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Theorem wallispi2 27925
Description: An alternative version of Wallis' formula for π ; this second formula uses factorials and it is later used to proof Stirling's approximation formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispi2.1  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
wallispi2  |-  V  ~~>  ( pi 
/  2 )

Proof of Theorem wallispi2
Dummy variables  k  m  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wallispi2.1 . . 3  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
2 wallispi2lem1 27923 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  n )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  n ) ) )
32mpteq2ia 4118 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  n ) ) )
4 ax-1cn 8811 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
54a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
6 2cn 9832 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
76a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
8 nncn 9770 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
97, 8mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
109, 5addcld 8870 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  CC )
11 nnuz 10279 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1211eleq2i 2360 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
1312biimpi 186 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
14 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) )
15 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  m )  ->  k  =  m )
1615oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  m )  ->  ( 2  x.  k
)  =  ( 2  x.  m ) )
1716oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  m )  ->  ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  =  ( ( 2  x.  m ) ^ 4 ) )
1816oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  m )  ->  ( ( 2  x.  k )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  m )  -  1 ) )
1916, 18oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  m )  ->  ( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  m )  x.  ( ( 2  x.  m )  - 
1 ) ) )
2019oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  m )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  m
)  x.  ( ( 2  x.  m )  -  1 ) ) ^ 2 ) )
2117, 20oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  m )  ->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  m
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  m )  x.  ( ( 2  x.  m )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )
22 elfznn 10835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  m  e.  NN )
236a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  CC )
2422nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  m  e.  CC )
2523, 24mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  m )  e.  CC )
26 4nn0 10000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  NN0
2726a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  4  e.  NN0 )
2825, 27expcld 11261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  m
) ^ 4 )  e.  CC )
294a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  1  e.  CC )
3025, 29subcld 9173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  m
)  -  1 )  e.  CC )
3125, 30mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  m
)  x.  ( ( 2  x.  m )  -  1 ) )  e.  CC )
3231sqcld 11259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  m )  x.  (
( 2  x.  m
)  -  1 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
33 2ne0 9845 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =/=  0
3433a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  2  =/=  0 )
3522nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  m  =/=  0 )
3623, 24, 34, 35mulne0d 9436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  m )  =/=  0 )
37 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
3837a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  1  e.  RR )
39 2re 9831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  RR
4039a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  RR )
4140, 38remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  1 )  e.  RR )
4222nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  m  e.  RR )
4340, 42remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  m )  e.  RR )
4438, 41, 433jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
1  e.  RR  /\  ( 2  x.  1 )  e.  RR  /\  ( 2  x.  m
)  e.  RR ) )
45 1lt2 9902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  <  2
4645a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  1  <  2 )
47 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  =  2
486mulid1i 8855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
4947, 48eqtr4i 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  =  ( 2  x.  1 )
5049a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  2  =  ( 2  x.  1 ) )
5146, 50breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  1  <  ( 2  x.  1 ) )
52 2pos 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  <  2
53 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  e.  RR
5453, 39pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  e.  RR  /\  2  e.  RR )
55 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( 0  <  2  ->  0  <_  2 ) )
5654, 55ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0  <  2  ->  0  <_  2 )
5752, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_  2
5857a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  2 )
59 elfzle1 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  1  <_  m )
6038, 42, 40, 58, 59lemul2ad 9713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  m ) )
6151, 60jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
1  <  ( 2  x.  1 )  /\  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  m ) ) )
62 ltletr 8929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2  x.  1 )  e.  RR  /\  ( 2  x.  m
)  e.  RR )  ->  ( ( 1  <  ( 2  x.  1 )  /\  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  m ) )  -> 
1  <  ( 2  x.  m ) ) )
6344, 61, 62sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  1  <  ( 2  x.  m
) )
6438, 63jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
1  e.  RR  /\  1  <  ( 2  x.  m ) ) )
65 ltne 8933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  1  <  ( 2  x.  m ) )  -> 
( 2  x.  m
)  =/=  1 )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  m )  =/=  1 )
6725, 29, 66subne0d 9182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  m
)  -  1 )  =/=  0 )
6825, 30, 36, 67mulne0d 9436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  m
)  x.  ( ( 2  x.  m )  -  1 ) )  =/=  0 )
69 2z 10070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
7069a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  ZZ )
7131, 68, 70expne0d 11267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  m )  x.  (
( 2  x.  m
)  -  1 ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
7228, 32, 71divcld 9552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  m ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  m
)  x.  ( ( 2  x.  m )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
7314, 21, 22, 72fvmptd 5622 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  m
)  =  ( ( ( 2  x.  m
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  m )  x.  ( ( 2  x.  m )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )
7473, 72eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  m
)  e.  CC )
7574adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) `
 m )  e.  CC )
76 mulcl 8837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( m  x.  w
)  e.  CC )
7776adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( m  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  ->  ( m  x.  w )  e.  CC )
7813, 75, 77seqcl 11082 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  n )  e.  CC )
7953a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
80 2nn 9893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
8180a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN )
82 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
8381, 82nnmulcld 9809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
8483peano2nnd 9779 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN )
85 nngt0 9791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
8684, 85syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
8779, 86jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
0  e.  RR  /\  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
88 ltne 8933 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  -> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =/=  0 )
8987, 88syl 15 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
905, 10, 78, 89div32d 9575 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  n ) )  =  ( 1  x.  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  n )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
9178, 10, 89divcld 9552 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  n )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
9291mulid2d 8869 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  x.  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 n )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  n
)  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
93 wallispi2lem2 27924 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  n )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ! `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )
9493oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  n )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
9590, 92, 943eqtrd 2332 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  n ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
9695mpteq2ia 4118 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (  seq  1
(  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
973, 96eqtri 2316 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
981, 97eqtr4i 2319 . 2  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 n ) )
99 eqid 2296 . . 3  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
100 eqid 2296 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 n ) )
10199, 100wallispi 27922 . 2  |-  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  n ) )  ~~>  ( pi 
/  2 )
10298, 101eqbrtri 4058 1  |-  V  ~~>  ( pi 
/  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   4c4 9813   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798    seq cseq 11062   ^cexp 11120   !cfa 11304    ~~> cli 11974   picpi 12364
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  27940
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-ibl 18994  df-itg 18995  df-0p 19041  df-limc 19232  df-dv 19233
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