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Theorem volcn 19529
 Description: The function formed by restricting a measurable set to a closed interval with a varying endpoint produces an increasing continuous function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
volcn.1
Assertion
Ref Expression
volcn
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem volcn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 732 . . . . . 6
2 iccmbl 19491 . . . . . . 7
32adantll 696 . . . . . 6
4 inmbl 19467 . . . . . 6
51, 3, 4syl2anc 644 . . . . 5
6 mblvol 19457 . . . . 5
75, 6syl 16 . . . 4
8 inss2 3547 . . . . . 6
98a1i 11 . . . . 5
10 mblss 19458 . . . . . 6
113, 10syl 16 . . . . 5
12 mblvol 19457 . . . . . . 7
133, 12syl 16 . . . . . 6
14 iccvolcl 19492 . . . . . . 7
1514adantll 696 . . . . . 6
1613, 15eqeltrrd 2517 . . . . 5
17 ovolsscl 19413 . . . . 5
189, 11, 16, 17syl3anc 1185 . . . 4
197, 18eqeltrd 2516 . . 3
20 volcn.1 . . 3
2119, 20fmptd 5922 . 2
22 simprr 735 . . . 4
23 oveq12 6119 . . . . . . . . . . . . 13
2423ancoms 441 . . . . . . . . . . . 12
2524fveq2d 5761 . . . . . . . . . . 11
2625breq1d 4247 . . . . . . . . . 10
27 fveq2 5757 . . . . . . . . . . . . 13
28 fveq2 5757 . . . . . . . . . . . . 13
2927, 28oveqan12rd 6130 . . . . . . . . . . . 12
3029fveq2d 5761 . . . . . . . . . . 11
3130breq1d 4247 . . . . . . . . . 10
3226, 31imbi12d 313 . . . . . . . . 9
33 oveq12 6119 . . . . . . . . . . . . 13
3433ancoms 441 . . . . . . . . . . . 12
3534fveq2d 5761 . . . . . . . . . . 11
3635breq1d 4247 . . . . . . . . . 10
37 fveq2 5757 . . . . . . . . . . . . 13
38 fveq2 5757 . . . . . . . . . . . . 13
3937, 38oveqan12rd 6130 . . . . . . . . . . . 12
4039fveq2d 5761 . . . . . . . . . . 11
4140breq1d 4247 . . . . . . . . . 10
4236, 41imbi12d 313 . . . . . . . . 9
43 ssid 3353 . . . . . . . . . 10
4443a1i 11 . . . . . . . . 9
45 recn 9111 . . . . . . . . . . . . 13
46 recn 9111 . . . . . . . . . . . . 13
47 abssub 12161 . . . . . . . . . . . . 13
4845, 46, 47syl2anr 466 . . . . . . . . . . . 12
4948adantl 454 . . . . . . . . . . 11
5049breq1d 4247 . . . . . . . . . 10
5121adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
52 ffvelrn 5897 . . . . . . . . . . . . . 14
53 ffvelrn 5897 . . . . . . . . . . . . . 14
5452, 53anim12dan 812 . . . . . . . . . . . . 13
5551, 54sylan 459 . . . . . . . . . . . 12
56 recn 9111 . . . . . . . . . . . . 13
57 recn 9111 . . . . . . . . . . . . 13
58 abssub 12161 . . . . . . . . . . . . 13
5956, 57, 58syl2anr 466 . . . . . . . . . . . 12
6055, 59syl 16 . . . . . . . . . . 11
6160breq1d 4247 . . . . . . . . . 10
6250, 61imbi12d 313 . . . . . . . . 9
63 simpr2 965 . . . . . . . . . . . . . . 15
64 oveq2 6118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6564ineq2d 3528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6665fveq2d 5761 . . . . . . . . . . . . . . . 16
67 fvex 5771 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6866, 20, 67fvmpt 5835 . . . . . . . . . . . . . . 15
6963, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
70 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7271adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
73 iccmbl 19491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7472, 63, 73syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
75 inmbl 19467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7670, 74, 75syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
77 mblvol 19457 . . . . . . . . . . . . . . 15
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
7969, 78eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . 13
80 simpr1 964 . . . . . . . . . . . . . . 15
81 oveq2 6118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8281ineq2d 3528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8382fveq2d 5761 . . . . . . . . . . . . . . . 16
84 fvex 5771 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8583, 20, 84fvmpt 5835 . . . . . . . . . . . . . . 15
8680, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
87 simp1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
88 iccmbl 19491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8971, 87, 88syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
90 inmbl 19467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9170, 89, 90syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
92 mblvol 19457 . . . . . . . . . . . . . . 15
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
9486, 93eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . 13
9579, 94oveq12d 6128 . . . . . . . . . . . 12
9651adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9796, 63ffvelrnd 5900 . . . . . . . . . . . . . . 15
9879, 97eqeltrrd 2517 . . . . . . . . . . . . . 14
9972leidd 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
100 simpr3 966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
101 iccss 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10272, 63, 99, 100, 101syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
103 sslin 3552 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
105 mblss 19458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10676, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107104, 106sstrd 3344 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108 iccssre 11023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10980, 63, 108syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110107, 109unssd 3509 . . . . . . . . . . . . . . 15
11196, 80ffvelrnd 5900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11294, 111eqeltrrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11363, 80resubcld 9496 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114112, 113readdcld 9146 . . . . . . . . . . . . . . 15
115 ovolicc 19450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116115adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
117116, 113eqeltrd 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
118 ovolun 19426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119107, 112, 109, 117, 118syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16
120116oveq2d 6126 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121119, 120breqtrd 4261 . . . . . . . . . . . . . . 15
122 ovollecl 19410 . . . . . . . . . . . . . . 15
123110, 114, 121, 122syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14
12472adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12563adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12680adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
127 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
128100adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
129 simp2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
130 elicc2 11006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
13171, 129, 130syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
132131adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
133126, 127, 128, 132mpbir3and 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
134 iccsplit 11060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135124, 125, 133, 134syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
136 eqimss 3386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13880adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13963adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
141139leidd 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
142 iccss 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
143138, 139, 140, 141, 142syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
144 ssun4 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
145143, 144syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14672, 80, 137, 145lecasei 9210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
147 sslin 3552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
148146, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
149 indi 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
150 inss2 3547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
151 unss2 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
152150, 151ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
153149, 152eqsstri 3364 . . . . . . . . . . . . . . . 16
154148, 153syl6ss 3346 . . . . . . . . . . . . . . 15
155 ovolss 19412 . . . . . . . . . . . . . . 15
156154, 110, 155syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14
15798, 123, 114, 156, 121letrd 9258 . . . . . . . . . . . . 13
15898, 112, 113lesubadd2d 9656 . . . . . . . . . . . . 13
159157, 158mpbird 225 . . . . . . . . . . . 12
16095, 159eqbrtrd 4257 . . . . . . . . . . 11
16197, 111resubcld 9496 . . . . . . . . . . . 12
162 simplr 733 . . . . . . . . . . . . 13
163162rpred 10679 . . . . . . . . . . . 12
164 lelttr 9196 . . . . . . . . . . . 12
165161, 113, 163, 164syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11
166160, 165mpand 658 . . . . . . . . . 10
167 abssubge0 12162 . . . . . . . . . . . 12
168167adantl 454 . . . . . . . . . . 11
169168breq1d 4247 . . . . . . . . . 10
170 ovolss 19412 . . . . . . . . . . . . . 14
171104, 106, 170syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13
172171, 94, 793brtr4d 4267 . . . . . . . . . . . 12
173111, 97, 172abssubge0d 12265 . . . . . . . . . . 11
174173breq1d 4247 . . . . . . . . . 10
175166, 169, 1743imtr4d 261 . . . . . . . . 9
17632, 42, 44, 62, 175wlogle 9591 . . . . . . . 8
177176anassrs 631 . . . . . . 7
178177ralrimiva 2795 . . . . . 6
179178anasss 630 . . . . 5
180179ancom2s 779 . . . 4
181 breq2 4241 . . . . . . 7
182181imbi1d 310 . . . . . 6
183182ralbidv 2731 . . . . 5
184183rspcev 3058 . . . 4
18522, 180, 184syl2anc 644 . . 3
186185ralrimivva 2804 . 2
187 ax-resscn 9078 . . 3
188 elcncf2 18951 . . 3
189187, 187, 188mp2an 655 . 2
19021, 186, 189sylanbrc 647 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1727  wral 2711  wrex 2712   cun 3304   cin 3305   wss 3306   class class class wbr 4237   cmpt 4291   cdm 4907  wf 5479  cfv 5483  (class class class)co 6110  cc 9019  cr 9020   caddc 9024   clt 9151   cle 9152   cmin 9322  crp 10643  cicc 10950  cabs 12070  ccncf 18937  covol 19390  cvol 19391 This theorem is referenced by:  volivth  19530 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ioo 10951  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-clim 12313  df-rlim 12314  df-sum 12511  df-rest 13681  df-topgen 13698  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-cmp 17481  df-cncf 18939  df-ovol 19392  df-vol 19393
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