Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  volivth Structured version   Unicode version

Theorem volivth 19499
 Description: The Intermediate Value Theorem for the Lebesgue volume function. For any positive , there is a measurable subset of whose volume is . (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
volivth
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem volivth
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . . 4
2 mnfxr 10714 . . . . . 6
32a1i 11 . . . . 5
4 iccssxr 10993 . . . . . . 7
5 simpr 448 . . . . . . 7
64, 5sseldi 3346 . . . . . 6
76adantr 452 . . . . 5
8 iccssxr 10993 . . . . . . . 8
9 volf 19425 . . . . . . . . 9
109ffvelrni 5869 . . . . . . . 8
118, 10sseldi 3346 . . . . . . 7
1211adantr 452 . . . . . 6
1312adantr 452 . . . . 5
14 0xr 9131 . . . . . . . . . 10
15 elicc1 10960 . . . . . . . . . 10
1614, 12, 15sylancr 645 . . . . . . . . 9
175, 16mpbid 202 . . . . . . . 8
1817simp2d 970 . . . . . . 7
1918adantr 452 . . . . . 6
20 0re 9091 . . . . . . . . 9
21 mnflt 10722 . . . . . . . . 9
2220, 21ax-mp 8 . . . . . . . 8
23 xrltletr 10747 . . . . . . . 8
2422, 23mpani 658 . . . . . . 7
252, 14, 24mp3an12 1269 . . . . . 6
267, 19, 25sylc 58 . . . . 5
27 simpr 448 . . . . 5
28 xrre2 10758 . . . . 5
293, 7, 13, 26, 27, 28syl32anc 1192 . . . 4
30 volsup2 19497 . . . 4
311, 29, 27, 30syl3anc 1184 . . 3
32 nnre 10007 . . . . . . 7
3332ad2antrl 709 . . . . . 6
3433renegcld 9464 . . . . 5
3529adantr 452 . . . . 5
3620a1i 11 . . . . . 6
37 nngt0 10029 . . . . . . . 8
3837ad2antrl 709 . . . . . . 7
3933lt0neg2d 9597 . . . . . . 7
4038, 39mpbid 202 . . . . . 6
4134, 36, 33, 40, 38lttrd 9231 . . . . 5
42 iccssre 10992 . . . . . 6
4334, 33, 42syl2anc 643 . . . . 5
44 ax-resscn 9047 . . . . . . 7
45 ssid 3367 . . . . . . 7
46 cncfss 18929 . . . . . . 7
4744, 45, 46mp2an 654 . . . . . 6
481adantr 452 . . . . . . 7
49 eqid 2436 . . . . . . . 8
5049volcn 19498 . . . . . . 7
5148, 34, 50syl2anc 643 . . . . . 6
5247, 51sseldi 3346 . . . . 5
5343sselda 3348 . . . . . 6
54 cncff 18923 . . . . . . . 8
5551, 54syl 16 . . . . . . 7
5655ffvelrnda 5870 . . . . . 6
5753, 56syldan 457 . . . . 5
58 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . 12
5958ineq2d 3542 . . . . . . . . . . 11
6059fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10
61 fvex 5742 . . . . . . . . . 10
6260, 49, 61fvmpt 5806 . . . . . . . . 9
6334, 62syl 16 . . . . . . . 8
64 inss2 3562 . . . . . . . . . . . 12
6534rexrd 9134 . . . . . . . . . . . . 13
66 iccid 10961 . . . . . . . . . . . . 13
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . 12
6864, 67syl5sseq 3396 . . . . . . . . . . 11
6934snssd 3943 . . . . . . . . . . 11
7068, 69sstrd 3358 . . . . . . . . . 10
71 ovolsn 19391 . . . . . . . . . . . 12
7234, 71syl 16 . . . . . . . . . . 11
73 ovolssnul 19383 . . . . . . . . . . 11
7468, 69, 72, 73syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
75 nulmbl 19430 . . . . . . . . . 10
7670, 74, 75syl2anc 643 . . . . . . . . 9
77 mblvol 19426 . . . . . . . . 9
7876, 77syl 16 . . . . . . . 8
7963, 78, 743eqtrd 2472 . . . . . . 7
8019adantr 452 . . . . . . 7
8179, 80eqbrtrd 4232 . . . . . 6
82 simprr 734 . . . . . . . 8
837adantr 452 . . . . . . . . 9
84 iccmbl 19460 . . . . . . . . . . . 12
8534, 33, 84syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
86 inmbl 19436 . . . . . . . . . . 11
8748, 85, 86syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
889ffvelrni 5869 . . . . . . . . . . 11
898, 88sseldi 3346 . . . . . . . . . 10
9087, 89syl 16 . . . . . . . . 9
91 xrltle 10742 . . . . . . . . 9
9283, 90, 91syl2anc 643 . . . . . . . 8
9382, 92mpd 15 . . . . . . 7
94 oveq2 6089 . . . . . . . . . . 11
9594ineq2d 3542 . . . . . . . . . 10
9695fveq2d 5732 . . . . . . . . 9
97 fvex 5742 . . . . . . . . 9
9896, 49, 97fvmpt 5806 . . . . . . . 8
9933, 98syl 16 . . . . . . 7
10093, 99breqtrrd 4238 . . . . . 6
10181, 100jca 519 . . . . 5
10234, 33, 35, 41, 43, 52, 57, 101ivthle 19353 . . . 4
10343sselda 3348 . . . . . . . 8
104 oveq2 6089 . . . . . . . . . . 11
105104ineq2d 3542 . . . . . . . . . 10
106105fveq2d 5732 . . . . . . . . 9
107 fvex 5742 . . . . . . . . 9
108106, 49, 107fvmpt 5806 . . . . . . . 8
109103, 108syl 16 . . . . . . 7
110109eqeq1d 2444 . . . . . 6
11148adantr 452 . . . . . . . . 9
11234adantr 452 . . . . . . . . . 10
113103adantrr 698 . . . . . . . . . 10
114 iccmbl 19460 . . . . . . . . . 10
115112, 113, 114syl2anc 643 . . . . . . . . 9
116 inmbl 19436 . . . . . . . . 9
117111, 115, 116syl2anc 643 . . . . . . . 8
118 inss1 3561 . . . . . . . . 9
119118a1i 11 . . . . . . . 8
120 simprr 734 . . . . . . . 8
121 sseq1 3369 . . . . . . . . . 10
122 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11
123122eqeq1d 2444 . . . . . . . . . 10
124121, 123anbi12d 692 . . . . . . . . 9
125124rspcev 3052 . . . . . . . 8
126117, 119, 120, 125syl12anc 1182 . . . . . . 7
127126expr 599 . . . . . 6
128110, 127sylbid 207 . . . . 5
129128rexlimdva 2830 . . . 4
130102, 129mpd 15 . . 3
13131, 130rexlimddv 2834 . 2
132 simpll 731 . . 3
133 ssid 3367 . . . 4
134133a1i 11 . . 3
135 simpr 448 . . . 4
136135eqcomd 2441 . . 3
137 sseq1 3369 . . . . 5
138 fveq2 5728 . . . . . 6
139138eqeq1d 2444 . . . . 5
140137, 139anbi12d 692 . . . 4
141140rspcev 3052 . . 3
142132, 134, 136, 141syl12anc 1182 . 2
14317simp3d 971 . . 3
144 xrleloe 10737 . . . 4
1456, 12, 144syl2anc 643 . . 3
146143, 145mpbid 202 . 2
147131, 142, 146mpjaodan 762 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2706   cin 3319   wss 3320  csn 3814   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cdm 4878  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  cr 8989  cc0 8990   cpnf 9117   cmnf 9118  cxr 9119   clt 9120   cle 9121  cneg 9292  cn 10000  cicc 10919  ccncf 18906  covol 19359  cvol 19360 This theorem is referenced by:  itg2const2  19633 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cmp 17450  df-cncf 18908  df-ovol 19361  df-vol 19362
 Copyright terms: Public domain W3C validator