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Theorem volcn 18961
Description: The function formed by restricting a measurable set to a closed interval with a varying endpoint produces an increasing continuous function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
volcn.1  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
volcn  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  ->  F  e.  ( RR -cn-> RR ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem volcn
Dummy variables  u  e  v  y  z 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  dom  vol )
2 iccmbl 18923 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( B [,] x
)  e.  dom  vol )
32adantll 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B [,] x )  e.  dom  vol )
4 inmbl 18899 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( B [,] x
)  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  ( B [,] x ) )  e.  dom  vol )
51, 3, 4syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  i^i  ( B [,] x ) )  e.  dom  vol )
6 mblvol 18889 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  ( B [,] x ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) )  =  ( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) ) )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) )  =  ( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) ) )
8 inss2 3390 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( B [,] x ) )  C_  ( B [,] x )
98a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  i^i  ( B [,] x ) )  C_  ( B [,] x ) )
10 mblss 18890 . . . . . 6  |-  ( ( B [,] x )  e.  dom  vol  ->  ( B [,] x ) 
C_  RR )
113, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B [,] x )  C_  RR )
12 mblvol 18889 . . . . . . 7  |-  ( ( B [,] x )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( B [,] x ) )  =  ( vol * `  ( B [,] x
) ) )
133, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol `  ( B [,] x ) )  =  ( vol * `  ( B [,] x
) ) )
14 iccvolcl 18924 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol `  ( B [,] x ) )  e.  RR )
1514adantll 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol `  ( B [,] x ) )  e.  RR )
1613, 15eqeltrrd 2358 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( B [,] x
) )  e.  RR )
17 ovolsscl 18845 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  ( B [,] x ) ) 
C_  ( B [,] x )  /\  ( B [,] x )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( B [,] x
) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) )  e.  RR )
189, 11, 16, 17syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) )  e.  RR )
197, 18eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) )  e.  RR )
20 volcn.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) ) )
2119, 20fmptd 5684 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  ->  F : RR --> RR )
22 simprr 733 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  RR  /\  e  e.  RR+ ) )  ->  e  e.  RR+ )
23 oveq12 5867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  =  z  /\  u  =  y )  ->  ( v  -  u
)  =  ( z  -  y ) )
2423ancoms 439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  y  /\  v  =  z )  ->  ( v  -  u
)  =  ( z  -  y ) )
2524fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  y  /\  v  =  z )  ->  ( abs `  (
v  -  u ) )  =  ( abs `  ( z  -  y
) ) )
2625breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  y  /\  v  =  z )  ->  ( ( abs `  (
v  -  u ) )  <  e  <->  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  e
) )
27 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  z  ->  ( F `  v )  =  ( F `  z ) )
28 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  y  ->  ( F `  u )  =  ( F `  y ) )
2927, 28oveqan12rd 5878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  y  /\  v  =  z )  ->  ( ( F `  v )  -  ( F `  u )
)  =  ( ( F `  z )  -  ( F `  y ) ) )
3029fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  y  /\  v  =  z )  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  ( F `
 u ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  y )
) ) )
3130breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  y  /\  v  =  z )  ->  ( ( abs `  (
( F `  v
)  -  ( F `
 u ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  y )
) )  <  e
) )
3226, 31imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  =  y  /\  v  =  z )  ->  ( ( ( abs `  ( v  -  u
) )  <  e  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  ( F `
 u ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) ) )
33 oveq12 5867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  =  y  /\  u  =  z )  ->  ( v  -  u
)  =  ( y  -  z ) )
3433ancoms 439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  z  /\  v  =  y )  ->  ( v  -  u
)  =  ( y  -  z ) )
3534fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  z  /\  v  =  y )  ->  ( abs `  (
v  -  u ) )  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
3635breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  z  /\  v  =  y )  ->  ( ( abs `  (
v  -  u ) )  <  e  <->  ( abs `  ( y  -  z
) )  <  e
) )
37 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  y  ->  ( F `  v )  =  ( F `  y ) )
38 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  ( F `  u )  =  ( F `  z ) )
3937, 38oveqan12rd 5878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  z  /\  v  =  y )  ->  ( ( F `  v )  -  ( F `  u )
)  =  ( ( F `  y )  -  ( F `  z ) ) )
4039fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  z  /\  v  =  y )  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  ( F `
 u ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  z )
) ) )
4140breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  z  /\  v  =  y )  ->  ( ( abs `  (
( F `  v
)  -  ( F `
 u ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  z )
) )  <  e
) )
4236, 41imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  =  z  /\  v  =  y )  ->  ( ( ( abs `  ( v  -  u
) )  <  e  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  ( F `
 u ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  z ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 z ) ) )  <  e ) ) )
43 ssid 3197 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR
4443a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  ->  RR  C_  RR )
45 recn 8827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  CC )
46 recn 8827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
47 abssub 11810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
z  -  y ) )  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
4845, 46, 47syl2anr 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( abs `  (
z  -  y ) )  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
4948adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  ->  ( abs `  ( z  -  y
) )  =  ( abs `  ( y  -  z ) ) )
5049breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  ->  ( ( abs `  ( z  -  y ) )  < 
e  <->  ( abs `  (
y  -  z ) )  <  e ) )
5121adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  ->  F : RR --> RR )
52 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y
)  e.  RR )
53 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( F `  z
)  e.  RR )
5452, 53anim12dan 810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( ( F `  y )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  e.  RR ) )
5551, 54sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  ->  ( ( F `  y )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  e.  RR ) )
56 recn 8827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  z )  e.  RR  ->  ( F `  z )  e.  CC )
57 recn 8827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  y )  e.  RR  ->  ( F `  y )  e.  CC )
58 abssub 11810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  ( F `  y )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  z )
) ) )
5956, 57, 58syl2anr 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  z )
) ) )
6055, 59syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  y )
) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  z ) ) ) )
6160breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  ( F `  y ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  z ) ) )  <  e ) )
6250, 61imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  ->  ( (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  z ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 z ) ) )  <  e ) ) )
63 simpr2 962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
z  e.  RR )
64 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  ( B [,] x )  =  ( B [,] z
) )
6564ineq2d 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  ( A  i^i  ( B [,] x ) )  =  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )
6665fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) )  =  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) ) )
67 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  e.  _V
6866, 20, 67fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  RR  ->  ( F `  z )  =  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) ) )
6963, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) ) )
70 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  ->  A  e.  dom  vol )
71 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
7271adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  ->  B  e.  RR )
73 iccmbl 18923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( B [,] z
)  e.  dom  vol )
7472, 63, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( B [,] z
)  e.  dom  vol )
75 inmbl 18899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( B [,] z
)  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  ( B [,] z ) )  e.  dom  vol )
7670, 74, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( A  i^i  ( B [,] z ) )  e.  dom  vol )
77 mblvol 18889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  i^i  ( B [,] z ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  =  ( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) ) )
7876, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  =  ( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) ) )
7969, 78eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( vol
* `  ( A  i^i  ( B [,] z
) ) ) )
80 simpr1 961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
y  e.  RR )
81 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  ( B [,] x )  =  ( B [,] y
) )
8281ineq2d 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( A  i^i  ( B [,] x ) )  =  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )
8382fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) )  =  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) ) )
84 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  e.  _V
8583, 20, 84fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR  ->  ( F `  y )  =  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) ) )
8680, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) ) )
87 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z )  ->  y  e.  RR )
88 iccmbl 18923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( B [,] y
)  e.  dom  vol )
8971, 87, 88syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( B [,] y
)  e.  dom  vol )
90 inmbl 18899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( B [,] y
)  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  ( B [,] y ) )  e.  dom  vol )
9170, 89, 90syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( A  i^i  ( B [,] y ) )  e.  dom  vol )
92 mblvol 18889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  =  ( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) ) )
9391, 92syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  =  ( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) ) )
9486, 93eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( vol
* `  ( A  i^i  ( B [,] y
) ) ) )
9579, 94oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  y )
)  =  ( ( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  -  ( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) ) ) )
9651adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  ->  F : RR --> RR )
9796, 63, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( F `  z
)  e.  RR )
9879, 97eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  e.  RR )
9972leidd 9339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  ->  B  <_  B )
100 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
y  <_  z )
101 iccss 10718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  z  e.  RR )  /\  ( B  <_  B  /\  y  <_  z
) )  ->  ( B [,] y )  C_  ( B [,] z ) )
10272, 63, 99, 100, 101syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( B [,] y
)  C_  ( B [,] z ) )
103 sslin 3395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B [,] y ) 
C_  ( B [,] z )  ->  ( A  i^i  ( B [,] y ) )  C_  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )
104102, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( A  i^i  ( B [,] y ) ) 
C_  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )
105 mblss 18890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  i^i  ( B [,] z ) )  e.  dom  vol  ->  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) 
C_  RR )
10676, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( A  i^i  ( B [,] z ) ) 
C_  RR )
107104, 106sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( A  i^i  ( B [,] y ) ) 
C_  RR )
108 iccssre 10731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y [,] z
)  C_  RR )
10980, 63, 108syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( y [,] z
)  C_  RR )
110107, 109unssd 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) 
C_  RR )
11196, 80, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( F `  y
)  e.  RR )
11294, 111eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  e.  RR )
11363, 80resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( z  -  y
)  e.  RR )
114112, 113readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  +  ( z  -  y ) )  e.  RR )
115 ovolicc 18882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z )  ->  ( vol * `  ( y [,] z ) )  =  ( z  -  y ) )
116115adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol * `  ( y [,] z
) )  =  ( z  -  y ) )
117116, 113eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol * `  ( y [,] z
) )  e.  RR )
118 ovolun 18858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( y [,] z )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( y [,] z
) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) )  <_  ( ( vol
* `  ( A  i^i  ( B [,] y
) ) )  +  ( vol * `  ( y [,] z
) ) ) )
119107, 112, 109, 117, 118syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol * `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) )  <_  ( ( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  +  ( vol * `  ( y [,] z
) ) ) )
120116oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  +  ( vol
* `  ( y [,] z ) ) )  =  ( ( vol
* `  ( A  i^i  ( B [,] y
) ) )  +  ( z  -  y
) ) )
121119, 120breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol * `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) )  <_  ( ( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  +  ( z  -  y ) ) )
122 ovollecl 18842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) 
C_  RR  /\  (
( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  +  ( z  -  y ) )  e.  RR  /\  ( vol * `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) )  <_  ( ( vol
* `  ( A  i^i  ( B [,] y
) ) )  +  ( z  -  y
) ) )  -> 
( vol * `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) )  e.  RR )
123110, 114, 121, 122syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol * `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) )  e.  RR )
12472adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  B  e.  RR )
12563adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  z  e.  RR )
12680adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
127 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  B  <_  y )
128100adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  y  <_  z )
129 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z )  ->  z  e.  RR )
130 elicc2 10715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( B [,] z )  <-> 
( y  e.  RR  /\  B  <_  y  /\  y  <_  z ) ) )
13171, 129, 130syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( y  e.  ( B [,] z )  <-> 
( y  e.  RR  /\  B  <_  y  /\  y  <_  z ) ) )
132131adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  ( y  e.  ( B [,] z
)  <->  ( y  e.  RR  /\  B  <_ 
y  /\  y  <_  z ) ) )
133126, 127, 128, 132mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  y  e.  ( B [,] z ) )
134 iccsplit 10768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  e.  ( B [,] z
) )  ->  ( B [,] z )  =  ( ( B [,] y )  u.  (
y [,] z ) ) )
135124, 125, 133, 134syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  ( B [,] z )  =  ( ( B [,] y
)  u.  ( y [,] z ) ) )
136 eqimss 3230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B [,] z )  =  ( ( B [,] y )  u.  ( y [,] z
) )  ->  ( B [,] z )  C_  ( ( B [,] y )  u.  (
y [,] z ) ) )
137135, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  ( B [,] z )  C_  (
( B [,] y
)  u.  ( y [,] z ) ) )
13880adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  B
)  ->  y  e.  RR )
13963adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  B
)  ->  z  e.  RR )
140 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  B
)  ->  y  <_  B )
141139leidd 9339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  B
)  ->  z  <_  z )
142 iccss 10718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  /\  ( y  <_  B  /\  z  <_  z
) )  ->  ( B [,] z )  C_  ( y [,] z
) )
143138, 139, 140, 141, 142syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  B
)  ->  ( B [,] z )  C_  (
y [,] z ) )
144 ssun4 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B [,] z ) 
C_  ( y [,] z )  ->  ( B [,] z )  C_  ( ( B [,] y )  u.  (
y [,] z ) ) )
145143, 144syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  B
)  ->  ( B [,] z )  C_  (
( B [,] y
)  u.  ( y [,] z ) ) )
14672, 80, 137, 145lecasei 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( B [,] z
)  C_  ( ( B [,] y )  u.  ( y [,] z
) ) )
147 sslin 3395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B [,] z ) 
C_  ( ( B [,] y )  u.  ( y [,] z
) )  ->  ( A  i^i  ( B [,] z ) )  C_  ( A  i^i  (
( B [,] y
)  u.  ( y [,] z ) ) ) )
148146, 147syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( A  i^i  ( B [,] z ) ) 
C_  ( A  i^i  ( ( B [,] y )  u.  (
y [,] z ) ) ) )
149 indi 3415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  i^i  ( ( B [,] y )  u.  ( y [,] z
) ) )  =  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( A  i^i  ( y [,] z ) ) )
150 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  i^i  ( y [,] z ) )  C_  ( y [,] z
)
151 unss2 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  i^i  ( y [,] z ) ) 
C_  ( y [,] z )  ->  (
( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( A  i^i  ( y [,] z
) ) )  C_  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) )
152150, 151ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( A  i^i  ( y [,] z
) ) )  C_  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) )
153149, 152eqsstri 3208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  i^i  ( ( B [,] y )  u.  ( y [,] z
) ) )  C_  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) )
154148, 153syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( A  i^i  ( B [,] z ) ) 
C_  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z
) ) )
155 ovolss 18844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  i^i  ( B [,] z ) ) 
C_  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z
) )  /\  (
( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) )  C_  RR )  ->  ( vol
* `  ( A  i^i  ( B [,] z
) ) )  <_ 
( vol * `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) ) )
156154, 110, 155syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  <_  ( vol * `
 ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z
) ) ) )
15798, 123, 114, 156, 121letrd 8973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  <_  ( ( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  +  ( z  -  y ) ) )
15898, 112, 113lesubadd2d 9371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( ( vol
* `  ( A  i^i  ( B [,] z
) ) )  -  ( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) ) )  <_  ( z  -  y )  <->  ( vol * `
 ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  <_  (
( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  +  ( z  -  y ) ) ) )
159157, 158mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  -  ( vol
* `  ( A  i^i  ( B [,] y
) ) ) )  <_  ( z  -  y ) )
16095, 159eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  y )
)  <_  ( z  -  y ) )
16197, 111resubcld 9211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  y )
)  e.  RR )
162 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
e  e.  RR+ )
163162rpred 10390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
e  e.  RR )
164 lelttr 8912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  y )
)  e.  RR  /\  ( z  -  y
)  e.  RR  /\  e  e.  RR )  ->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  y ) )  <_ 
( z  -  y
)  /\  ( z  -  y )  < 
e )  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) )  <  e ) )
165161, 113, 163, 164syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  y ) )  <_ 
( z  -  y
)  /\  ( z  -  y )  < 
e )  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) )  <  e ) )
166160, 165mpand 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( z  -  y )  <  e  ->  ( ( F `  z )  -  ( F `  y )
)  <  e )
)
167 abssubge0 11811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( z  -  y
) )
168167adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( abs `  (
z  -  y ) )  =  ( z  -  y ) )
169168breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  e  <->  ( z  -  y )  < 
e ) )
170 ovolss 18844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  i^i  ( B [,] y ) ) 
C_  ( A  i^i  ( B [,] z ) )  /\  ( A  i^i  ( B [,] z ) )  C_  RR )  ->  ( vol
* `  ( A  i^i  ( B [,] y
) ) )  <_ 
( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) ) )
171104, 106, 170syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol * `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  <_  ( vol * `
 ( A  i^i  ( B [,] z ) ) ) )
172171, 94, 793brtr4d 4053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( F `  y
)  <_  ( F `  z ) )
173111, 97, 172abssubge0d 11914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  =  ( ( F `  z )  -  ( F `  y ) ) )
174173breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e  <->  ( ( F `  z )  -  ( F `  y ) )  < 
e ) )
175166, 169, 1743imtr4d 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
17632, 42, 44, 62, 175wlogle 9306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  ->  ( ( abs `  ( z  -  y ) )  < 
e  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  y )
) )  <  e
) )
177176anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  e  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
178177ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR )  ->  A. z  e.  RR  ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  e  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
179178anasss 628 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  ( e  e.  RR+  /\  y  e.  RR ) )  ->  A. z  e.  RR  ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  e  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
180179ancom2s 777 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  RR  /\  e  e.  RR+ ) )  ->  A. z  e.  RR  ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  e  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
181 breq2 4027 . . . . . . 7  |-  ( d  =  e  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  <->  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  e
) )
182181imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( d  =  e  ->  (
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) ) )
183182ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( d  =  e  ->  ( A. z  e.  RR  ( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e )  <->  A. z  e.  RR  ( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) ) )
184183rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( e  e.  RR+  /\  A. z  e.  RR  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  RR  ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
18522, 180, 184syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  RR  /\  e  e.  RR+ ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  RR  ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
186185ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  ->  A. y  e.  RR  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  RR  ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
187 ax-resscn 8794 . . 3  |-  RR  C_  CC
188 elcncf2 18394 . . 3  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( RR -cn-> RR )  <->  ( F : RR
--> RR  /\  A. y  e.  RR  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  RR  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) ) ) )
189187, 187, 188mp2an 653 . 2  |-  ( F  e.  ( RR -cn-> RR )  <->  ( F : RR
--> RR  /\  A. y  e.  RR  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  RR  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) ) )
19021, 186, 189sylanbrc 645 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  ->  F  e.  ( RR -cn-> RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   RR+crp 10354   [,]cicc 10659   abscabs 11719   -cn->ccncf 18380   vol *covol 18822   volcvol 18823
This theorem is referenced by:  volivth  18962
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-cncf 18382  df-ovol 18824  df-vol 18825
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