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Theorem volsup2 19497
Description: The volume of  A is the supremum of the sequence  vol * `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) of volumes of bounded sets. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
volsup2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  E. n  e.  NN  B  <  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    B, n

Proof of Theorem volsup2
Dummy variables  m  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 959 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  B  <  ( vol `  A
) )
2 rexr 9130 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
323ad2ant2 979 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  B  e.  RR* )
4 iccssxr 10993 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
5 volf 19425 . . . . . . . . 9  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] 
+oo )
65ffvelrni 5869 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
74, 6sseldi 3346 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  RR* )
873ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( vol `  A )  e. 
RR* )
9 xrltnle 9144 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( vol `  A )  e. 
RR* )  ->  ( B  <  ( vol `  A
)  <->  -.  ( vol `  A )  <_  B
) )
103, 8, 9syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( B  <  ( vol `  A
)  <->  -.  ( vol `  A )  <_  B
) )
111, 10mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  -.  ( vol `  A )  <_  B )
12 negeq 9298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  -u m  =  -u n )
13 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  m  =  n )
1412, 13oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  ( -u m [,] m )  =  ( -u n [,] n ) )
1514ineq2d 3542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) )  =  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )
16 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) )
17 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u n [,] n )  e. 
_V
1817inex2 4345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) )  e. 
_V
1915, 16, 18fvmpt 5806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `  n
)  =  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )
2019iuneq2i 4111 . . . . . . . . . 10  |-  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n )  = 
U_ n  e.  NN  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) )
21 iunin2 4155 . . . . . . . . . 10  |-  U_ n  e.  NN  ( A  i^i  ( -u n [,] n
) )  =  ( A  i^i  U_ n  e.  NN  ( -u n [,] n ) )
2220, 21eqtri 2456 . . . . . . . . 9  |-  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n )  =  ( A  i^i  U_ n  e.  NN  ( -u n [,] n ) )
23 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  dom  vol )
24 nnre 10007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
2524adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
2625renegcld 9464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  -> 
-u n  e.  RR )
27 iccmbl 19460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u n  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( -u n [,] n )  e.  dom  vol )
2826, 25, 27syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u n [,] n )  e.  dom  vol )
29 inmbl 19436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( -u n [,] n )  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) )  e. 
dom  vol )
3023, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) )  e.  dom  vol )
3115cbvmptv 4300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u n [,] n
) ) )
3230, 31fmptd 5893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  (
m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) : NN --> dom  vol )
33 ffn 5591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) : NN --> dom  vol  ->  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) )  Fn  NN )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  (
m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) )  Fn  NN )
35 fniunfv 5994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) )  Fn  NN  ->  U_ n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `  n
)  =  U. ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n )  = 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) )
37 mblss 19427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
38373ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  A  C_  RR )
3938sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
40 recn 9080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
4140abscld 12238 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
42 arch 10218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  ( abs `  x
)  <  n )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  ( abs `  x
)  <  n )
44 ltle 9163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  x
)  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( ( abs `  x
)  <  n  ->  ( abs `  x )  <_  n ) )
4541, 24, 44syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( abs `  x
)  <  n  ->  ( abs `  x )  <_  n ) )
46 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -u n  <_  x  /\  x  <_  n )  -> 
( x  e.  RR  /\  -u n  <_  x  /\  x  <_  n ) )
47463expib 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( -u n  <_  x  /\  x  <_  n )  ->  ( x  e.  RR  /\  -u n  <_  x  /\  x  <_  n ) ) )
4847adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( -u n  <_  x  /\  x  <_  n )  ->  (
x  e.  RR  /\  -u n  <_  x  /\  x  <_  n ) ) )
49 absle 12119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( ( abs `  x
)  <_  n  <->  ( -u n  <_  x  /\  x  <_  n ) ) )
5024, 49sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( abs `  x
)  <_  n  <->  ( -u n  <_  x  /\  x  <_  n ) ) )
5124adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
5251renegcld 9464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  -> 
-u n  e.  RR )
53 elicc2 10975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u n  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( -u n [,] n )  <->  ( x  e.  RR  /\  -u n  <_  x  /\  x  <_  n ) ) )
5452, 51, 53syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  e.  (
-u n [,] n
)  <->  ( x  e.  RR  /\  -u n  <_  x  /\  x  <_  n ) ) )
5548, 50, 543imtr4d 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( abs `  x
)  <_  n  ->  x  e.  ( -u n [,] n ) ) )
5645, 55syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( abs `  x
)  <  n  ->  x  e.  ( -u n [,] n ) ) )
5756reximdva 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  ( E. n  e.  NN  ( abs `  x )  <  n  ->  E. n  e.  NN  x  e.  (
-u n [,] n
) ) )
5843, 57mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  x  e.  (
-u n [,] n
) )
5939, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  E. n  e.  NN  x  e.  ( -u n [,] n ) )
6059ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  (
x  e.  A  ->  E. n  e.  NN  x  e.  ( -u n [,] n ) ) )
61 eliun 4097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  U_ n  e.  NN  ( -u n [,] n )  <->  E. n  e.  NN  x  e.  (
-u n [,] n
) )
6260, 61syl6ibr 219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  U_ n  e.  NN  ( -u n [,] n ) ) )
6362ssrdv 3354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  A  C_ 
U_ n  e.  NN  ( -u n [,] n
) )
64 df-ss 3334 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  U_ n  e.  NN  ( -u n [,] n
)  <->  ( A  i^i  U_ n  e.  NN  ( -u n [,] n ) )  =  A )
6563, 64sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( A  i^i  U_ n  e.  NN  ( -u n [,] n
) )  =  A )
6622, 36, 653eqtr3a 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  U. ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) )  =  A )
6766fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( vol `  U. ran  (
m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) )  =  ( vol `  A ) )
68 peano2re 9239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  +  1 )  e.  RR )
6925, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
7069renegcld 9464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  -> 
-u ( n  + 
1 )  e.  RR )
7125lep1d 9942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  <_  ( n  +  1 ) )
7225, 69lenegd 9605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  <_  (
n  +  1 )  <->  -u ( n  +  1 )  <_  -u n ) )
7371, 72mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  -> 
-u ( n  + 
1 )  <_  -u n
)
74 iccss 10978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -u ( n  +  1 )  e.  RR  /\  ( n  +  1 )  e.  RR )  /\  ( -u ( n  +  1 )  <_  -u n  /\  n  <_  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( -u n [,] n )  C_  ( -u ( n  +  1 ) [,] ( n  +  1 ) ) )
7570, 69, 73, 71, 74syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u n [,] n )  C_  ( -u ( n  +  1 ) [,] ( n  +  1 ) ) )
76 sslin 3567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u n [,] n
)  C_  ( -u (
n  +  1 ) [,] ( n  + 
1 ) )  -> 
( A  i^i  ( -u n [,] n ) )  C_  ( A  i^i  ( -u ( n  +  1 ) [,] ( n  +  1 ) ) ) )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) )  C_  ( A  i^i  ( -u ( n  +  1 ) [,] ( n  +  1 ) ) ) )
7819adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) `  n )  =  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )
79 peano2nn 10012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
8079adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
81 negeq 9298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  -u m  =  -u ( n  + 
1 ) )
82 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  m  =  ( n  + 
1 ) )
8381, 82oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( -u m [,] m )  =  ( -u (
n  +  1 ) [,] ( n  + 
1 ) ) )
8483ineq2d 3542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) )  =  ( A  i^i  ( -u ( n  +  1 ) [,] ( n  +  1 ) ) ) )
85 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u ( n  +  1
) [,] ( n  +  1 ) )  e.  _V
8685inex2 4345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  ( -u (
n  +  1 ) [,] ( n  + 
1 ) ) )  e.  _V
8784, 16, 86fvmpt 5806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( A  i^i  ( -u (
n  +  1 ) [,] ( n  + 
1 ) ) ) )
8880, 87syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( A  i^i  ( -u ( n  +  1
) [,] ( n  +  1 ) ) ) )
8977, 78, 883sstr4d 3391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) `  n )  C_  (
( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `  (
n  +  1 ) ) )
9089ralrimiva 2789 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  A. n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n )  C_  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) `  ( n  +  1
) ) )
91 volsup 19450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n )  C_  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( vol `  U. ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
9232, 90, 91syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( vol `  U. ran  (
m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
9367, 92eqtr3d 2470 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( vol `  A )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
9493breq1d 4222 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  (
( vol `  A
)  <_  B  <->  sup (
( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_  B ) )
95 imassrn 5216 . . . . . . 7  |-  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) ) 
C_  ran  vol
96 frn 5597 . . . . . . . . 9  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ran  vol  C_  ( 0 [,]  +oo ) )
975, 96ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ran  vol  C_  ( 0 [,]  +oo )
9897, 4sstri 3357 . . . . . . 7  |-  ran  vol  C_ 
RR*
9995, 98sstri 3357 . . . . . 6  |-  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) ) 
C_  RR*
100 supxrleub 10905 . . . . . 6  |-  ( ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) )  C_  RR* 
/\  B  e.  RR* )  ->  ( sup (
( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_  B 
<-> 
A. n  e.  ( vol " ran  (
m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ) n  <_  B ) )
10199, 3, 100sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_  B 
<-> 
A. n  e.  ( vol " ran  (
m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ) n  <_  B ) )
102 ffn 5591 . . . . . . . 8  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )  ->  vol  Fn 
dom  vol )
1035, 102ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  vol  Fn  dom  vol
104 frn 5597 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) : NN --> dom  vol  ->  ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) )  C_  dom  vol )
10532, 104syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) )  C_  dom  vol )
106 breq1 4215 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( vol `  z
)  ->  ( n  <_  B  <->  ( vol `  z
)  <_  B )
)
107106ralima 5978 . . . . . . 7  |-  ( ( vol  Fn  dom  vol  /\ 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) )  C_  dom  vol )  ->  ( A. n  e.  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ) n  <_  B  <->  A. z  e.  ran  (
m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ( vol `  z
)  <_  B )
)
108103, 105, 107sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( A. n  e.  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ) n  <_  B  <->  A. z  e.  ran  (
m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ( vol `  z
)  <_  B )
)
109 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n )  -> 
( vol `  z
)  =  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) `  n ) ) )
110109breq1d 4222 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n )  -> 
( ( vol `  z
)  <_  B  <->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) `  n ) )  <_  B ) )
111110ralrn 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ( vol `  z )  <_  B  <->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n ) )  <_  B ) )
11234, 111syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ( vol `  z )  <_  B  <->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n ) )  <_  B ) )
11319fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n ) )  =  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) ) )
114113breq1d 4222 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `  n
) )  <_  B  <->  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  <_  B ) )
115114ralbiia 2737 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n ) )  <_  B  <->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  <_  B )
116112, 115syl6bb 253 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ( vol `  z )  <_  B  <->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n
) ) )  <_  B ) )
117108, 116bitrd 245 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( A. n  e.  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ) n  <_  B  <->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n
) ) )  <_  B ) )
11894, 101, 1173bitrd 271 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  (
( vol `  A
)  <_  B  <->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  <_  B ) )
11911, 118mtbid 292 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  -.  A. n  e.  NN  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n
) ) )  <_  B )
120 rexnal 2716 . . 3  |-  ( E. n  e.  NN  -.  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  <_  B  <->  -.  A. n  e.  NN  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  <_  B )
121119, 120sylibr 204 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  E. n  e.  NN  -.  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  <_  B
)
1223adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  B  e.  RR* )
1235ffvelrni 5869 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  ( -u n [,] n ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
1244, 123sseldi 3346 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  ( -u n [,] n ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  e.  RR* )
12530, 124syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  e.  RR* )
126 xrltnle 9144 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n
) ) )  e. 
RR* )  ->  ( B  <  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  <->  -.  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  <_  B ) )
127122, 125, 126syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( B  <  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n
) ) )  <->  -.  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n
) ) )  <_  B ) )
128127rexbidva 2722 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( E. n  e.  NN  B  <  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  <->  E. n  e.  NN  -.  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  <_  B ) )
129121, 128mpbird 224 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  E. n  e.  NN  B  <  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    i^i cin 3319    C_ wss 3320   U.cuni 4015   U_ciun 4093   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   ran crn 4879   "cima 4881    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121   -ucneg 9292   NNcn 10000   [,]cicc 10919   abscabs 12039   volcvol 19360
This theorem is referenced by:  volivth  19499
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xadd 10711  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-xmet 16695  df-met 16696  df-ovol 19361  df-vol 19362
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