Theorem vtoclrbr 3174

Description: Variable to class conversion of transitive, reflexive relation.

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclr.1	|- Rel R
vtoclr.2	|- ((xRy /\ yRz) -> xRz)
vtoclrbr.3	|- xRx

Assertion

Ref	Expression
vtoclrbr	|- ((ARB /\ BRC) -> ARC)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B   x,z,C,y   x,R,y,z

Proof of Theorem vtoclrbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtoclr.1	. . 3 |- Rel R
2		vtoclr.2	. . 3 |- ((xRy /\ yRz) -> xRz)
3	1, 2	vtoclr 3173	. 2 |- (C e. V -> ((ARB /\ BRC) -> ARC))
4		brprc 2629	. . . . 5 |- (-. C e. V -> (ARC <-> ARA))
5		breq1 2590	. . . . . . 7 |- (x = A -> (xRx <-> ARx))
6		breq2 2591	. . . . . . 7 |- (x = A -> (ARx <-> ARA))
7	5, 6	bitrd 526	. . . . . 6 |- (x = A -> (xRx <-> ARA))
8		vtoclrbr.3	. . . . . 6 |- xRx
9	7, 8	vtoclg 1822	. . . . 5 |- (A e. V -> ARA)
10	4, 9	syl5bir 210	. . . 4 |- (-. C e. V -> (A e. V -> ARC))
11	1	brrelexi 3170	. . . 4 |- (ARB -> A e. V)
12	10, 11	syl5 21	. . 3 |- (-. C e. V -> (ARB -> ARC))
13	12	adantrd 391	. 2 |- (-. C e. V -> ((ARB /\ BRC) -> ARC))
14	3, 13	pm2.61i 126	1 |- ((ARB /\ BRC) -> ARC)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 1099   e. wcel 1105  Vcvv 1786   class class class wbr 2587  Rel wrel 3138

This theorem is referenced by:  entrt 4349  domtr 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-br 2588  df-opab 2635  df-xp 3147  df-rel 3148

Copyright terms: Public domain