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Theorem wallispi 27922
Description: Wallis' formula for π : Wallis' product converges to π / 2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispi.1  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
wallispi.2  |-  W  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n ) )
Assertion
Ref Expression
wallispi  |-  W  ~~>  ( pi 
/  2 )
Distinct variable groups:    k, n    n, F
Allowed substitution hints:    F( k)    W( k, n)

Proof of Theorem wallispi
Dummy variables  j  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10279 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10069 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 wallispi.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
5 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x )  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
6 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x ) `
 ( 2  x.  n ) )  / 
( ( n  e. 
NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) `  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) `  ( 2  x.  n
) )  /  (
( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x ) `
 ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
7 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) )
8 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( 2  x.  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  n
) ) )
94, 5, 6, 7, 8wallispilem5 27921 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) )  ~~>  1
109a1i 10 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )  ~~>  1 )
11 2cn 9832 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
1211a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  2  e.  CC )
13 pire 19848 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
14 ax-resscn 8810 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
1514sseli 3189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  RR  ->  pi  e.  CC )
1613, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
1716a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  pi  e.  CC )
18 pipos 19849 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
1913, 18gt0ne0ii 9325 . . . . . . . . . 10  |-  pi  =/=  0
2019a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  pi  =/=  0 )
2112, 17, 20divcld 9552 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( 2  /  pi )  e.  CC )
22 nnex 9768 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
2322mptex 5762 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  e.  _V
2423a1i 10 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  e. 
_V )
2516a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
2625halfcld 9972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
271eleq2i 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2827biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
294a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
30 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  j  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  j ) )
3130oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )
3230, 31oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  -  1 ) ) )
3330oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
3430, 33oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
3532, 34oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) )
3635adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  j )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) )
37 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  NN )
3811a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  CC )
39 nncn 9770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
4038, 39mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  CC )
41 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  CC
4241a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
4340, 42subcld 9173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  CC )
44 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  1  e.  RR
4544a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
46 1t1e1 9886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
4745, 45remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  e.  RR )
48 2re 9831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  2  e.  RR
4948a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR )
5049, 45remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  RR )
51 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
5249, 51remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
5347, 50, 523jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 1  x.  1 )  e.  RR  /\  ( 2  x.  1 )  e.  RR  /\  ( 2  x.  j
)  e.  RR ) )
54 1rp 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  1  e.  RR+
5554a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR+ )
56 1lt2 9902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  1  <  2
5756a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  2 )
5845, 49, 55, 57ltmul1dd 10457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  <  ( 2  x.  1 ) )
59 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  0  e.  RR
6059, 48pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( 0  e.  RR  /\  2  e.  RR )
61 2pos 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  0  <  2
62 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( 0  <  2  ->  0  <_  2 ) )
6360, 61, 62mp2 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  0  <_  2
6463a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  2 )
65 nnge1 9788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <_  j )
6645, 51, 49, 64, 65lemul2ad 9713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  j ) )
6758, 66jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 1  x.  1 )  <  ( 2  x.  1 )  /\  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  j ) ) )
68 ltletr 8929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( 1  x.  1 )  e.  RR  /\  ( 2  x.  1 )  e.  RR  /\  ( 2  x.  j
)  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  x.  1 )  <  ( 2  x.  1 )  /\  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  j ) )  -> 
( 1  x.  1 )  <  ( 2  x.  j ) ) )
6953, 67, 68sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  <  ( 2  x.  j ) )
7046, 69syl5eqbrr 4073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( 2  x.  j
) )
7145, 70ltned 8971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  =/=  ( 2  x.  j
) )
7271necomd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  =/=  1 )
7340, 42, 72subne0d 9182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  =/=  0 )
7440, 43, 73divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  e.  CC )
7540, 42addcld 8870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  CC )
7659a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  0  e.  RR )
7752, 45readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR )
7876, 45, 773jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  NN  ->  (
0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR ) )
7955rpgt0d 10409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  1 )
80 2rp 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  2  e.  RR+
8180a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
82 nnrp 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR+ )
8381, 82rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
8445, 83ltaddrp2d 10436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
8579, 84jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  NN  ->  (
0  <  1  /\  1  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
86 lttr 8915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( 0  <  1  /\  1  < 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
8778, 85, 86sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
8876, 87ltned 8971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  0  =/=  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
8988necomd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  0 )
9040, 75, 89divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  CC )
9174, 90mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  CC )
9237, 91syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  CC )
9329, 36, 37, 92fvmptd 5622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  j )  =  ( ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) )
9480a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  RR+ )
9537nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  RR+ )
9694, 95rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
9752, 45resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR )
9841subidi 9133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 1  -  1 )  =  0
9998eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  =  ( 1  -  1 )
10045, 52, 45ltsub1d 9397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  <  ( 2  x.  j )  <->  ( 1  -  1 )  < 
( ( 2  x.  j )  -  1 ) ) )
10170, 100mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  -  1 )  <  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )
10299, 101syl5eqbr 4072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )
10397, 102jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  j )  -  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) ) )
104 elrp 10372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR+  <->  ( ( ( 2  x.  j )  -  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( 2  x.  j )  -  1 ) ) )
105103, 104sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR+ )
10637, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR+ )
10796, 106rpdivcld 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  e.  RR+ )
10848a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  RR )
10937nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  RR )
110108, 109remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
11194rpge0d 10410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  2 )
11295rpge0d 10410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  j )
113108, 109, 111, 112mulge0d 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  ( 2  x.  j
) )
114110, 113ge0p1rpd 10432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR+ )
11596, 114rpdivcld 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  RR+ )
116107, 115rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
11793, 116eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  j )  e.  RR+ )
118117adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( F `  j )  e.  RR+ )
119 rpmulcl 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
j  x.  w )  e.  RR+ )
120119adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( j  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )
)  ->  ( j  x.  w )  e.  RR+ )
12128, 118, 120seqcl 11082 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
)  e.  RR+ )
122121rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
)  e.  CC )
123121rpne0d 10411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
)  =/=  0 )
124122, 123reccld 9545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  e.  CC )
12526, 124mulcld 8871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  e.  CC )
126125rgen 2621 . . . . . . . . . . 11  |-  A. n  e.  NN  ( ( pi 
/  2 )  x.  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  e.  CC
1277fmpt 5697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  NN  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  e.  CC  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) : NN --> CC )
128126, 127mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) ) : NN --> CC
129128a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) : NN --> CC )
130129ffvelrnda 5681 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) `
 j )  e.  CC )
131 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )
132 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )
133132oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
134133adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
135 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN )
136 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
j
137 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j )  e.  RR+
138132eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n )  e.  RR+ 
<->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j )  e.  RR+ ) )
139136, 137, 138, 121vtoclgaf 2861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  RR+ )
140139rpreccld 10416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  e.  RR+ )
141131, 134, 135, 140fvmptd 5622 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
142139rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  CC )
143139rpne0d 10411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
)  =/=  0 )
14442, 142, 143divrecd 9555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =  ( 1  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) )
14516a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
14681rpne0d 10411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
14719a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  pi  =/=  0 )
14838, 145, 146, 147divcan6d 9571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  /  pi )  x.  ( pi  /  2 ) )  =  1 )
149148eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  1  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( pi  /  2
) ) )
150149oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  ( ( ( 2  /  pi )  x.  (
pi  /  2 ) )  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) )
15138, 145, 147divcld 9552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  /  pi )  e.  CC )
152145halfcld 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
153142, 143reccld 9545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  e.  CC )
154151, 152, 153mulassd 8874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( 2  /  pi )  x.  (
pi  /  2 ) )  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j ) ) ) ) )
155144, 150, 1543eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j ) ) ) ) )
156 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
157134oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
158152, 153mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  e.  CC )
159156, 157, 135, 158fvmptd 5622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) `
 j )  =  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
160159oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) ) )
161160eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  /  pi )  x.  ( (
pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j ) ) ) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) ) )
162141, 155, 1613eqtrd 2332 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) ) )
163162adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) ) )
1641, 3, 10, 21, 24, 130, 163climmulc2 12126 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  ~~>  ( ( 2  /  pi )  x.  1 ) )
165164trud 1314 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  ~~>  ( ( 2  /  pi )  x.  1 )
16611, 16, 193pm3.2i 1130 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )
167 divcl 9446 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
2  /  pi )  e.  CC )
168166, 167ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  pi )  e.  CC
169168mulid1i 8855 . . . . . 6  |-  ( ( 2  /  pi )  x.  1 )  =  ( 2  /  pi )
170165, 169breqtri 4062 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  ~~>  ( 2  /  pi )
171170a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  ~~>  ( 2  /  pi ) )
172 2ne0 9845 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
17311, 16, 172, 19divne0i 9524 . . . . 5  |-  ( 2  /  pi )  =/=  0
174173a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 2  /  pi )  =/=  0 )
175141, 153eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  CC )
176142, 143recne0d 9546 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =/=  0
)
177141, 176eqnetrd 2477 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =/=  0
)
178 elsni 3677 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  {
0 }  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  0 )
179178necon3ai 2499 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =/=  0  ->  -.  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) `  j
)  e.  { 0 } )
180177, 179syl 15 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  -.  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) `  j )  e.  { 0 } )
181175, 180eldifd 3176 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
182181adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
183 wallispi.2 . . . . . . . 8  |-  W  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n ) )
184183a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  W  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )
185132adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j ) )
186184, 185, 135, 139fvmptd 5622 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( W `  j )  =  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
)
187142, 143recrecd 9549 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j ) )
188187eqcomd 2301 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
)  =  ( 1  /  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j ) ) ) )
189131, 134, 135, 153fvmptd 5622 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
190189oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j ) )  =  ( 1  /  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
191190eqcomd 2301 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  ( 1  /  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j ) ) )
192186, 188, 1913eqtrd 2332 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  ( W `  j )  =  ( 1  / 
( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) `  j ) ) )
193192adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( W `  j )  =  ( 1  / 
( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) `  j ) ) )
19422mptex 5762 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  e.  _V
195183, 194eqeltri 2366 . . . . 5  |-  W  e. 
_V
196195a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  W  e.  _V )
1971, 3, 171, 174, 182, 193, 196climrec 27832 . . 3  |-  (  T. 
->  W  ~~>  ( 1  /  ( 2  /  pi ) ) )
198197trud 1314 . 2  |-  W  ~~>  ( 1  /  ( 2  /  pi ) )
19911, 172pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
20016, 19pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )
201199, 200pm3.2i 441 . . 3  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 ) )
202 recdiv 9482 . . 3  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0
) )  ->  (
1  /  ( 2  /  pi ) )  =  ( pi  / 
2 ) )
203201, 202ax-mp 8 . 2  |-  ( 1  /  ( 2  /  pi ) )  =  ( pi  /  2 )
204198, 203breqtri 4062 1  |-  W  ~~>  ( pi 
/  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   ...cfz 10798    seq cseq 11062   ^cexp 11120    ~~> cli 11974   sincsin 12361   picpi 12364   S.citg 18989
This theorem is referenced by:  wallispi2  27925
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-ibl 18994  df-itg 18995  df-0p 19041  df-limc 19232  df-dv 19233
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