.1.7 of [Shapiro], p. 336. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmalogdivsum  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 )
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem vmalogdivsum
StepHypRef Expression
1 elioore 10652 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
21adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
3 1rp 10325 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
43a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
54rpred 10357 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
6 eliooord 10676 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
76adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
87simpld 447 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <  x )
95, 2, 8ltled 8935 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <_  x )
102, 4, 9rpgecld 10392 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
1110ex 425 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  ->  x  e.  RR+ )
)
1211ssrdv 3160 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR+ )
13 vmadivsum 20593 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 )
1413a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
1512, 14o1res2 12002 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
16 fzfid 11001 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
17 elfznn 10785 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
1817adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
19 vmacl 20318 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
2120, 18nndivred 9762 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
2221recnd 8829 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
2316, 22fsumcl 12171 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  CC )
2410relogcld 19936 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
2524recnd 8829 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
2623, 25subcld 9125 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
2718nnrpd 10356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
2827relogcld 19936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
2921, 28remulcld 8831 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) )  e.  RR )
3016, 29fsumrecl 12172 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
312, 8rplogcld 19942 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
3230, 31rerpdivcld 10384 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
3324rehalfcld 9925 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  RR )
3432, 33resubcld 9179 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  e.  RR )
3534recnd 8829 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  e.  CC )
3633recnd 8829 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  CC )
3723, 36subcld 9125 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  e.  CC )
3832recnd 8829 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
3937, 38, 36nnncan2d 9160 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) ) )
4023, 36, 36subsub4d 9156 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( ( ( log `  x
)  /  2 )  +  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )
41252halvesd 9924 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
)  /  2 )  +  ( ( log `  x )  /  2
) )  =  ( log `  x ) )
4241oveq2d 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
( ( log `  x
)  /  2 )  +  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )
4340, 42eqtrd 2290 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
4443oveq1d 5807 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )
4523, 36, 38sub32d 9157 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) )  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) )  -  ( ( log `  x )  /  2 ) ) )
4610adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
4746relogcld 19936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
4821, 47remulcld 8831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
4948recnd 8829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
5029recnd 8829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) )  e.  CC )
5116, 49, 50fsumsub 12215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  x
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )
5246, 27relogdivd 19939 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  =  ( ( log `  x
)  -  ( log `  n ) ) )
5352oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( ( log `  x )  -  ( log `  n
) ) ) )
5425adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
5528recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
5622, 54, 55subdid 9203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  (
( log `  x
)  -  ( log `  n ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )
5753, 56eqtrd 2290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )
5857sumeq2dv 12141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )
5920recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
6018nncnd 9730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
6118nnne0d 9758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
6259, 60, 61divcld 9504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
6316, 25, 62fsummulc1 12212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  x ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  x
) ) )
6463oveq1d 5807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  x
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  x ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )
6551, 58, 643eqtr4d 2300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  x
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )
6665oveq1d 5807 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  =  ( ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  x ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  / 
( log `  x
) ) )
6723, 25mulcld 8823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
6830recnd 8829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
6931rpne0d 10362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
7067, 68, 25, 69divsubdird 9543 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  x
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  =  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) ) )
7123, 25, 69divcan4d 9510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  x
) )  /  ( log `  x ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )
7271oveq1d 5807 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  x
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) )  /  ( log `  x
) ) ) )
7366, 70, 723eqtrd 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) ) )
7473oveq1d 5807 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) )  -  ( ( log `  x )  /  2 ) ) )
7545, 74eqtr4d 2293 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) )  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )
7639, 44, 753eqtr3d 2298 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )
7776mpteq2dva 4080 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) ) ) )
78 vmalogdivsum2 20649 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 )
7977, 78syl6eqel 2346 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
8026, 35, 79o1dif 12068 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8115, 80mpbid 203 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 ) )
8281trud 1320 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    T. wtru 1312    e. wcel 1621   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   RRcr 8704   1c1 8706    + caddc 8708    x. cmul 8710    +oocpnf 8832    < clt 8835    - cmin 9005    / cdiv 9391   NNcn 9714   2c2 9763   RR+crp 10321   (,)cioo 10622   ...cfz 10748   |_cfl 10890   O ( 1 )co1 11925   sum_csu 12123   logclog 19874  Λcvma 20291
This theorem is referenced by:  selberg3r  20680
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9933  df-z 9992  df-dec 10092  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-ioo 10626  df-ioc 10627  df-ico 10628  df-icc 10629  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-fl 10891  df-mod 10940  df-seq 11013  df-exp 11071  df-fac 11255  df-bc 11282  df-hash 11304  df-shft 11527  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-limsup 11910  df-clim 11927  df-rlim 11928  df-o1 11929  df-lo1 11930  df-sum 12124  df-ef 12311  df-e 12312  df-sin 12313  df-cos 12314  df-pi 12316  df-divides 12494  df-gcd 12648  df-prime 12721  df-pc 12852  df-struct 13112  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-sets 13116  df-ress 13117  df-plusg 13183  df-mulr 13184  df-starv 13185  df-sca 13186  df-vsca 13187  df-tset 13189  df-ple 13190  df-ds 13192  df-hom 13194  df-cco 13195  df-rest 13289  df-topn 13290  df-topgen 13306  df-pt 13307  df-prds 13310  df-xrs 13365  df-0g 13366  df-gsum 13367  df-qtop 13372  df-imas 13373  df-xps 13375  df-mre 13450  df-mrc 13451  df-acs 13453  df-mnd 14329  df-submnd 14378  df-mulg 14454  df-cntz 14755  df-cmn 15053  df-xmet 16335  df-met 16336  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-cnfld 16340  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601  df-topsp 16602  df-cld 16718  df-ntr 16719  df-cls 16720  df-nei 16797  df-lp 16830  df-perf 16831  df-cn 16919  df-cnp 16920  df-haus 17005  df-cmp 17076  df-tx 17219  df-hmeo 17408  df-fbas 17482  df-fg 17483  df-fil 17503  df-fm 17595  df-flim 17596  df-flf 17597  df-xms 17847  df-ms 17848  df-tms 17849  df-cncf 18344  df-limc 19178  df-dv 19179  df-log 19876  df-cxp 19877  df-em 20249  df-cht 20296  df-vma 20297  df-chp 20298  df-ppi 20299
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