HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem vtoclibr 3175
Description: Variable to class conversion of transitive, irreflexive relation.
Hypotheses
Ref Expression
vtoclr.1 |- Rel R
vtoclr.2 |- ((xRy /\ yRz) -> xRz)
vtoclibr.3 |- -. xRx
Assertion
Ref Expression
vtoclibr |- ((ARB /\ BRC) -> ARC)
Distinct variable groups:   x,y,A   y,B   x,z,C,y   x,R,y,z   x,B
Proof of Theorem vtoclibr
StepHypRef Expression
1 breq1 2590 . . . . . . . . 9 |- (x = B -> (xRx <-> BRx))
2 breq2 2591 . . . . . . . . 9 |- (x = B -> (BRx <-> BRB))
31, 2bitrd 526 . . . . . . . 8 |- (x = B -> (xRx <-> BRB))
43negbid 609 . . . . . . 7 |- (x = B -> (-. xRx <-> -. BRB))
5 vtoclibr.3 . . . . . . 7 |- -. xRx
64, 5vtoclg 1822 . . . . . 6 |- (B e. V -> -. BRB)
7 vtoclr.1 . . . . . . . 8 |- Rel R
87brrelexi 3170 . . . . . . 7 |- (BRB -> B e. V)
98con3i 98 . . . . . 6 |- (-. B e. V -> -. BRB)
106, 9pm2.61i 126 . . . . 5 |- -. BRB
11 brprc 2629 . . . . 5 |- (-. C e. V -> (BRC <-> BRB))
1210, 11mtbiri 714 . . . 4 |- (-. C e. V -> -. BRC)
1312a3i 74 . . 3 |- (BRC -> C e. V)
14 vtoclr.2 . . . 4 |- ((xRy /\ yRz) -> xRz)
157, 14vtoclr 3173 . . 3 |- (C e. V -> ((ARB /\ BRC) -> ARC))
1613, 15syl 10 . 2 |- (BRC -> ((ARB /\ BRC) -> ARC))
1716anabsi7 496 1 |- ((ARB /\ BRC) -> ARC)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 1099   e. wcel 1105  Vcvv 1786   class class class wbr 2587  Rel wrel 3138
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-br 2588  df-opab 2635  df-xp 3147  df-rel 3148
Copyright terms: Public domain