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Theorem volsup2 18976
Description: The volume of  A is the supremum of the sequence  vol * `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) of volumes of bounded sets. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
volsup2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  E. n  e.  NN  B  <  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    B, n

Proof of Theorem volsup2
Dummy variables  m  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  B  <  ( vol `  A
) )
2 rexr 8893 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
323ad2ant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  B  e.  RR* )
4 iccssxr 10748 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
5 volf 18904 . . . . . . . . 9  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] 
+oo )
65ffvelrni 5680 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
74, 6sseldi 3191 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  RR* )
873ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( vol `  A )  e. 
RR* )
9 xrltnle 8907 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( vol `  A )  e. 
RR* )  ->  ( B  <  ( vol `  A
)  <->  -.  ( vol `  A )  <_  B
) )
103, 8, 9syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( B  <  ( vol `  A
)  <->  -.  ( vol `  A )  <_  B
) )
111, 10mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  -.  ( vol `  A )  <_  B )
12 negeq 9060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  -u m  =  -u n )
13 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  m  =  n )
1412, 13oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  ( -u m [,] m )  =  ( -u n [,] n ) )
1514ineq2d 3383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) )  =  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )
16 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) )
17 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u n [,] n )  e. 
_V
1817inex2 4172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) )  e. 
_V
1915, 16, 18fvmpt 5618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `  n
)  =  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )
2019iuneq2i 3939 . . . . . . . . . 10  |-  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n )  = 
U_ n  e.  NN  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) )
21 iunin2 3982 . . . . . . . . . 10  |-  U_ n  e.  NN  ( A  i^i  ( -u n [,] n
) )  =  ( A  i^i  U_ n  e.  NN  ( -u n [,] n ) )
2220, 21eqtri 2316 . . . . . . . . 9  |-  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n )  =  ( A  i^i  U_ n  e.  NN  ( -u n [,] n ) )
23 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  dom  vol )
24 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
2524adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
2625renegcld 9226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  -> 
-u n  e.  RR )
27 iccmbl 18939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u n  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( -u n [,] n )  e.  dom  vol )
2826, 25, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u n [,] n )  e.  dom  vol )
29 inmbl 18915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( -u n [,] n )  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) )  e. 
dom  vol )
3023, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) )  e.  dom  vol )
3115cbvmptv 4127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u n [,] n
) ) )
3230, 31fmptd 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  (
m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) : NN --> dom  vol )
33 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) : NN --> dom  vol  ->  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) )  Fn  NN )
3432, 33syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  (
m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) )  Fn  NN )
35 fniunfv 5789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) )  Fn  NN  ->  U_ n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `  n
)  =  U. ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n )  = 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) )
37 mblss 18906 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
38373ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  A  C_  RR )
3938sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
40 recn 8843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
4140abscld 11934 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
42 arch 9978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  ( abs `  x
)  <  n )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  ( abs `  x
)  <  n )
44 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  x
)  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( ( abs `  x
)  <  n  ->  ( abs `  x )  <_  n ) )
4541, 24, 44syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( abs `  x
)  <  n  ->  ( abs `  x )  <_  n ) )
46 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -u n  <_  x  /\  x  <_  n )  -> 
( x  e.  RR  /\  -u n  <_  x  /\  x  <_  n ) )
47463expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( -u n  <_  x  /\  x  <_  n )  ->  ( x  e.  RR  /\  -u n  <_  x  /\  x  <_  n ) ) )
4847adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( -u n  <_  x  /\  x  <_  n )  ->  (
x  e.  RR  /\  -u n  <_  x  /\  x  <_  n ) ) )
49 absle 11815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( ( abs `  x
)  <_  n  <->  ( -u n  <_  x  /\  x  <_  n ) ) )
5024, 49sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( abs `  x
)  <_  n  <->  ( -u n  <_  x  /\  x  <_  n ) ) )
5124adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
5251renegcld 9226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  -> 
-u n  e.  RR )
53 elicc2 10731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u n  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( -u n [,] n )  <->  ( x  e.  RR  /\  -u n  <_  x  /\  x  <_  n ) ) )
5452, 51, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  e.  (
-u n [,] n
)  <->  ( x  e.  RR  /\  -u n  <_  x  /\  x  <_  n ) ) )
5548, 50, 543imtr4d 259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( abs `  x
)  <_  n  ->  x  e.  ( -u n [,] n ) ) )
5645, 55syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( abs `  x
)  <  n  ->  x  e.  ( -u n [,] n ) ) )
5756reximdva 2668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  ( E. n  e.  NN  ( abs `  x )  <  n  ->  E. n  e.  NN  x  e.  (
-u n [,] n
) ) )
5843, 57mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  x  e.  (
-u n [,] n
) )
5939, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  E. n  e.  NN  x  e.  ( -u n [,] n ) )
6059ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  (
x  e.  A  ->  E. n  e.  NN  x  e.  ( -u n [,] n ) ) )
61 eliun 3925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  U_ n  e.  NN  ( -u n [,] n )  <->  E. n  e.  NN  x  e.  (
-u n [,] n
) )
6260, 61syl6ibr 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  U_ n  e.  NN  ( -u n [,] n ) ) )
6362ssrdv 3198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  A  C_ 
U_ n  e.  NN  ( -u n [,] n
) )
64 df-ss 3179 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  U_ n  e.  NN  ( -u n [,] n
)  <->  ( A  i^i  U_ n  e.  NN  ( -u n [,] n ) )  =  A )
6563, 64sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( A  i^i  U_ n  e.  NN  ( -u n [,] n
) )  =  A )
6622, 36, 653eqtr3a 2352 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  U. ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) )  =  A )
6766fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( vol `  U. ran  (
m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) )  =  ( vol `  A ) )
68 peano2re 9001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  +  1 )  e.  RR )
6925, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
7069renegcld 9226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  -> 
-u ( n  + 
1 )  e.  RR )
7125lep1d 9704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  <_  ( n  +  1 ) )
7225, 69lenegd 9367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  <_  (
n  +  1 )  <->  -u ( n  +  1 )  <_  -u n ) )
7371, 72mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  -> 
-u ( n  + 
1 )  <_  -u n
)
74 iccss 10734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -u ( n  +  1 )  e.  RR  /\  ( n  +  1 )  e.  RR )  /\  ( -u ( n  +  1 )  <_  -u n  /\  n  <_  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( -u n [,] n )  C_  ( -u ( n  +  1 ) [,] ( n  +  1 ) ) )
7570, 69, 73, 71, 74syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u n [,] n )  C_  ( -u ( n  +  1 ) [,] ( n  +  1 ) ) )
76 sslin 3408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u n [,] n
)  C_  ( -u (
n  +  1 ) [,] ( n  + 
1 ) )  -> 
( A  i^i  ( -u n [,] n ) )  C_  ( A  i^i  ( -u ( n  +  1 ) [,] ( n  +  1 ) ) ) )
7775, 76syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) )  C_  ( A  i^i  ( -u ( n  +  1 ) [,] ( n  +  1 ) ) ) )
7819adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) `  n )  =  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )
79 peano2nn 9774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
8079adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
81 negeq 9060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  -u m  =  -u ( n  + 
1 ) )
82 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  m  =  ( n  + 
1 ) )
8381, 82oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( -u m [,] m )  =  ( -u (
n  +  1 ) [,] ( n  + 
1 ) ) )
8483ineq2d 3383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) )  =  ( A  i^i  ( -u ( n  +  1 ) [,] ( n  +  1 ) ) ) )
85 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u ( n  +  1
) [,] ( n  +  1 ) )  e.  _V
8685inex2 4172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  ( -u (
n  +  1 ) [,] ( n  + 
1 ) ) )  e.  _V
8784, 16, 86fvmpt 5618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( A  i^i  ( -u (
n  +  1 ) [,] ( n  + 
1 ) ) ) )
8880, 87syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( A  i^i  ( -u ( n  +  1
) [,] ( n  +  1 ) ) ) )
8977, 78, 883sstr4d 3234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) `  n )  C_  (
( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `  (
n  +  1 ) ) )
9089ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  A. n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n )  C_  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) `  ( n  +  1
) ) )
91 volsup 18929 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n )  C_  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( vol `  U. ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
9232, 90, 91syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( vol `  U. ran  (
m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
9367, 92eqtr3d 2330 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( vol `  A )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
9493breq1d 4049 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  (
( vol `  A
)  <_  B  <->  sup (
( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_  B ) )
95 imassrn 5041 . . . . . . 7  |-  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) ) 
C_  ran  vol
96 frn 5411 . . . . . . . . 9  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ran  vol  C_  ( 0 [,]  +oo ) )
975, 96ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ran  vol  C_  ( 0 [,]  +oo )
9897, 4sstri 3201 . . . . . . 7  |-  ran  vol  C_ 
RR*
9995, 98sstri 3201 . . . . . 6  |-  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) ) 
C_  RR*
100 supxrleub 10661 . . . . . 6  |-  ( ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) )  C_  RR* 
/\  B  e.  RR* )  ->  ( sup (
( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_  B 
<-> 
A. n  e.  ( vol " ran  (
m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ) n  <_  B ) )
10199, 3, 100sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_  B 
<-> 
A. n  e.  ( vol " ran  (
m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ) n  <_  B ) )
102 ffn 5405 . . . . . . . 8  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )  ->  vol  Fn 
dom  vol )
1035, 102ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  vol  Fn  dom  vol
104 frn 5411 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) : NN --> dom  vol  ->  ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) )  C_  dom  vol )
10532, 104syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) )  C_  dom  vol )
106 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( vol `  z
)  ->  ( n  <_  B  <->  ( vol `  z
)  <_  B )
)
107106ralima 5774 . . . . . . 7  |-  ( ( vol  Fn  dom  vol  /\ 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) )  C_  dom  vol )  ->  ( A. n  e.  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ) n  <_  B  <->  A. z  e.  ran  (
m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ( vol `  z
)  <_  B )
)
108103, 105, 107sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( A. n  e.  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ) n  <_  B  <->  A. z  e.  ran  (
m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ( vol `  z
)  <_  B )
)
109 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n )  -> 
( vol `  z
)  =  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) `  n ) ) )
110109breq1d 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n )  -> 
( ( vol `  z
)  <_  B  <->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m
) ) ) `  n ) )  <_  B ) )
111110ralrn 5684 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ( vol `  z )  <_  B  <->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n ) )  <_  B ) )
11234, 111syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ( vol `  z )  <_  B  <->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n ) )  <_  B ) )
11319fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n ) )  =  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) ) )
114113breq1d 4049 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `  n
) )  <_  B  <->  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  <_  B ) )
115114ralbiia 2588 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) `
 n ) )  <_  B  <->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  <_  B )
116112, 115syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ( vol `  z )  <_  B  <->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n
) ) )  <_  B ) )
117108, 116bitrd 244 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( A. n  e.  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  ( A  i^i  ( -u m [,] m ) ) ) ) n  <_  B  <->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n
) ) )  <_  B ) )
11894, 101, 1173bitrd 270 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  (
( vol `  A
)  <_  B  <->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  <_  B ) )
11911, 118mtbid 291 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  -.  A. n  e.  NN  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n
) ) )  <_  B )
120 rexnal 2567 . . 3  |-  ( E. n  e.  NN  -.  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  <_  B  <->  -.  A. n  e.  NN  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  <_  B )
121119, 120sylibr 203 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  E. n  e.  NN  -.  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  <_  B
)
1223adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  B  e.  RR* )
1235ffvelrni 5680 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  ( -u n [,] n ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
1244, 123sseldi 3191 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  ( -u n [,] n ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  e.  RR* )
12530, 124syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  e.  RR* )
126 xrltnle 8907 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n
) ) )  e. 
RR* )  ->  ( B  <  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  <->  -.  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  <_  B ) )
127122, 125, 126syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( B  <  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n
) ) )  <->  -.  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n
) ) )  <_  B ) )
128127rexbidva 2573 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  ( E. n  e.  NN  B  <  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  <->  E. n  e.  NN  -.  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n ) ) )  <_  B ) )
129121, 128mpbird 223 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR  /\  B  <  ( vol `  A
) )  ->  E. n  e.  NN  B  <  ( vol `  ( A  i^i  ( -u n [,] n
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   U.cuni 3843   U_ciun 3921   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   -ucneg 9054   NNcn 9762   [,]cicc 10675   abscabs 11735   volcvol 18839
This theorem is referenced by:  volivth  18978
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-ovol 18840  df-vol 18841
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