Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volmeas Structured version   Unicode version

Theorem volmeas 24589
Description: The Lebesgue measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volmeas  |-  vol  e.  (measures `  dom  vol )

Proof of Theorem volmeas
Dummy variables  f  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 volf 19427 . 2  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] 
+oo )
2 0mbl 19436 . . . 4  |-  (/)  e.  dom  vol
3 mblvol 19428 . . . 4  |-  ( (/)  e.  dom  vol  ->  ( vol `  (/) )  =  ( vol * `  (/) ) )
42, 3ax-mp 8 . . 3  |-  ( vol `  (/) )  =  ( vol * `  (/) )
5 ovol0 19391 . . 3  |-  ( vol
* `  (/) )  =  0
64, 5eqtri 2458 . 2  |-  ( vol `  (/) )  =  0
7 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x
y ) )  /\  x  e.  Fin )  ->  x  e.  Fin )
8 nfv 1630 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  e.  ~P dom  vol
9 nfv 1630 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  x  ~<_  om
10 nfdisj1 4197 . . . . . . . . . 10  |-  F/ yDisj  y  e.  x y
119, 10nfan 1847 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x y )
128, 11nfan 1847 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x
y ) )
13 nfv 1630 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x  e.  Fin
1412, 13nfan 1847 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x y ) )  /\  x  e.  Fin )
15 elpwi 3809 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P dom  vol  ->  x  C_  dom  vol )
1615ad3antrrr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x y ) )  /\  x  e.  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  x  C_  dom  vol )
17 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x y ) )  /\  x  e.  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
1816, 17sseldd 3351 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x y ) )  /\  x  e.  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  dom  vol )
1918ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x
y ) )  /\  x  e.  Fin )  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  dom  vol ) )
2014, 19ralrimi 2789 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x
y ) )  /\  x  e.  Fin )  ->  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )
21 simplrr 739 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x
y ) )  /\  x  e.  Fin )  -> Disj  y  e.  x y
)
22 uniiun 4146 . . . . . . . 8  |-  U. x  =  U_ y  e.  x  y
2322fveq2i 5733 . . . . . . 7  |-  ( vol `  U. x )  =  ( vol `  U_ y  e.  x  y )
24 volfiniune 24588 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol  /\ Disj  y  e.  x y )  ->  ( vol `  U_ y  e.  x  y )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) )
2523, 24syl5eq 2482 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol  /\ Disj  y  e.  x y )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) )
267, 20, 21, 25syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x
y ) )  /\  x  e.  Fin )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) )
27 bren 7119 . . . . . 6  |-  ( NN 
~~  x  <->  E. f 
f : NN -1-1-onto-> x )
28 nfv 1630 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )
29 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n x
30 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n NN
31 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
f
32 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( f `  n )  ->  ( vol `  y )  =  ( vol `  (
f `  n )
) )
33 simpl 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  f : NN -1-1-onto-> x
)  ->  x  e.  ~P dom  vol )
34 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  f : NN -1-1-onto-> x
)  ->  f : NN
-1-1-onto-> x )
35 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  /\  n  e.  NN )  ->  (
f `  n )  =  ( f `  n ) )
361a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  /\  y  e.  x )  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,]  +oo ) )
3715adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  f : NN -1-1-onto-> x
)  ->  x  C_  dom  vol )
3837sselda 3350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  dom  vol )
3936, 38ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  /\  y  e.  x )  ->  ( vol `  y )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
4028, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 39esumf1o 24447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  f : NN -1-1-onto-> x
)  -> Σ* y  e.  x
( vol `  y
)  = Σ* n  e.  NN ( vol `  ( f `
 n ) ) )
4140adantlr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x
y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  -> Σ* y  e.  x
( vol `  y
)  = Σ* n  e.  NN ( vol `  ( f `
 n ) ) )
4215ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x
)  /\  n  e.  NN )  ->  x  C_  dom  vol )
43 f1of 5676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  f : NN --> x )
4443adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x
y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  f : NN --> x )
4544ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( f `
 n )  e.  x )
4642, 45sseldd 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( f `
 n )  e. 
dom  vol )
4746ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x
y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  dom  vol )
48 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x
y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  f : NN -1-1-onto-> x )
49 simplrr 739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x
y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  -> Disj  y  e.  x y )
50 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  f : NN -1-1-onto-> x )
51 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN -1-1-onto-> x  /\  y  =  ( f `  n ) )  -> 
y  =  ( f `
 n ) )
5250, 51disjrdx 24033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  (Disj  n  e.  NN ( f `  n )  <-> Disj  y  e.  x
y ) )
5352biimpar 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN -1-1-onto-> x  /\ Disj  y  e.  x y )  -> Disj  n  e.  NN ( f `
 n ) )
5448, 49, 53syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x
y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  -> Disj  n  e.  NN ( f `  n ) )
55 voliune 24587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( f `  n
)  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  NN ( f `
 n ) )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  ( f `  n
) ) )
5647, 54, 55syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x
y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  ( f `  n
) ) )
57 f1ofo 5683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  f : NN -onto-> x )
5857, 51iunrdx 24016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U_ y  e.  x  y
)
5958, 22syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U. x )
6059fveq2d 5734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n
) )  =  ( vol `  U. x
) )
6160adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x
y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  =  ( vol `  U. x ) )
6241, 56, 613eqtr2rd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x
y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) )
6362ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x y ) )  ->  (
f : NN -1-1-onto-> x  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) ) )
6463exlimdv 1647 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x y ) )  ->  ( E. f  f : NN
-1-1-onto-> x  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) ) )
6564imp 420 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x
y ) )  /\  E. f  f : NN -1-1-onto-> x
)  ->  ( vol ` 
U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) )
6627, 65sylan2b 463 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x
y ) )  /\  NN  ~~  x )  -> 
( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) )
67 brdom2 7139 . . . . . . 7  |-  ( x  ~<_  om  <->  ( x  ~<  om  \/  x  ~~  om ) )
68 isfinite2 7367 . . . . . . . 8  |-  ( x 
~<  om  ->  x  e.  Fin )
69 ensymb 7157 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
~~  om  <->  om  ~~  x )
70 nnenom 11321 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~~  om
71 entr 7161 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( NN  ~~  om  /\  om 
~~  x )  ->  NN  ~~  x )
7270, 71mpan 653 . . . . . . . . 9  |-  ( om 
~~  x  ->  NN  ~~  x )
7369, 72sylbi 189 . . . . . . . 8  |-  ( x 
~~  om  ->  NN  ~~  x )
7468, 73orim12i 504 . . . . . . 7  |-  ( ( x  ~<  om  \/  x  ~~  om )  ->  (
x  e.  Fin  \/  NN  ~~  x ) )
7567, 74sylbi 189 . . . . . 6  |-  ( x  ~<_  om  ->  ( x  e.  Fin  \/  NN  ~~  x ) )
7675ad2antrl 710 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x y ) )  ->  (
x  e.  Fin  \/  NN  ~~  x ) )
7726, 66, 76mpjaodan 763 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x y ) )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) )
7877ex 425 . . 3  |-  ( x  e.  ~P dom  vol  ->  ( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x y )  ->  ( vol ` 
U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) ) )
7978rgen 2773 . 2  |-  A. x  e.  ~P  dom  vol (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x y )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) )
80 fvssunirn 5756 . . . 4  |-  (sigAlgebra `  RR )  C_  U. ran sigAlgebra
81 dmvlsiga 24514 . . . 4  |-  dom  vol  e.  (sigAlgebra `  RR )
8280, 81sselii 3347 . . 3  |-  dom  vol  e.  U. ran sigAlgebra
83 ismeas 24555 . . 3  |-  ( dom 
vol  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( vol  e.  (measures `  dom  vol )  <->  ( vol : dom  vol --> ( 0 [,] 
+oo )  /\  ( vol `  (/) )  =  0  /\  A. x  e. 
~P  dom  vol (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x y )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) ) ) ) )
8482, 83ax-mp 8 . 2  |-  ( vol 
e.  (measures `  dom  vol )  <->  ( vol : dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( vol `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  dom  vol (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x y )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) ) ) )
851, 6, 79, 84mpbir3an 1137 1  |-  vol  e.  (measures `  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   U_ciun 4095  Disj wdisj 4184   class class class wbr 4214   omcom 4847   dom cdm 4880   ran crn 4881   -->wf 5452   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ~~ cen 7108    ~<_ cdom 7109    ~< csdm 7110   Fincfn 7111   RRcr 8991   0cc0 8992    +oocpnf 9119   NNcn 10002   [,]cicc 10921   vol *covol 19361   volcvol 19362  Σ*cesum 24426  sigAlgebracsiga 24492  measurescmeas 24551
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cc 8317  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-ordt 13727  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-ps 14631  df-tsr 14632  df-mnd 14692  df-plusf 14693  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-subrg 15868  df-abv 15907  df-lmod 15954  df-scaf 15955  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-tmd 18104  df-tgp 18105  df-tsms 18158  df-trg 18191  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-nm 18632  df-ngp 18633  df-nrg 18635  df-nlm 18636  df-ii 18909  df-cncf 18910  df-ovol 19363  df-vol 19364  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456  df-esum 24427  df-siga 24493  df-meas 24552
  Copyright terms: Public domain W3C validator