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Theorem volsup 19318
Description: The volume of the limit of an increasing sequence of measurable sets is the limit of the volumes. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
volsup  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable group:    n, F

Proof of Theorem volsup
Dummy variables  j 
k  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 5808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  dom  vol )
21ad2ant2r 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( F `  k
)  e.  dom  vol )
3 fzofi 11241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1..^ k )  e.  Fin
4 simpll 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  ->  F : NN --> dom  vol )
5 elfzouz 11075 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1..^ k )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
6 nnuz 10454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
75, 6syl6eleqr 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1..^ k )  ->  m  e.  NN )
8 ffvelrn 5808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m )  e.  dom  vol )
94, 7, 8syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  /\  m  e.  ( 1..^ k ) )  -> 
( F `  m
)  e.  dom  vol )
109ralrimiva 2733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  ->  A. m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m )  e.  dom  vol )
11 finiunmbl 19306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1..^ k )  e.  Fin  /\  A. m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m )  e. 
dom  vol )  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
)  e.  dom  vol )
123, 10, 11sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  ->  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m )  e.  dom  vol )
13 difmbl 19305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  dom  vol  /\ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m )  e.  dom  vol )  ->  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) )  e.  dom  vol )
142, 12, 13syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) )  e.  dom  vol )
15 mblvol 19294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) )  =  ( vol * `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) )  =  ( vol * `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) )
17 difssd 3419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) 
C_  ( F `  k ) )
18 mblss 19295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  k )  e.  dom  vol  ->  ( F `  k ) 
C_  RR )
192, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( F `  k
)  C_  RR )
20 mblvol 19294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  k )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( F `
 k ) )  =  ( vol * `  ( F `  k
) ) )
212, 20syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( F `  k )
)  =  ( vol
* `  ( F `  k ) ) )
22 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )
2321, 22eqeltrrd 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( vol * `  ( F `  k ) )  e.  RR )
24 ovolsscl 19250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) 
C_  ( F `  k )  /\  ( F `  k )  C_  RR  /\  ( vol
* `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) )  e.  RR )
2517, 19, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( vol * `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) )  e.  RR )
2616, 25eqeltrd 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) )  e.  RR )
2714, 26jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) )  e.  RR ) )
2827expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) )  e.  RR ) ) )
2928ralimdva 2728 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  A. k  e.  NN  (
( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) )  e.  RR ) ) )
3029imp 419 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  A. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) )  e.  RR ) )
31 fveq2 5669 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
3231iundisj2 19311 . . . . 5  |- Disj  k  e.  NN ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) )
33 eqid 2388 . . . . . 6  |-  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) )
34 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) )
3533, 34voliun 19316 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  NN ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) ) )  ->  ( vol `  U_ k  e.  NN  ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) ) )  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
3630, 32, 35sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ( vol `  U_ k  e.  NN  ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) ) )  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
3731iundisj 19310 . . . . . 6  |-  U_ k  e.  NN  ( F `  k )  =  U_ k  e.  NN  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) )
38 ffn 5532 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  F  Fn  NN )
3938ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  F  Fn  NN )
40 fniunfv 5934 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  NN  ->  U_ k  e.  NN  ( F `  k )  =  U. ran  F )
4139, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  U_ k  e.  NN  ( F `  k )  =  U. ran  F
)
4237, 41syl5eqr 2434 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  U_ k  e.  NN  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) )  =  U. ran  F
)
4342fveq2d 5673 . . . 4  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ( vol `  U_ k  e.  NN  ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) ) )  =  ( vol `  U. ran  F ) )
44 1z 10244 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
45 seqfn 11263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
4644, 45ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
)
476fneq2i 5481 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  Fn  NN  <->  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
4846, 47mpbir 201 . . . . . . . . 9  |-  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  Fn  NN
4948a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) )  Fn  NN )
50 volf 19293 . . . . . . . . . 10  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] 
+oo )
51 simpll 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  F : NN --> dom  vol )
52 fco 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol : dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )  /\  F : NN --> dom  vol )  ->  ( vol  o.  F ) : NN --> ( 0 [,]  +oo ) )
5350, 51, 52sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ( vol  o.  F ) : NN --> ( 0 [,]  +oo ) )
54 ffn 5532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol  o.  F ) : NN --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( vol  o.  F )  Fn  NN )
5553, 54syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ( vol  o.  F )  Fn  NN )
56 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 x )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) ` 
1 ) )
57 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
5857fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  ( vol `  ( F `  x ) )  =  ( vol `  ( F `  1 )
) )
5956, 58eqeq12d 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) `  x )  =  ( vol `  ( F `
 x ) )  <-> 
(  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( vol `  ( F `
 1 ) ) ) )
6059imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 x )  =  ( vol `  ( F `  x )
) )  <->  ( (
( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 1 )  =  ( vol `  ( F `  1 )
) ) ) )
61 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  j  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 x )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) `  j ) )
62 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  j  ->  ( F `  x )  =  ( F `  j ) )
6362fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  j  ->  ( vol `  ( F `  x ) )  =  ( vol `  ( F `  j )
) )
6461, 63eqeq12d 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  j  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) `  x )  =  ( vol `  ( F `
 x ) )  <-> 
(  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) `  j )  =  ( vol `  ( F `
 j ) ) ) )
6564imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  j  ->  (
( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 x )  =  ( vol `  ( F `  x )
) )  <->  ( (
( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( vol `  ( F `  j )
) ) ) )
66 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 x )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) ) )
67 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
6867fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  ( vol `  ( F `  x ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) )
6966, 68eqeq12d 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) `  x )  =  ( vol `  ( F `
 x ) )  <-> 
(  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( F `
 ( j  +  1 ) ) ) ) )
7069imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 x )  =  ( vol `  ( F `  x )
) )  <->  ( (
( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
71 seq1 11264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 1 )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) `
 1 ) )
7244, 71ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 1 )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) `
 1 )
73 1nn 9944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN
74 oveq2 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  1  ->  (
1..^ k )  =  ( 1..^ 1 ) )
75 fzo0 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1..^ 1 )  =  (/)
7674, 75syl6eq 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  1  ->  (
1..^ k )  =  (/) )
7776iuneq1d 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  1  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
)  =  U_ m  e.  (/)  ( F `  m ) )
78 0iun 4090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U_ m  e.  (/)  ( F `  m )  =  (/)
7977, 78syl6eq 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  1  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
)  =  (/) )
8079difeq2d 3409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  1  ->  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) )  =  ( ( F `  k
)  \  (/) ) )
81 dif0 3642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  k ) 
\  (/) )  =  ( F `  k )
8280, 81syl6eq 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  1  ->  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) )  =  ( F `  k ) )
83 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
8482, 83eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  1  ->  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) )  =  ( F `  1 ) )
8584fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  1  ->  ( vol `  ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) ) )  =  ( vol `  ( F `
 1 ) ) )
86 fvex 5683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( vol `  ( F `  1
) )  e.  _V
8785, 34, 86fvmpt 5746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( vol `  ( F `
 1 ) ) )
8873, 87ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( vol `  ( F `
 1 ) )
8972, 88eqtri 2408 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 1 )  =  ( vol `  ( F `  1 )
)
9089a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 1 )  =  ( vol `  ( F `  1 )
) )
91 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) ) `  j )  =  ( vol `  ( F `  j )
)  ->  ( (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( vol `  ( F `  j
) )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) ) ) )
92 seqp1 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) ) )
9392, 6eleq2s 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) ) )
9493adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) ) )
95 undif2 3648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  j )  u.  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( F `  j
) ) )  =  ( ( F `  j )  u.  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
96 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
97 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )
98 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  j  ->  ( F `  n )  =  ( F `  j ) )
99 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  j  ->  (
n  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
10099fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  j  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
10198, 100sseq12d 3321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  j  ->  (
( F `  n
)  C_  ( F `  ( n  +  1 ) )  <->  ( F `  j )  C_  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) )
102101rspcv 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( F `  j )  C_  ( F `  (
j  +  1 ) ) ) )
10396, 97, 102sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  C_  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
104 ssequn1 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  j ) 
C_  ( F `  ( j  +  1 ) )  <->  ( ( F `  j )  u.  ( F `  (
j  +  1 ) ) )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
105103, 104sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( F `
 j )  u.  ( F `  (
j  +  1 ) ) )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
10695, 105syl5req 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( F `  j
)  u.  ( ( F `  ( j  +  1 ) ) 
\  ( F `  j ) ) ) )
107106fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( vol `  ( ( F `  j )  u.  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) ) ) )
108 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  F : NN --> dom  vol )
109108, 96ffvelrnd 5811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  dom  vol )
110 peano2nn 9945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
111110adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
112108, 111ffvelrnd 5811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  ( j  +  1 ) )  e.  dom  vol )
113 difmbl 19305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  (
j  +  1 ) )  e.  dom  vol  /\  ( F `  j
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( F `  j
) )  e.  dom  vol )
114112, 109, 113syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( F `  j
) )  e.  dom  vol )
115 disjdif 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  j )  i^i  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( F `  j
) ) )  =  (/)
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( F `
 j )  i^i  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  ( F `  j )
) )  =  (/) )
117 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR )
118 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
119118fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  j  ->  ( vol `  ( F `  k ) )  =  ( vol `  ( F `  j )
) )
120119eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR  <->  ( vol `  ( F `  j
) )  e.  RR ) )
121120rspcv 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR  ->  ( vol `  ( F `  j ) )  e.  RR ) )
12296, 117, 121sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  j )
)  e.  RR )
123 mblvol 19294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) ) 
\  ( F `  j ) ) )  =  ( vol * `  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  ( F `  j )
) ) )
124114, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) )  =  ( vol
* `  ( ( F `  ( j  +  1 ) ) 
\  ( F `  j ) ) ) )
125 difssd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( F `  j
) )  C_  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
126 mblss 19295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  e.  dom  vol  ->  ( F `  ( j  +  1 ) ) 
C_  RR )
127112, 126syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  ( j  +  1 ) )  C_  RR )
128 mblvol 19294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( F `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( vol * `  ( F `  (
j  +  1 ) ) ) )
129112, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( vol
* `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) )
130 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
131130fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( vol `  ( F `  k ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) )
132131eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR  <->  ( vol `  ( F `  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
133132rspcv 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR  ->  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
134111, 117, 133sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
135129, 134eqeltrrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol * `  ( F `  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
136 ovolsscl 19250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  ( F `  j )
)  C_  ( F `  ( j  +  1 ) )  /\  ( F `  ( j  +  1 ) ) 
C_  RR  /\  ( vol * `  ( F `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  ( F `  j )
) )  e.  RR )
137125, 127, 135, 136syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol * `  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  ( F `  j )
) )  e.  RR )
138124, 137eqeltrd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) )  e.  RR )
139 volun 19307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  j )  e.  dom  vol 
/\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( F `  j
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( F `
 j )  i^i  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  ( F `  j )
) )  =  (/) )  /\  ( ( vol `  ( F `  j
) )  e.  RR  /\  ( vol `  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( ( F `  j )  u.  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) ) )  =  ( ( vol `  ( F `  j )
)  +  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  ( F `  j )
) ) ) )
140109, 114, 116, 122, 138, 139syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  (
( F `  j
)  u.  ( ( F `  ( j  +  1 ) ) 
\  ( F `  j ) ) ) )  =  ( ( vol `  ( F `
 j ) )  +  ( vol `  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) ) ) )
14197adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... j
) )  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
142 elfznn 11013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( m  e.  ( 1 ... j )  ->  m  e.  NN )
143142adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... j
) )  ->  m  e.  NN )
144 elfzuz3 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( m  e.  ( 1 ... j )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  m )
)
145144adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... j
) )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  m )
)
146 volsuplem 19317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) )  /\  (
m  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  ->  ( F `  m )  C_  ( F `  j )
)
147141, 143, 145, 146syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... j
) )  ->  ( F `  m )  C_  ( F `  j
) )
148147ralrimiva 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  A. m  e.  ( 1 ... j ) ( F `  m
)  C_  ( F `  j ) )
149 iunss 4074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( U_ m  e.  ( 1 ... j ) ( F `  m ) 
C_  ( F `  j )  <->  A. m  e.  ( 1 ... j
) ( F `  m )  C_  ( F `  j )
)
150148, 149sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  U_ m  e.  ( 1 ... j ) ( F `  m
)  C_  ( F `  j ) )
15196, 6syl6eleq 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
152 eluzfz2 10998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  j  e.  ( 1 ... j
) )
153151, 152syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( 1 ... j ) )
154 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  j  ->  ( F `  m )  =  ( F `  j ) )
155154ssiun2s 4077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  ( 1 ... j )  ->  ( F `  j )  C_ 
U_ m  e.  ( 1 ... j ) ( F `  m
) )
156153, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  C_  U_ m  e.  ( 1 ... j
) ( F `  m ) )
157150, 156eqssd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  U_ m  e.  ( 1 ... j ) ( F `  m
)  =  ( F `
 j ) )
15896nnzd 10307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ZZ )
159 fzval3 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  ZZ  ->  (
1 ... j )  =  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) )
160158, 159syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1 ... j )  =  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) )
161160iuneq1d 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  U_ m  e.  ( 1 ... j ) ( F `  m
)  =  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `  m
) )
162157, 161eqtr3d 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  =  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `
 m ) )
163162difeq2d 3409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( F `  j
) )  =  ( ( F `  (
j  +  1 ) )  \  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `  m
) ) )
164163fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) )  =  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `
 m ) ) ) )
165 oveq2 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
1..^ k )  =  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) )
166165iuneq1d 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
)  =  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `  m
) )
167130, 166difeq12d 3410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) )  =  ( ( F `  (
j  +  1 ) )  \  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `  m
) ) )
168167fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( vol `  ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) ) )  =  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `  m ) ) ) )
169 fvex 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `
 m ) ) )  e.  _V
170168, 34, 169fvmpt 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `  m ) ) ) )
171111, 170syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `
 m ) ) ) )
172164, 171eqtr4d 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) ) )
173172oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( vol `  ( F `  j
) )  +  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) ) 
\  ( F `  j ) ) ) )  =  ( ( vol `  ( F `
 j ) )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) `  (
j  +  1 ) ) ) )
174107, 140, 1733eqtrd 2424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( vol `  ( F `
 j ) )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) `  (
j  +  1 ) ) ) )
17594, 174eqeq12d 2402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( vol `  ( F `  j
) )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
17691, 175syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( vol `  ( F `  j )
)  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
177176expcom 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ( (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( vol `  ( F `  j )
)  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
178177a2d 24 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( vol `  ( F `  j )
) )  ->  (
( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
17960, 65, 70, 65, 90, 178nnind 9951 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( vol `  ( F `  j )
) ) )
180179impcom 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( vol `  ( F `  j )
) )
181 fvco3 5740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( vol 
o.  F ) `  j )  =  ( vol `  ( F `
 j ) ) )
18251, 181sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( vol 
o.  F ) `  j )  =  ( vol `  ( F `
 j ) ) )
183180, 182eqtr4d 2423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( ( vol  o.  F ) `  j
) )
18449, 55, 183eqfnfvd 5770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) )  =  ( vol  o.  F
) )
185184rneqd 5038 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ran  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  =  ran  ( vol 
o.  F ) )
186 rnco2 5318 . . . . . 6  |-  ran  ( vol  o.  F )  =  ( vol " ran  F )
187185, 186syl6eq 2436 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ran  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  =  ( vol " ran  F ) )
188187supeq1d 7387 . . . 4  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( vol " ran  F ) , 
RR* ,  <  ) )
18936, 43, 1883eqtr3d 2428 . . 3  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  ) )
190189ex 424 . 2  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup (
( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  ) ) )
191 rexnal 2661 . . 3  |-  ( E. k  e.  NN  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR  <->  -.  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )
192 fniunfv 5934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  NN  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. ran  F )
19338, 192syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. ran  F
)
194 ffvelrn 5808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  dom  vol )
195194ralrimiva 2733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  dom  vol )
196 iunmbl 19315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  e.  dom  vol )
197195, 196syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  e.  dom  vol )
198193, 197eqeltrrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  U. ran  F  e. 
dom  vol )
199198ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  U. ran  F  e. 
dom  vol )
200 mblss 19295 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  F  e.  dom  vol  ->  U. ran  F  C_  RR )
201199, 200syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  U. ran  F  C_  RR )
202 ovolcl 19242 . . . . . . . 8  |-  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( vol * `  U. ran  F )  e.  RR* )
203201, 202syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  U. ran  F )  e.  RR* )
204 pnfge 10660 . . . . . . 7  |-  ( ( vol * `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( vol * `  U. ran  F )  <_  +oo )
205203, 204syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  U. ran  F )  <_  +oo )
206 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  -.  ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR )
2071ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( F `  k )  e.  dom  vol )
208207, 18syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( F `  k )  C_  RR )
209 ovolcl 19242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  k ) 
C_  RR  ->  ( vol
* `  ( F `  k ) )  e. 
RR* )
210208, 209syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( F `  k
) )  e.  RR* )
211 xrrebnd 10689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( vol * `  ( F `  k )
)  e.  RR*  ->  ( ( vol * `  ( F `  k ) )  e.  RR  <->  (  -oo  <  ( vol * `  ( F `  k ) )  /\  ( vol
* `  ( F `  k ) )  <  +oo ) ) )
212210, 211syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( F `  k ) )  e.  RR  <->  (  -oo  <  ( vol * `  ( F `  k )
)  /\  ( vol * `
 ( F `  k ) )  <  +oo ) ) )
213207, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( F `  k )
)  =  ( vol
* `  ( F `  k ) ) )
214213eleq1d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR  <->  ( vol * `  ( F `  k )
)  e.  RR ) )
215 ovolge0 19245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  k ) 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol * `  ( F `  k ) ) )
216 0re 9025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
217 mnflt 10655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
218216, 217ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -oo  <  0
219 mnfxr 10647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -oo  e.  RR*
220 0xr 9065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
221 xrltletr 10680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  ( vol
* `  ( F `  k ) )  e. 
RR* )  ->  (
(  -oo  <  0  /\  0  <_  ( vol
* `  ( F `  k ) ) )  ->  -oo  <  ( vol
* `  ( F `  k ) ) ) )
222219, 220, 221mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( vol * `  ( F `  k )
)  e.  RR*  ->  ( (  -oo  <  0  /\  0  <_  ( vol
* `  ( F `  k ) ) )  ->  -oo  <  ( vol
* `  ( F `  k ) ) ) )
223218, 222mpani 658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( vol * `  ( F `  k )
)  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( vol * `
 ( F `  k ) )  ->  -oo  <  ( vol * `  ( F `  k
) ) ) )
224209, 215, 223sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  k ) 
C_  RR  ->  -oo  <  ( vol * `  ( F `  k )
) )
225208, 224syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  -oo  <  ( vol
* `  ( F `  k ) ) )
226225biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( F `  k ) )  <  +oo 
<->  (  -oo  <  ( vol * `  ( F `
 k ) )  /\  ( vol * `  ( F `  k
) )  <  +oo ) ) )
227212, 214, 2263bitr4d 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR  <->  ( vol * `  ( F `  k )
)  <  +oo ) )
228206, 227mtbid 292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  -.  ( vol * `
 ( F `  k ) )  <  +oo )
229 nltpnft 10687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol * `  ( F `  k )
)  e.  RR*  ->  ( ( vol * `  ( F `  k ) )  =  +oo  <->  -.  ( vol * `  ( F `
 k ) )  <  +oo ) )
230210, 229syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( F `  k ) )  = 
+oo 
<->  -.  ( vol * `  ( F `  k
) )  <  +oo ) )
231228, 230mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( F `  k
) )  =  +oo )
23238ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  F  Fn  NN )
233 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  k  e.  NN )
234 fnfvelrn 5807 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  ran  F
)
235232, 233, 234syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( F `  k )  e.  ran  F )
236 elssuni 3986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  k )  e.  ran  F  -> 
( F `  k
)  C_  U. ran  F
)
237235, 236syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( F `  k )  C_  U. ran  F )
238 ovolss 19249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  k
)  C_  U. ran  F  /\  U. ran  F  C_  RR )  ->  ( vol
* `  ( F `  k ) )  <_ 
( vol * `  U. ran  F ) )
239237, 201, 238syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( F `  k
) )  <_  ( vol * `  U. ran  F ) )
240231, 239eqbrtrrd 4176 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  +oo  <_  ( vol
* `  U. ran  F
) )
241 pnfxr 10646 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  RR*
242 xrletri3 10678 . . . . . . 7  |-  ( ( ( vol * `  U. ran  F )  e. 
RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( ( vol
* `  U. ran  F
)  =  +oo  <->  ( ( vol * `  U. ran  F )  <_  +oo  /\  +oo  <_  ( vol * `  U. ran  F ) ) ) )
243203, 241, 242sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  U. ran  F
)  =  +oo  <->  ( ( vol * `  U. ran  F )  <_  +oo  /\  +oo  <_  ( vol * `  U. ran  F ) ) ) )
244205, 240, 243mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  U. ran  F )  =  +oo )
245 mblvol 19294 . . . . . 6  |-  ( U. ran  F  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  ( vol * `  U. ran  F ) )
246199, 245syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  ( vol * `  U. ran  F ) )
247 imassrn 5157 . . . . . . 7  |-  ( vol " ran  F )  C_  ran  vol
248 frn 5538 . . . . . . . . 9  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ran  vol  C_  ( 0 [,]  +oo ) )
24950, 248ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ran  vol  C_  ( 0 [,]  +oo )
250 iccssxr 10926 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
251249, 250sstri 3301 . . . . . . 7  |-  ran  vol  C_ 
RR*
252247, 251sstri 3301 . . . . . 6  |-  ( vol " ran  F )  C_  RR*
253213, 231eqtrd 2420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( F `  k )
)  =  +oo )
254 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  F : NN --> dom  vol )
255 ffun 5534 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )  ->  Fun  vol )
25650, 255ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  Fun  vol
257 frn 5538 . . . . . . . . 9  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  ran  F  C_  dom  vol )
258 funfvima2 5914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  vol  /\  ran  F  C_ 
dom  vol )  ->  (
( F `  k
)  e.  ran  F  ->  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  ( vol " ran  F ) ) )
259256, 257, 258sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  ( ( F `  k )  e.  ran  F  ->  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  ( vol " ran  F ) ) )
260254, 235, 259sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  ( vol " ran  F ) )
261253, 260eqeltrrd 2463 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  +oo  e.  ( vol " ran  F ) )
262 supxrpnf 10830 . . . . . 6  |-  ( ( ( vol " ran  F )  C_  RR*  /\  +oo  e.  ( vol " ran  F ) )  ->  sup ( ( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
263252, 261, 262sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  sup ( ( vol " ran  F ) , 
RR* ,  <  )  = 
+oo )
264244, 246, 2633eqtr4d 2430 . . . 4  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  ) )
265264rexlimdvaa 2775 . . 3  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( E. k  e.  NN  -.  ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  ) ) )
266191, 265syl5bir 210 . 2  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( -.  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup (
( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  ) ) )
267190, 266pm2.61d 152 1  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651    \ cdif 3261    u. cun 3262    i^i cin 3263    C_ wss 3264   (/)c0 3572   U.cuni 3958   U_ciun 4036  Disj wdisj 4124   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   dom cdm 4819   ran crn 4820   "cima 4822    o. ccom 4823   Fun wfun 5389    Fn wfn 5390   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Fincfn 7046   supcsup 7381   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    +oocpnf 9051    -oocmnf 9052   RR*cxr 9053    < clt 9054    <_ cle 9055   NNcn 9933   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421   [,]cicc 10852   ...cfz 10976  ..^cfzo 11066    seq cseq 11251   vol *covol 19227   volcvol 19228
This theorem is referenced by:  volsup2  19365  itg1climres  19474  itg2gt0  19520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cc 8249  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359